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2021高考数学（文）大一轮复习习题 第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 word版含答案
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这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 word版含答案，共23页。试卷主要包含了集合的相关概念，集合间的基本关系，集合的基本运算，集合问题中的几个基本结论等内容，欢迎下载使用。
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
2．集合间的基本关系
3．集合的基本运算
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.
1．已知集合P＝{x|x<2}，Q＝{x|x2<2}，则( )
A．P⊆Q B．P⊇Q
C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP
答案：B
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
答案：5
3．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.
答案：{x|0≤x<2}
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg(x＋2)}，则(∁UA)∩B等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(7,6))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6)，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(7,6))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(7,6)))
解析：选A 依题意得A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(7,6)))))，∁UA＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(7,6)))))；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，因此(∁UA)∩B＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－22．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数为________．
解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．
答案：8
3．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，
∴x＝1或x＝4.
答案：1或4
eq \a\vs4\al(考点一 集合的基本概念)eq \a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)
1．(易错题)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．9
解析：选D 集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．
2．已知a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2 017＋b2 017为( )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
解析：选C 由已知得a≠0，则eq \f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 017＋b2 017＝(－1)2 017＋02 017＝－1.
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,8)
C．0 D．0或eq \f(9,8)
解析：选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝eq \f(2,3)，符合题意．
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq \f(9,8)，
所以a的值为0或eq \f(9,8).
4．(易错题)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－eq \f(3,2)，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)，而2m2＋m＝3，故m＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题．
eq \a\vs4\al(考点二 集合间的基本关系)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有( )
A．8个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选B 由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．
2．已知集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA
C．A⊆B D．B＝A
解析：选B 由题意知A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}．所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故选B.
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2．已知集合A＝{x|－1解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m>0时，∵A＝{x|－1当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m≥－1，,m≤3，,－m综上所述m的取值范围为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
eq \a\vs4\al(考点三 集合的基本运算)eq \a\vs4\al(题点多变型考点——多角探明)
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有：
(1)集合的运算；
(2)利用集合运算求参数；
(3)新定义集合问题．
角度一：集合的运算
1．(2016·山东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{2,6} B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
解析：选A ∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，
∴A∪B＝{1,3,4,5}．
又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}．
2．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A． B．(－2,3]
C．∪．
角度二：利用集合运算求参数
3．设A＝{x|－11}，若A∩B＝A，则a的取值范围是( )
A．
解集合运算问题4个技巧
1．(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
解析：选D ∵x2－4x＋3<0，∴1∴A＝{x|1∵2x－3>0，∴x>eq \f(3,2)，∴B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(3,2))))).
∴A∩B＝{x|1\f(3,2)))))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).
2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．4 B．2
C．0 D．0或4
解析：选A 由题意得方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不符合题意，舍去)．
3.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝eq \r(2x－x2)}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则AB为( )
A．{x|0C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}
解析：选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D.
4．(2017·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )
A．147 B．140
C．130 D．117
解析：选B 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－12．(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
解析：选D 因为集合B中，x∈A，
所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
3．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．－3∈A B．3∉B
C．A∩B＝B D．A∪B＝B
解析：选C 化简A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B.
4．设集合A＝{3，m}，B＝{3m,3}，且A＝B，则实数m的值是________．
解析：由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，得3m＝m，则m＝0.
答案：0
5．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1解析：因为A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1所以a≥2.
答案：
B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．，若A⊆B，则实数a－b 的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)因为A∩B＝，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2＝0，,m＋2≥3.))所以m＝2.
(2)∁RB＝{x|xm＋2}，
因为A⊆∁RB，
所以m－2>3或m＋2<－1，
即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 016<0}，B＝{x|lg2xA．0 B．1
C．11 D．12
解析：选C 由x2－2 017x＋2 016<0，解得1由lg2x2．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－\f(9,4)，x∈R))))，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，0)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(9,4)))∪．
(3)由A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥eq \f(1,3)时，B＝∅，符合题意；
②若2m＜1－m，即m＜eq \f(1,3)时，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜\f(1,3)，,1－m≤1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜\f(1,3)，,2m≥3，))
得0≤m＜eq \f(1,3)或∅，即0≤m＜eq \f(1,3).
综上知m≥0，即实数m的取值范围为
1．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有________个．
答案：3
2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的______条件．
答案：充要
3．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________．
答案：“若x≤y，则x2≤y2”
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且Beq \a\vs4\al(⇒/) A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且Aeq \a\vs4\al(⇒/) B)两者的不同．
1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的________条件．
答案：必要不充分
2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.
解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，
结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．
答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
eq \a\vs4\al(考点一 四种命题及其相互关系)eq \a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)
1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是( )
A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤b
C．若a≤b，则a2>b2 D．若a≤b，则a2≤b2
解析：选B 根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.
2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
3．给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：①③
1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．
2．命题真假的2种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．
eq \a\vs4\al(考点二 充分必要条件的判定)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
1．(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．
2．(2017·衡阳联考)设p：x2－x－20>0，q：lg2(x－5)<2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵x2－x－20>0，∴x>5或x<－4，∴p：x>5或x<－4.∵lg2(x－5)<2，∴05或x<－4}，∴p是q的必要不充分条件．故选B.
充要条件的3种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
1．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．
2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，
因为綈q⇒綈p但綈peq \a\vs4\al(⇒/)綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
eq \a\vs4\al(考点三 充分必要条件的应用)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
1．(2017·皖北第一次联考)已知p：x≥k，q：eq \f(3,x＋1)<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A．
根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点
(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )
A．
C．
解析：选A 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.
2．已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．
解析：命题p：x＞m＋3或x＜m，
命题q：－4＜x＜1.
因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，
故m≤－7或m≥1.
答案：(－∞，－7]∪
3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．
(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．
当a>0时，B＝{x|a则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2，,3a≥4，))解得eq \f(4,3)≤a≤2.
当a<0时，B＝{x|3a则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≤2，,a≥4，,))无解．
综上，a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)).
(2)要满足A∩B＝∅，
当a>0时，B＝{x|a则a≥4或3a≤2，即0当a<0时，B＝{x|3a则a≤2或a≥eq \f(4,3)，即a<0.
当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅.
综上，a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3)))∪
1．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧綈q
C．綈p∧q D．p∧綈q
解析：选D 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q，綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q，綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题．
2．命题p：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋1≤0的否定是( )
A．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0
C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋1<0
答案：C
3．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，
所以p为假，
故－3由题意，得x＝－2.
答案：－2
1．注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；
2．注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．
1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是_______________．
答案：存在两个全等三角形的面积不相等
2．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，其否定为__________________________________．
答案：若ab＝0，则a≠0且b≠0
eq \a\vs4\al(考点一 全称命题与特称命题)eq \a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)
1．下列命题中是假命题的是( )
A．∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，x>sin xB．∃x0∈R，sin x0＋cs x0＝2
C．∀x∈R,3x>0 D．∃x0∈R，lg x0＝0
解析：选B 因为对∀x∈R，sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))≤eq \r(2)，所以“∃x0∈R，sin x0＋cs x0＝2”为假命题．
2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∀x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x0∉A,2x0∈B D．綈p：∃x0∈A,2x0∉B
解析：选D 命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x0∈A,2x0∉B，故选D.
3．(2017·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，lg2(3x0＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0
解析：选B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则lg2(3x＋1)>0，∴p是假命题：綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0.故应选B.
1．全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.
eq \a\vs4\al(考点二 含有逻辑联结词的命题的真假判断)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
(2017·海口调研)已知命题p：若a0，使得x0－1－ln x0＝0，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
解析：选C 依题意，对于p，注意到当c＝0时，ac2＝bc2，因此命题p是假命题；对于q，注意到当x0＝1时，x0－1－ln x0＝0，因此命题q是真命题，命题綈q是假命题，p∧q是假命题，p∨(綈q)是假命题，(綈p)∧q是真命题，(綈p)∧(綈q)是假命题，综上所述，选C.
判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤
(1)先判断简单命题p，q的真假．
(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
1．已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(綈p)∧q为真命题，则x的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选D ∵綈p：∃x∈R,2x≥3x，要使(綈p)∧q为真，
∴綈p与q同时为真．由2x≥3x得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x≥1，∴x≤0，
由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，
∴x＝1或x＝－2，又x≤0，∴x＝－2.
2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析：选C 由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题；④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，故选C.
eq \a\vs4\al(考点三 根据命题的真假求参数的取值范围)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解：当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0，))∴0≤a<4.
当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤eq \f(1,4).
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p，q一真一假．
∴若p真q假，则0≤a<4，且a>eq \f(1,4)，∴eq \f(1,4)若p假q真，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0或a≥4，,a≤\f(1,4)，))即a<0.
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4)).
根据命题真假求参数范围的3步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
1．已知p：∃x0∈R，mxeq \\al(2,0)＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．
C．(－∞，－2]∪
解析：选A 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))即m≥2.
2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象过点(0,1)，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个不同交点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m2－4>0，,－\f(m,2)>0，))解得m<－2，所以m的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
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1．命题“∃x0≤0，xeq \\al(2,0)≥0”的否定是( )
A．∀x≤0，x2<0 B．∀x≤0，x2≥0
C．∃x0>0，xeq \\al(2,0)>0 D．∃x0<0，xeq \\al(2,0)≤0
答案：A
2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：x＝1是方程x＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧綈q B．綈p∧q
C．綈p∧綈q D．p∧q
解析：选A 由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧綈q是真命题．
3．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则( )
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．p真q假 D．p∨q为假
解析：选D 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．所以p∨q为假．
4．(2017·唐山一模)已知命题p：∃x0∈N，xeq \\al(3,0)A．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
解析：选A 由xeq \\al(3,0)5．若命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－1,3)
C．(－∞，－1]∪上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若p为真，则对称轴x＝－eq \f(－4,2a)＝eq \f(2,a)在区间(－∞，2]的右侧，即eq \f(2,a)≥2，∴0若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．
∴Δ＝2－4×16<0，∴eq \f(1,2)∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0故实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．
C．R D．∅
解析：选B 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
2．已知命题p：∀x∈，a≥ex，命题q：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋4x0＋a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“p∧q”是真命题，则p和q均为真命题；当p是真命题时，a≥(ex)max＝e；当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4；所以a∈．
答案：
3．设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，x2－5x＋4<0，解得1即p为真时，实数x的取值范围是1若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是(2,4)．
(2)綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则B⊆A，
由x2－5ax＋4a2<0得(x－4a)(x－a)<0，
∵a>0，∴A＝(a,4a)，
又B＝(2,5]，则a≤2且4a>5，解得eq \f(5,4)所以实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，2)).
1．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－eq \r(5)＜x＜eq \r(5)}，则( )
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D.A⊆B
解析：选B 集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－eq \r(5)＜x＜eq \r(5)}＝R，故选B.
2．(2016·全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝( )
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
解析：选C ∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，
∴∁AB＝{0,2,6,10}．
3．(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A． B．(－∞，2]∪∪[3，＋∞)
解析：选D 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|04．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选D 集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.
5．(2012·全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
解析：选D 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
1.(2015·天津高考)设x∈R，则“1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A |x－2|<1⇔1由于{x|1所以“12．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.
3．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选C 当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
1.(2012·全国卷)下面是关于复数z＝eq \f(2,－1＋i)的四个命题：
p1：|z|＝2, p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
解析：选C ∵复数z＝eq \f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq \r(2)，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．
2．(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
1.(2014·辽宁高考)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析：选A
如图，若a＝A1A―→，b＝AB―→，c＝B1B―→，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．
2．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
解析：选A 綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．即为(綈p)∨(綈q)．
1.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．
2．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．
3．(2015·山东高考)若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上恒成立，即y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒
x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A
AB或
BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，∅⊆A
∅
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
创新性问题
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
命题点一 集合及其运算
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低
题型：选择题
命题点二 充要条件
命题指数：☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题
命题点三 四种命题及其关系
命题指数：☆☆☆
难度：低
题型：选择题
命题点四 含有逻辑联结词的命题
命题指数：☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题
命题点五 全称量词和存在量词
命题指数：☆☆☆
难度：低
题型：选择题、填空题
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
2．集合间的基本关系
3．集合的基本运算
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.
1．已知集合P＝{x|x<2}，Q＝{x|x2<2}，则( )
A．P⊆Q B．P⊇Q
C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP
答案：B
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
答案：5
3．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.
答案：{x|0≤x<2}
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg(x＋2)}，则(∁UA)∩B等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(7,6))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,6)，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(7,6))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(7,6)))
解析：选A 依题意得A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(7,6)))))，∁UA＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(7,6)))))；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，因此(∁UA)∩B＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2
解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．
答案：8
3．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，
∴x＝1或x＝4.
答案：1或4
eq \a\vs4\al(考点一 集合的基本概念)eq \a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)
1．(易错题)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．9
解析：选D 集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．
2．已知a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2 017＋b2 017为( )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
解析：选C 由已知得a≠0，则eq \f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 017＋b2 017＝(－1)2 017＋02 017＝－1.
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,8)
C．0 D．0或eq \f(9,8)
解析：选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝eq \f(2,3)，符合题意．
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq \f(9,8)，
所以a的值为0或eq \f(9,8).
4．(易错题)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－eq \f(3,2)，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)，而2m2＋m＝3，故m＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第4题．
eq \a\vs4\al(考点二 集合间的基本关系)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有( )
A．8个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选B 由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．
2．已知集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA
C．A⊆B D．B＝A
解析：选B 由题意知A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}．所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故选B.
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2．已知集合A＝{x|－1
当m>0时，∵A＝{x|－1
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m≥－1，,m≤3，,－m
答案：(－∞，1]
eq \a\vs4\al(考点三 集合的基本运算)eq \a\vs4\al(题点多变型考点——多角探明)
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有：
(1)集合的运算；
(2)利用集合运算求参数；
(3)新定义集合问题．
角度一：集合的运算
1．(2016·山东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{2,6} B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
解析：选A ∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，
∴A∪B＝{1,3,4,5}．
又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}．
2．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A． B．(－2,3]
C．∪．
角度二：利用集合运算求参数
3．设A＝{x|－1
A．
解集合运算问题4个技巧
1．(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
解析：选D ∵x2－4x＋3<0，∴1
∴A∩B＝{x|1
2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．4 B．2
C．0 D．0或4
解析：选A 由题意得方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不符合题意，舍去)．
3.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝eq \r(2x－x2)}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则AB为( )
A．{x|0
解析：选D 因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1
4．(2017·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )
A．147 B．140
C．130 D．117
解析：选B 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素，当y＝3，x＝5,15,25，…，95时，与y＝5，x＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
解析：选D 因为集合B中，x∈A，
所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；
当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.
即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.
3．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．－3∈A B．3∉B
C．A∩B＝B D．A∪B＝B
解析：选C 化简A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B.
4．设集合A＝{3，m}，B＝{3m,3}，且A＝B，则实数m的值是________．
解析：由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，得3m＝m，则m＝0.
答案：0
5．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1
答案：
B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．，若A⊆B，则实数a－b 的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)因为A∩B＝，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2＝0，,m＋2≥3.))所以m＝2.
(2)∁RB＝{x|x
因为A⊆∁RB，
所以m－2>3或m＋2<－1，
即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知集合A＝{x|x2－2 017x＋2 016<0}，B＝{x|lg2x
C．11 D．12
解析：选C 由x2－2 017x＋2 016<0，解得1
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，0)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(9,4)))∪．
(3)由A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥eq \f(1,3)时，B＝∅，符合题意；
②若2m＜1－m，即m＜eq \f(1,3)时，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜\f(1,3)，,1－m≤1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜\f(1,3)，,2m≥3，))
得0≤m＜eq \f(1,3)或∅，即0≤m＜eq \f(1,3).
综上知m≥0，即实数m的取值范围为
1．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有________个．
答案：3
2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的______条件．
答案：充要
3．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________．
答案：“若x≤y，则x2≤y2”
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且Beq \a\vs4\al(⇒/) A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且Aeq \a\vs4\al(⇒/) B)两者的不同．
1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的________条件．
答案：必要不充分
2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.
解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，
结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．
答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角
eq \a\vs4\al(考点一 四种命题及其相互关系)eq \a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)
1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是( )
A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤b
C．若a≤b，则a2>b2 D．若a≤b，则a2≤b2
解析：选B 根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.
2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
3．给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：①③
1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．
2．命题真假的2种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．
eq \a\vs4\al(考点二 充分必要条件的判定)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
1．(2015·北京高考)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．
2．(2017·衡阳联考)设p：x2－x－20>0，q：lg2(x－5)<2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵x2－x－20>0，∴x>5或x<－4，∴p：x>5或x<－4.∵lg2(x－5)<2，∴0
充要条件的3种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
1．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．
2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，
因为綈q⇒綈p但綈peq \a\vs4\al(⇒/)綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
eq \a\vs4\al(考点三 充分必要条件的应用)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
1．(2017·皖北第一次联考)已知p：x≥k，q：eq \f(3,x＋1)<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A．
根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点
(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
1．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )
A．
C．
解析：选A 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.
2．已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．
解析：命题p：x＞m＋3或x＜m，
命题q：－4＜x＜1.
因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，
故m≤－7或m≥1.
答案：(－∞，－7]∪
3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2
(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．
当a>0时，B＝{x|a
当a<0时，B＝{x|3a
综上，a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)).
(2)要满足A∩B＝∅，
当a>0时，B＝{x|a
当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅.
综上，a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3)))∪
1．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧綈q
C．綈p∧q D．p∧綈q
解析：选D 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q，綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q，綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题．
2．命题p：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋1≤0的否定是( )
A．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0
C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋1<0
答案：C
3．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，
所以p为假，
故－3
答案：－2
1．注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；
2．注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．
1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是_______________．
答案：存在两个全等三角形的面积不相等
2．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，其否定为__________________________________．
答案：若ab＝0，则a≠0且b≠0
eq \a\vs4\al(考点一 全称命题与特称命题)eq \a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)
1．下列命题中是假命题的是( )
A．∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，x>sin xB．∃x0∈R，sin x0＋cs x0＝2
C．∀x∈R,3x>0 D．∃x0∈R，lg x0＝0
解析：选B 因为对∀x∈R，sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))≤eq \r(2)，所以“∃x0∈R，sin x0＋cs x0＝2”为假命题．
2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∀x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x0∉A,2x0∈B D．綈p：∃x0∈A,2x0∉B
解析：选D 命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x0∈A,2x0∉B，故选D.
3．(2017·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，lg2(3x0＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0
解析：选B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则lg2(3x＋1)>0，∴p是假命题：綈p：∀x∈R，lg2(3x＋1)>0.故应选B.
1．全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.
eq \a\vs4\al(考点二 含有逻辑联结词的命题的真假判断)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
(2017·海口调研)已知命题p：若a
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
解析：选C 依题意，对于p，注意到当c＝0时，ac2＝bc2，因此命题p是假命题；对于q，注意到当x0＝1时，x0－1－ln x0＝0，因此命题q是真命题，命题綈q是假命题，p∧q是假命题，p∨(綈q)是假命题，(綈p)∧q是真命题，(綈p)∧(綈q)是假命题，综上所述，选C.
判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤
(1)先判断简单命题p，q的真假．
(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
1．已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(綈p)∧q为真命题，则x的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选D ∵綈p：∃x∈R,2x≥3x，要使(綈p)∧q为真，
∴綈p与q同时为真．由2x≥3x得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x≥1，∴x≤0，
由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，
∴x＝1或x＝－2，又x≤0，∴x＝－2.
2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析：选C 由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题；④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，故选C.
eq \a\vs4\al(考点三 根据命题的真假求参数的取值范围)eq \a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)
给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解：当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0，))∴0≤a<4.
当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤eq \f(1,4).
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p，q一真一假．
∴若p真q假，则0≤a<4，且a>eq \f(1,4)，∴eq \f(1,4)
故实数a的取值范围为(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4)).
根据命题真假求参数范围的3步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
1．已知p：∃x0∈R，mxeq \\al(2,0)＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．
C．(－∞，－2]∪
解析：选A 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))即m≥2.
2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象过点(0,1)，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个不同交点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m2－4>0，,－\f(m,2)>0，))解得m<－2，所以m的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
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1．命题“∃x0≤0，xeq \\al(2,0)≥0”的否定是( )
A．∀x≤0，x2<0 B．∀x≤0，x2≥0
C．∃x0>0，xeq \\al(2,0)>0 D．∃x0<0，xeq \\al(2,0)≤0
答案：A
2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：x＝1是方程x＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧綈q B．綈p∧q
C．綈p∧綈q D．p∧q
解析：选A 由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧綈q是真命题．
3．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则( )
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．p真q假 D．p∨q为假
解析：选D 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．所以p∨q为假．
4．(2017·唐山一模)已知命题p：∃x0∈N，xeq \\al(3,0)
C．p假q假 D．p真q真
解析：选A 由xeq \\al(3,0)
A． B．(－1,3)
C．(－∞，－1]∪上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若p为真，则对称轴x＝－eq \f(－4,2a)＝eq \f(2,a)在区间(－∞，2]的右侧，即eq \f(2,a)≥2，∴0
∴Δ＝2－4×16<0，∴eq \f(1,2)
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0
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1．已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．
C．R D．∅
解析：选B 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
2．已知命题p：∀x∈，a≥ex，命题q：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋4x0＋a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“p∧q”是真命题，则p和q均为真命题；当p是真命题时，a≥(ex)max＝e；当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4；所以a∈．
答案：
3．设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2
(2)若綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，x2－5x＋4<0，解得1
所以实数x的取值范围是(2,4)．
(2)綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则B⊆A，
由x2－5ax＋4a2<0得(x－4a)(x－a)<0，
∵a>0，∴A＝(a,4a)，
又B＝(2,5]，则a≤2且4a>5，解得eq \f(5,4)
1．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－eq \r(5)＜x＜eq \r(5)}，则( )
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D.A⊆B
解析：选B 集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－eq \r(5)＜x＜eq \r(5)}＝R，故选B.
2．(2016·全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝( )
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
解析：选C ∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，
∴∁AB＝{0,2,6,10}．
3．(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A． B．(－∞，2]∪∪[3，＋∞)
解析：选D 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选D 集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.
5．(2012·全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
解析：选D 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
1.(2015·天津高考)设x∈R，则“1
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A |x－2|<1⇔1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.
3．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选C 当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
1.(2012·全国卷)下面是关于复数z＝eq \f(2,－1＋i)的四个命题：
p1：|z|＝2, p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
解析：选C ∵复数z＝eq \f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq \r(2)，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．
2．(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
1.(2014·辽宁高考)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析：选A
如图，若a＝A1A―→，b＝AB―→，c＝B1B―→，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．
2．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
解析：选A 綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．即为(綈p)∨(綈q)．
1.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．
2．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．
3．(2015·山东高考)若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上恒成立，即y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒
x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A
AB或
BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，∅⊆A
∅
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形
常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
创新性问题
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
命题点一 集合及其运算
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低
题型：选择题
命题点二 充要条件
命题指数：☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题
命题点三 四种命题及其关系
命题指数：☆☆☆
难度：低
题型：选择题
命题点四 含有逻辑联结词的命题
命题指数：☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题
命题点五 全称量词和存在量词
命题指数：☆☆☆
难度：低
题型：选择题、填空题
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