2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第一章 集合与常用逻辑用语 2 word版含答案

考点测试2　命题及其关系、充分条件与必要条件

一、基础小题

1．命题“若a∉A，则b∉B”的否命题是(　　)

A．若a∉A，则b∉B   B．若a∈A，则b∈B

C．若b∈B，则a∉A   D．若b∉B，则a∈A

答案　B

解析　由原命题与否命题的定义知选B.

2．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)

A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0

B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

答案　D

解析　写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．

3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为(　　)

A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题

答案　C

解析　根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2＋3x－4＝0，得x＝－4或1，故选C.

4．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中(　　)

A．真命题与假命题的个数相同

B．真命题的个数一定是奇数

C．真命题的个数一定是偶数

D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数

答案　C

解析　在原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．

5．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈(A∩B)”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　如果x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B；但当x∈A，x∉B时，x∉(A∩B)，所以“x∈A”是“x∈(A∩B)”的必要不充分条件，故选B.

6．下列命题中为真命题的是(　　)

A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“已知a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题

答案　B

解析　对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，原命题为真，所以逆否命题为真，逆命题、否命题均为假，故选项D为假命题．综上可知，选B.

7．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　因为集合N＝{x|0<x≤2}是M＝{x|0<x≤3}的真子集，故由a∈M不能得到a∈N，由a∈N可以得到a∈M，所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．

8．a<0，b<0的一个必要条件为(　　)

A．a＋b<0   B．a－b>0

C.>1   D.<－1

答案　A

解析　若a<0，b<0，则一定有a＋b<0，故选A.

9．在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a6”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　设等比数列{an}的公比为q，若a1<a3，则a1(1－q2)<0，因为a1>0，所以1－q2<0，故q>1或q<－1，又a3－a6＝a1q2(1－q3)，若q>1，则a3<a6，若q<－1，则a3>a6，故充分性不成立．反之，若a3<a6，则1－q3<0，故q>1，则a1<a3，必要性成立，故“a1<a3”是“a3<a6”的必要不充分条件，选B.

10．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的________．(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”)

答案　逆否命题

解析　由4种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题．

11．若“x∈或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．

答案　设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当x>1且y>1时，x＋y>2，所以充分性成立；

令x＝－1，y＝4，则x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，

所以p是q的充分不必要条件．故选A.

14．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

答案　D

解析　由原命题和逆否命题的关系可知D正确．

15．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若sinα＝cosα，则cos2α＝cos2α－sin2α＝0，所以充分性成立；若cos2α＝0，则cos2α＝sin2α，即|sinα|＝|cosα|，所以必要性不成立，故选A.

16．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A.

17．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A．充要条件   B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件   D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　令x＝1，y＝－2，满足x>y，但不满足x>|y|；又x>|y|≥y，∴x>y成立，故“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．

18．已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　解法一：记g(x)＝f(f(x))＝(x2＋bx)2＋b(x2＋bx)

＝2－

＝2－.

当b<0时，－＋<0，

即当2－＋＝0时，g(x)有最小值，且g(x)min＝－，

又f(x)＝2－，所以f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等，都为－，故充分性成立．另一方面，当b＝0时，f(f(x))的最小值为0，也与f(x)的最小值相等．故必要性不成立．选A.

解法二：函数f(x)＝x2＋bx在x＝－处取得最小值且最小值为－；

令f(x)＝t，则f(f(x))＝f(t)＝t2＋bt，函数f(f(x))＝f(t)＝t2＋bt也在t＝－处取得最小值，为保证f(t)与f(x)的最小值相等，则需满足－≤－，解得b≥2或b≤0，所以“b<0”是“f(f(x))与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件，故选A.

三、模拟小题

19．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈p綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．

20．若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是(　　)

A．綈p是q的必要不充分条件

B．綈q是p的必要不充分条件

C．綈p是綈q的必要不充分条件

D．綈q是綈p的必要不充分条件

答案　C

解析　由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，qp，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q⇒綈p，綈p綈q，∴綈p是綈q的必要不充分条件．故选C.

21．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是(　　)

A．－1<x≤1   B．x≤1

C．x>－1   D．－1<x<1

答案　D

解析　由题意可知，x∈A⇔x>－1，x∉B⇔－1<x<1，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是－1<x<1.故选D.

22．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±，故“m＝”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

23．若f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是(　　)

A．t≤－1   B．t>－1

C．t≥3   D．t>3

答案　D

解析　P＝{x|f(x＋t)＋1<3}＝{x|f(x＋t)<2}＝{x|f(x＋t)<f(2)}，Q＝{x|f(x)<－4}＝{x|f(x)<f(－1)}，因为函数f(x)是R上的增函数，所以P＝{x|x＋t<2}＝{x|x<2－t}，Q＝{x|x<－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则有2－t<－1，即t>3，选D.

24．已知函数f(x)＝＋a(x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填写)

答案　充要

解析　若f(x)＝＋a是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

即f(－x)＋f(x)＝0，∴＋a＋＋a＝2a＋＋＝0，即2a＋＝0，∴2a－1＝0，即a＝，f(1)＝＋＝1.若f(1)＝1，即f(1)＝＋a＝1，解得a＝.∴“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，a≠1)有意义；q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.

(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；

(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　(1)由对数式有意义得1<t<.

(2)∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴1<t<是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0解集的真子集．

解法一：因方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0两根为1，a＋2，故只需a＋2>，解得a>.

解法二：令f(t)＝t2－(a＋3)t＋(a＋2)，因f(1)＝0，故只需f<0，解得a>.

2．已知条件p：|5x－1|>a和条件q：>0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给出的两个条件作为A，B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．

解　已知条件p即5x－1<－a或5x－1>a，

∴x<或x>.

已知条件q即2x2－3x＋1>0，∴x<或x>1；

令a＝4，则p即x<－或x>1，

此时必有p⇒q成立，反之不然．

故可以选取一个实数是a＝4，A为p，B为q，对应的命题是若p则q.

3．已知命题p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

解　解法一：由≤2，得－2≤x≤10，

∴綈p：A＝{x|x>10或x<－2}．

由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)，

∴綈q：B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．

∵綈p是綈q的必要而不充分条件，

∴BA⇔解得m≥9.

解法二：∵綈p是綈q的必要而不充分条件，

∴q是p的必要而不充分条件，

∴p是q的充分而不必要条件．

由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．

∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．

又由≤2，得－2≤x≤10，

∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．

∴PQ⇔解得m≥9.

4．已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．

(1)若(P∪S)⊆P，求实数m的取值范围；

(2)是否存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解　由x2－8x－20≤0，解得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由|x－1|≤m，可得1－m≤x≤1＋m，

∴S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．

(1)要使(P∪S)⊆P，则S⊆P.

①若S＝∅，此时m<0.

②若S≠∅，此时解得0≤m≤3.

综合①②知实数m的取值范围为(－∞，3]．

(2)由题意“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则S＝P，

则∴∴这样的m不存在．