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2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集 合
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这是一份2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集 合，共15页。试卷主要包含了集合间的基本关系，集合的基本运算，集合的运算性质等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，
∁U(∁UA)＝A.
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4. ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.
(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
2.若集合P＝{x∈N|x≤eq \r(2 023)}，a＝2eq \r(2)，则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆P D.a∉P
答案 D
解析 因为a＝2eq \r(2)不是自然数，而集合P是不大于eq \r(2 023)的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2A.{2} B.{2，3}
C.{3，4} D.{2，3，4}
答案 B
解析 因为A＝{x|－24.(易错题)(2021·宜昌调研)集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则由实数a的取值组成的集合为( )
A.{－2} B.{1}
C.{－2，1} D.{－2，1，0}
答案 D
解析 对于集合B，当a＝0时，B＝，满足B⊆A；
当a≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)))，
又B⊆A，所以eq \f(2,a)＝－1或eq \f(2,a)＝2，解得a＝－2或a＝1.
5.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝eq \r(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁UA)∩B＝( )
A.{x|x<0} B.{x|0C.{x|12}
答案 D
解析 易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}.
∴∁UA＝{x|x<0或x>2}，
故(∁UA)∩B＝{x|x>2}.
6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A. B.S C.T D.Z
答案 C
解析 法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.
法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，
所以S∩T＝T.
, 考点一 集合的基本概念
1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1，0，1；
当x＝1时，y＝0.
所以U＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素.
2.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 ①当a－3＝－3，即a＝0时，此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3，即a＝－1时，此时A＝{－4，－3，－3}舍，
③当a2－4＝－3，即a＝±1时，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2，1，－3}，
综上，a＝0或1.
3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且eq \f(8,6－x)∈N}＝________.
答案 {－2，2，4，5}
解析 由题意x可取－2，2，4，5，故答案为{－2，2，4，5}.
4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.
感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为( )
A.{－1} B.{1}
C.{－1，1} D.{－1，0，1}
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.
答案 (1)D (2)[－1，＋∞)
解析 (1)当B＝时，a＝0，此时，B⊆A.
当B≠时，则a≠0，∴B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝－\f(1,a))).
又B⊆A，∴－eq \f(1,a)∈A，∴a＝±1.
综上可知，实数a所有取值的集合为{－1，0，1}.
(2)∵B⊆A，
①当B＝时，2m－1>m＋1，解得m>2，
②当B≠时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))
解得－1≤m≤2，
综上，实数m的取值范围[－1，＋∞).
感悟提升 1.若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
训练1 (1)(2022·大连模拟)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2 022＋b2 023的值为( )
A.0 B.1
C.－2 D.0或－1
(2)已知集合A＝{x|lg2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为( )
A.(1，3) B.[1，3]
C.[1，＋∞) D.(－∞，3]
答案 (1)B (2)B
解析 (1)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，
若A＝B，则a2＝1或ab＝1.
由集合互异性知a≠1，当a＝－1时，
A＝{1，a，b}＝{1，－1，b}，
B＝{a，a2，ab}＝{－1，1，－b}，
有b＝－b，得b＝0.
∴a2 022＋b2 023＝(－1)2 022＋02 023＝1.
当ab＝1时，集合A＝{1，a，b}，
B＝{a，a2，ab}＝{a，a2，1}，有b＝a2.
又b＝eq \f(1,a)，∴a2＝eq \f(1,a)，得a＝1，不满足题意.
综上，a2 022＋b2 023＝1，故选B.
(2)由lg2(x－1)<1，得0所以A＝(1，3).
由|x－a|<2得a－2所以B＝(a－2，a＋2).
因为A⊆B，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2≤1，,a＋2≥3，))解得1≤a≤3.
所以实数a的取值范围为[1，3].
考点三 集合的运算
角度1 集合的基本运算
例2 (1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝( )
A.{5} B.{1，2}
C.{3，4} D.{1，2，3，4}
(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}
C.{x|0答案 (1)A (2)B
解析 (1)法一 因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}.
又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}.故选A.
法二 因为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∁UM＝{3，4，5}，∁UN＝{1，2，5}，
所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故选A.
(2)题图中阴影表示的集合为(∁UM)∩N.
易知M＝{x|x<1}，N＝{x|0∴(∁UM)∩N＝{x|1≤x<2}.
角度2 利用集合的运算求参数
例3 (1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是( )
A.[3，6) B.[1，2)
C.[2，4) D.(2，4]
(2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是( )
A.a<－2 B.a≤－2
C.a>－4 D.a≤－4
答案 (1)C (2)D
解析 (1)因为x2－4x－5<0，解得－1\f(m,2)})).
又因为A∩B中有三个元素，
所以1≤eq \f(m,2)<2，解之得2≤m<4.
故实数m的取值范围是[2，4).
(2)集合A＝{x|－2≤x≤2}，
B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤－\f(a,2)))，
由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图.
可知－eq \f(a,2)≥2，即a≤－4.
感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
训练2 (1)(2021·全国甲卷改编)设集合M＝{x|0A.a≤eq \f(1,3) B.a>4
C.a≤4 D.a>eq \f(1,3)
(2)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝，则a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由M∩N＝N，∴M⊇N.
当N＝时，即a≤eq \f(1,3)成立；
当N≠时，借助数轴易知eq \f(1,3)综上，a≤4.
(2)易得M＝{x|2x2－x－1<0}
＝{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)∵N＝{x|2x＋a>0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>－\f(a,2)))))，
∴∁UN＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(a,2))))).
由M∩(∁UN)＝，则－eq \f(a,2)≤－eq \f(1,2)，得a≥1.
Venn图的应用
用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.
例1 设全集U＝{x|0答案 {1，3，5，7} {2，3，4，6，8}
解析 由题知U＝{1，2，3，…，9}，根据题意，画出Venn图如图所示，由Venn图易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}.
例2 (2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案 C
解析 如图，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.
例3 向100名学生调查对A，B两件事的看法，得到如下结果：赞成A的人数是全体的eq \f(3,5)，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成.另外，对A，B都不赞成的人数比对A，B都赞成的学生人数的eq \f(1,3)多1人，则对A，B都赞成的学生人数为________，对A，B都不赞成的学生人数为________.
答案 36 13
解析 由题意知赞成A的人数为100×eq \f(3,5)＝60，赞成B的人数为60＋3＝63.如图，记100名学生组成的集合为U，赞成A的学生的全体记为集合A，赞成B的学生的全体记为集合B，并设对A，B都赞成的学生数为x，则对A，B都不赞成的人数为eq \f(x,3)＋1，由题意，知(60－x)＋(63－x)＋x＋eq \f(x,3)＋1＝100，解得x＝36.所以对A，B都赞成的学生人数为36人，对A，B都不赞成的学生人数为13人.
1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝( )
A.{3} B.{1，6} C.{5，6} D.{1，3}
答案 B
解析 由题设可得∁UB＝{1，5，6}，
故A∩(∁UB)＝{1，6}.
2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1A.(2，5) B.[2，5)
C.(2，5] D.[2，5]
答案 C
解析 ∵A＝{x|3x－1∴3×1－13.(2021·浙江卷)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1A.{x|x>－1} B.{x|x≥1}
C.{x|－1答案 D
解析 因为集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－14.(2022·河南名校联考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为( )
A.－1 B.0 C.1 D.±1
答案 A
解析 由题意a＝1或a2＝1，
当a＝1，此时A＝{1，1，0}与元素互异性矛盾，
∴a＝－1，故选A.
5.已知集合A＝{x∈Z|y＝lg5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2<0}，则( )
A.A∩B＝A B.A∪B＝B
C.BA D.AB
答案 C
解析 由x＋1>0，得x>－1，
∴A＝{x∈Z|x>－1}＝{0，1，2，3，…}.
由x2－x－2<0，得－1∴B＝{0，1}，
∴A∩B＝B，A∪B＝A，BA.
6.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x－y＝3))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))
∴A∩B＝{(2，－1)}.
由M⊆(A∩B)，知M＝或M＝{(2，－1)}.
7.(2022·太原模拟)已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，则(∁RM)∩N＝( )
A.[－1，＋∞)
B.[－1，1]∪[3，＋∞)
C.[－1，1)∪(3，＋∞)
D.[－1，1]∪(3，＋∞)
答案 C
解析 由已知可得M＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，N＝{y|y≥－1}，
∴∁RM＝{x|x<1或x>3}，
∴(∁RM)∩N＝{x|－1≤x<1或x>3}.
8.设集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，则a的最大值为( )
A.－2 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 因为A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.
又因为B＝{a}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以a的最大值为3.
9.(2021·合肥模拟)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x||x－1|≤2}，则A∩B＝________.
答案 {－1，0，1，2}
解析 B＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}，
又A＝{－2，－1，0，1，2}，
∴A∩B＝{－1，0，1，2}.
10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A＝{x|y＝eq \r(x－3)}，B＝{x|1答案 (1，3)
解析 因为A＝{x|y＝eq \r(x－3)}，所以A＝{x|x≥3}，所以∁RA＝{x|x<3}.
又B＝{x|1所以(∁RA)∩B＝(1，3).
11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.
答案 [1，＋∞)
解析 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
12.已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，若A＝B，则a＋b＝________.
答案 eq \f(3,4)或1
解析 由A＝B，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a.))
解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1，))
解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))
又由集合中元素的互异性，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))
所以a＋b＝1或a＋b＝eq \f(3,4).
13.若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1，0，1} B.{－1，0}
C.{－1，1} D.{0}
答案 D
解析 B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}.
14.(2020·浙江卷)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：
①对于任意的x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；
②对于任意的x，y∈T，若x＜y，则eq \f(y,x)∈S.
下列命题正确的是( )
A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素
答案 A
解析 由题意，①令S＝{1，2，4}，
则T＝{2，4，8}，
此时，S∪T＝{1，2，4，8}，有4个元素；
②令S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，
此时，S∪T＝{2，4，8，16，32}，有5个元素；
③令S＝{2，4，8，16}，则T＝{8，16，32，64，128}，
此时，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，有7个元素.
综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C，D；由③可知A正确.
15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝
(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，
则B＝{x|m16.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，1}，若M与N“相交”，则a＝________.
答案 1
解析 M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(a))，\f(1,\r(a))))，由eq \f(1,\r(a))＝eq \f(1,2)，得a＝4，由eq \f(1,\r(a))＝1，得a＝1.
当a＝4时，M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，此时M⊆N，不合题意；
当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意.集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，
∁U(∁UA)＝A.
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4. ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.
(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
2.若集合P＝{x∈N|x≤eq \r(2 023)}，a＝2eq \r(2)，则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆P D.a∉P
答案 D
解析 因为a＝2eq \r(2)不是自然数，而集合P是不大于eq \r(2 023)的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2
C.{3，4} D.{2，3，4}
答案 B
解析 因为A＝{x|－2
A.{－2} B.{1}
C.{－2，1} D.{－2，1，0}
答案 D
解析 对于集合B，当a＝0时，B＝，满足B⊆A；
当a≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)))，
又B⊆A，所以eq \f(2,a)＝－1或eq \f(2,a)＝2，解得a＝－2或a＝1.
5.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝eq \r(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁UA)∩B＝( )
A.{x|x<0} B.{x|0
答案 D
解析 易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}.
∴∁UA＝{x|x<0或x>2}，
故(∁UA)∩B＝{x|x>2}.
6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A. B.S C.T D.Z
答案 C
解析 法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.
法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，
所以S∩T＝T.
, 考点一 集合的基本概念
1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1，0，1；
当x＝1时，y＝0.
所以U＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素.
2.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 ①当a－3＝－3，即a＝0时，此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3，即a＝－1时，此时A＝{－4，－3，－3}舍，
③当a2－4＝－3，即a＝±1时，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2，1，－3}，
综上，a＝0或1.
3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且eq \f(8,6－x)∈N}＝________.
答案 {－2，2，4，5}
解析 由题意x可取－2，2，4，5，故答案为{－2，2，4，5}.
4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.
感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为( )
A.{－1} B.{1}
C.{－1，1} D.{－1，0，1}
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.
答案 (1)D (2)[－1，＋∞)
解析 (1)当B＝时，a＝0，此时，B⊆A.
当B≠时，则a≠0，∴B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝－\f(1,a))).
又B⊆A，∴－eq \f(1,a)∈A，∴a＝±1.
综上可知，实数a所有取值的集合为{－1，0，1}.
(2)∵B⊆A，
①当B＝时，2m－1>m＋1，解得m>2，
②当B≠时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))
解得－1≤m≤2，
综上，实数m的取值范围[－1，＋∞).
感悟提升 1.若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
训练1 (1)(2022·大连模拟)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2 022＋b2 023的值为( )
A.0 B.1
C.－2 D.0或－1
(2)已知集合A＝{x|lg2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为( )
A.(1，3) B.[1，3]
C.[1，＋∞) D.(－∞，3]
答案 (1)B (2)B
解析 (1)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，
若A＝B，则a2＝1或ab＝1.
由集合互异性知a≠1，当a＝－1时，
A＝{1，a，b}＝{1，－1，b}，
B＝{a，a2，ab}＝{－1，1，－b}，
有b＝－b，得b＝0.
∴a2 022＋b2 023＝(－1)2 022＋02 023＝1.
当ab＝1时，集合A＝{1，a，b}，
B＝{a，a2，ab}＝{a，a2，1}，有b＝a2.
又b＝eq \f(1,a)，∴a2＝eq \f(1,a)，得a＝1，不满足题意.
综上，a2 022＋b2 023＝1，故选B.
(2)由lg2(x－1)<1，得0
由|x－a|<2得a－2
因为A⊆B，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2≤1，,a＋2≥3，))解得1≤a≤3.
所以实数a的取值范围为[1，3].
考点三 集合的运算
角度1 集合的基本运算
例2 (1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝( )
A.{5} B.{1，2}
C.{3，4} D.{1，2，3，4}
(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}
C.{x|0
解析 (1)法一 因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}.
又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}.故选A.
法二 因为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∁UM＝{3，4，5}，∁UN＝{1，2，5}，
所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故选A.
(2)题图中阴影表示的集合为(∁UM)∩N.
易知M＝{x|x<1}，N＝{x|0
角度2 利用集合的运算求参数
例3 (1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是( )
A.[3，6) B.[1，2)
C.[2，4) D.(2，4]
(2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是( )
A.a<－2 B.a≤－2
C.a>－4 D.a≤－4
答案 (1)C (2)D
解析 (1)因为x2－4x－5<0，解得－1
又因为A∩B中有三个元素，
所以1≤eq \f(m,2)<2，解之得2≤m<4.
故实数m的取值范围是[2，4).
(2)集合A＝{x|－2≤x≤2}，
B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤－\f(a,2)))，
由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图.
可知－eq \f(a,2)≥2，即a≤－4.
感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
训练2 (1)(2021·全国甲卷改编)设集合M＝{x|0
C.a≤4 D.a>eq \f(1,3)
(2)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝，则a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由M∩N＝N，∴M⊇N.
当N＝时，即a≤eq \f(1,3)成立；
当N≠时，借助数轴易知eq \f(1,3)
(2)易得M＝{x|2x2－x－1<0}
＝{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)
∴∁UN＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(a,2))))).
由M∩(∁UN)＝，则－eq \f(a,2)≤－eq \f(1,2)，得a≥1.
Venn图的应用
用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.
例1 设全集U＝{x|0
解析 由题知U＝{1，2，3，…，9}，根据题意，画出Venn图如图所示，由Venn图易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}.
例2 (2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案 C
解析 如图，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.
例3 向100名学生调查对A，B两件事的看法，得到如下结果：赞成A的人数是全体的eq \f(3,5)，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成.另外，对A，B都不赞成的人数比对A，B都赞成的学生人数的eq \f(1,3)多1人，则对A，B都赞成的学生人数为________，对A，B都不赞成的学生人数为________.
答案 36 13
解析 由题意知赞成A的人数为100×eq \f(3,5)＝60，赞成B的人数为60＋3＝63.如图，记100名学生组成的集合为U，赞成A的学生的全体记为集合A，赞成B的学生的全体记为集合B，并设对A，B都赞成的学生数为x，则对A，B都不赞成的人数为eq \f(x,3)＋1，由题意，知(60－x)＋(63－x)＋x＋eq \f(x,3)＋1＝100，解得x＝36.所以对A，B都赞成的学生人数为36人，对A，B都不赞成的学生人数为13人.
1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝( )
A.{3} B.{1，6} C.{5，6} D.{1，3}
答案 B
解析 由题设可得∁UB＝{1，5，6}，
故A∩(∁UB)＝{1，6}.
2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1
C.(2，5] D.[2，5]
答案 C
解析 ∵A＝{x|3x－1
C.{x|－1
解析 因为集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1
A.－1 B.0 C.1 D.±1
答案 A
解析 由题意a＝1或a2＝1，
当a＝1，此时A＝{1，1，0}与元素互异性矛盾，
∴a＝－1，故选A.
5.已知集合A＝{x∈Z|y＝lg5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2<0}，则( )
A.A∩B＝A B.A∪B＝B
C.BA D.AB
答案 C
解析 由x＋1>0，得x>－1，
∴A＝{x∈Z|x>－1}＝{0，1，2，3，…}.
由x2－x－2<0，得－1
∴A∩B＝B，A∪B＝A，BA.
6.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x－y＝3))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))
∴A∩B＝{(2，－1)}.
由M⊆(A∩B)，知M＝或M＝{(2，－1)}.
7.(2022·太原模拟)已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，则(∁RM)∩N＝( )
A.[－1，＋∞)
B.[－1，1]∪[3，＋∞)
C.[－1，1)∪(3，＋∞)
D.[－1，1]∪(3，＋∞)
答案 C
解析 由已知可得M＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，N＝{y|y≥－1}，
∴∁RM＝{x|x<1或x>3}，
∴(∁RM)∩N＝{x|－1≤x<1或x>3}.
8.设集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，则a的最大值为( )
A.－2 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 因为A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.
又因为B＝{a}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以a的最大值为3.
9.(2021·合肥模拟)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x||x－1|≤2}，则A∩B＝________.
答案 {－1，0，1，2}
解析 B＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}，
又A＝{－2，－1，0，1，2}，
∴A∩B＝{－1，0，1，2}.
10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A＝{x|y＝eq \r(x－3)}，B＝{x|1
解析 因为A＝{x|y＝eq \r(x－3)}，所以A＝{x|x≥3}，所以∁RA＝{x|x<3}.
又B＝{x|1
11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.
答案 [1，＋∞)
解析 由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
12.已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，若A＝B，则a＋b＝________.
答案 eq \f(3,4)或1
解析 由A＝B，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a.))
解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1，))
解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))
又由集合中元素的互异性，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))
所以a＋b＝1或a＋b＝eq \f(3,4).
13.若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1，0，1} B.{－1，0}
C.{－1，1} D.{0}
答案 D
解析 B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}.
14.(2020·浙江卷)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：
①对于任意的x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；
②对于任意的x，y∈T，若x＜y，则eq \f(y,x)∈S.
下列命题正确的是( )
A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素
答案 A
解析 由题意，①令S＝{1，2，4}，
则T＝{2，4，8}，
此时，S∪T＝{1，2，4，8}，有4个元素；
②令S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，
此时，S∪T＝{2，4，8，16，32}，有5个元素；
③令S＝{2，4，8，16}，则T＝{8，16，32，64，128}，
此时，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，有7个元素.
综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C，D；由③可知A正确.
15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝
(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5
则B＝{x|m
答案 1
解析 M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(a))，\f(1,\r(a))))，由eq \f(1,\r(a))＝eq \f(1,2)，得a＝4，由eq \f(1,\r(a))＝1，得a＝1.
当a＝4时，M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，此时M⊆N，不合题意；
当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意.集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
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