2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第3章 三角函数、解三角形 3-7 word版含答案

(时间：40分钟)

1．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(　　)

A．10 n mile B． n mile

C．5 n mile D．5 n mile

答案　D

解析　由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝5.

2. 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)

A．a km B．a km

C．a km D．2a km

答案　B

解析　在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，故|AB|＝a.

3．某工程中要将一坡长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高度不变，则坡底需加长(　　)

A．100 m B．100 m

C．50(＋) m D．200 m

答案　A

解析　设坡底需加长x m，由正弦定理得＝，解得x＝100.

4．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为(　　)

A． m B． m

C． m D． m

答案　A

解析　如图，由已知可得∠BAC＝30°，

∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，

又AB＝200，∴AC＝.

在△ACD中，由正弦定理，得

＝，即DC＝＝(m)．

5. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)

A．8 km/h B．6 km/h

C．2 km/h D．10 km/h

答案　B

解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.

6．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．

答案　30°

解析　设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，

由正弦定理得＝＝

⇒sin∠BAC＝.

又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°，60°－30°＝30°.

7．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°方向，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为______米．

答案　700

解析　由题意，△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得，AB2＝ 3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB＝700.

8．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)

答案　60

解析　AC＝2×46＝92，AB＝，

在△ABC中，由正弦定理可知：

＝，∴BC＝≈60.

9.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．

解　在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，

∴∠ACB＝60°.

由正弦定理可得AC＝，

∴AC＝＝20(3＋)．

设C到AB的距离为CD，则CD＝ACsin∠CAB＝AC＝20(＋3)．∴河的宽度为20(＋3)米．

10．如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．

(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；

(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2.(结果精确到1)

(本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)

解　(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB.

又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.

(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝

4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，

∴由＝得AD＝＝＝≈5.

在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17.

(时间：20分钟)

11．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A．10 海里 B．10 海里

C．20 海里 D．20 海里

答案　A

解析　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．

12. 某观察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路骑车以40 km/h的速度向A城驶去，行驶了15 min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为8 km，则此人到达A城还需要(　　)

A．40 min B．42 min

C．48 min D．60 min

答案　C

解析　由题意可知，CD＝40×＝10.

cos∠BDC＝＝－，

∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝，

∴sin∠ABD＝sin＝.

在△ABD中，由正弦定理，得＝，

∴＝，∴AD＝32，∴所需时间t＝＝0.8 h，∴此人还需要0.8 h即48 min到达A城．

13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取＝1.4，＝1.7)

答案　2650

解析　如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，

AB＝50×420＝21000(m)．

又在△ABC中，＝，

∴BC＝×sin15°＝10500(－)(m)．

∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500(－)×＝10500(－1)＝7350(m)．

故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．

14．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

解　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，

则AC＝14x，BC＝10x，

∠ABC＝120°.

根据余弦定理，得

(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，

解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.

根据正弦定理，得＝，

解得sinα＝＝.

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.