高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：2.13 定积分与微积分基本定理 word版含答案

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(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
(2)了解微积分基本定理的含义．
知识点一 定积分
1．定积分的性质
(1)eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))kf(x)dx＝eq \a\vs4\al(k\i\in(a,b,))f(x)dx(k为常数)．
(2)eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))[f(x)±g(x)]dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx±eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))g(x)dx.
(3)eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(a,c,))f(x)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(c,b,))f(x)dx(其中a2．定积分的几何意义
(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．
(2)一般情况下，定积分eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．
(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．
(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．
[自测练习]
1．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2 x≥0，,2x x<0，))则eq \a\vs4\al(\i\in(,1,)－1)f(x)dx的值是( )
A.eq \a\vs4\al(\i\in(,1,)－1)x2dx B.eq \a\vs4\al(\i\in(,1,)－1)2xdx
C.eq \a\vs4\al(\i\in(,0,)－1)x2dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(,1,)0)2xdx D.eq \a\vs4\al(\i\in(,0,)－1)2xdx＋eq \a\vs4\al(\i\in(,1,)0)x2dx
解析：由分段函数的定义及积分运算性质，
∴eq \a\vs4\al(\i\in(,1,)－1)f(x)dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(,0,)－1)2xdx＋eq \a\vs4\al(\i\in(,1,)0)x2dx.
答案：D
2．已知f(x)是偶函数，且eq \a\vs4\al(\i\in(0,6,))f(x)dx＝8，则eq \a\vs4\al(\i\in(,6,)－6)f(x)dx＝( )
A．0 B．4
C．6 D．16
解析：因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在y轴两侧的图象对称，所以eq \a\vs4\al(\i\in(,6,)－6)f(x)dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(,0,)－6)f(x)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(0,6,))f(x)dx＝2eq \a\vs4\al(\i\in(0,6,))f(x)dx＝16.
答案：D
知识点二 微积分基本定理
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)．那么eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．
为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(b,a)))，即eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝F(x)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(b,a)))＝F(b)－F(a)．
必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法：
(1)对被积函数要先化简，再求积分．
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．
(4)注意用“F ′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
[自测练习]
3．设a＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))x－eq \f(1,3)dx，b＝1－eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq \f(1,2)dx，c＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．b>c>a
解析：a＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))x－eq \f(1,3)dx＝eq \f(3,2)xeq \f(2,3)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(3,2)，
b＝1－eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq \f(1,2)dx＝1－eq \f(2,3)xeq \f(3,2)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(1,3)，
c＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx＝eq \f(1,4)x4eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(1,4)，因此a>b>c，故选A.
答案：A
4．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(7,12)
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝x3))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))
结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为
eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x2－x3)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－\f(1,4)x4))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(1,12)，故选A.
答案：A
考点一 定积分的计算|
1．定积分eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))eq \r(9－x2)dx的值为( )
A．9π B．3π
C.eq \f(9,4)π D.eq \f(9,2)π
解析：由定积分的几何意义知，eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))eq \r(9－x2)dx是由曲线y＝eq \r(9－x2)，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))eq \r(9－x2)dx＝eq \f(π·32,4)＝eq \f(9π,4)，故选C.
答案：C
2．(2016·临沂模拟)若eq \a\vs4\al(∫\f(π,2)0)(sin x＋acs x)dx＝2，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C.eq \r(3) D．－eq \r(3)
解析：∵(asin x－cs x)′＝sin x＋acs x.
∴eq \a\vs4\al(∫\f(π,2)0)(sin x＋acs x)dx＝(asin x－cs x)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)0))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(asin \f(π,2)－cs \f(π,2)))－(asin 0－cs 0)＝a＋1＝2.
∴a＝1.
答案：B
3．(2015·西安模拟)已知A＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))|x2－1|dx，则A＝________.
解析：A＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))|x2－1|dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))(1－x2)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(1,3,))(x2－1)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－x))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(3,1)))＝eq \f(22,3).
答案：eq \f(22,3)
定积分计算的三种方法
定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．


考点二 利用定积分求平面图形的面积|
设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于( )
A．1 B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(4,3)
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝1，))得x＝±1.如图，由对称性可知，
S＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×1－\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×1－\f(1,3)x3\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))))＝eq \f(4,3)，选D.
[答案] D
利用定积分求平面图形面积的三个步骤
(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．
(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限．
(3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．

1．(2015·衡中三模)由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．
解析：把阴影部分分成两部分求面积．
S＝S1＋S2＝eq \a\vs4\al(\i\in(,0,)－\r(2))(2－x2)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))(2－x2－x)dx
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(x3,3)))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(0,－\r(2))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(x3,3)－\f(x2,2)))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))
＝2eq \r(2)－eq \f(\r(2)3,3)＋2－eq \f(1,3)－eq \f(1,2)
＝eq \f(4\r(2),3)＋eq \f(7,6).
答案：eq \f(4\r(2),3)＋eq \f(7,6)
考点三 定积分物理意义的应用|
一物体做变速直线运动，其v ­t曲线如图所示，则该物体在eq \f(1,2) s～6 s间的运动路程为________．
[解析] 由图象可知，v(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2t，0≤t<1，,2，1≤t<3，,\f(1,3)t＋1，3≤t≤6，))
所以eq \f(1,2) s～6 s间的运动路程
s＝eq \a\vs4\al(\i\in(eq \f(1,2),6,)) v ,6,)eq \f(1,2)),1,)eq \f(1,2))(t)= eq \a\vs4\al(\i\in(eq \f(1,2),6,))2tdt＋eq \a\vs4\al(\i\in(1,3,))2dt＋eq \a\vs4\al(\i\in(3,6,))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)t＋1))dt
＝)eq \f(1,2))).
[答案] eq \f(49,4)
利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．
2．一物体在力F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10，0≤x≤2，,3x＋4，x>2，))(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为( )
A．44 J B．46 J
C．48 J D．50 J
解析：力F(x)做功为eq \a\vs4\al(\i\in(0,2,))10dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(2,4,))(3x＋4)dx
＝10xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(2,0)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x2＋4x))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(4,2)))
＝20＋26＝46.
答案：B
5.混淆图形面积与定积分关系致误
【典例】 已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．
[解析] 由题意可得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x，0≤x≤\f(1,2)，,10－10x，\f(1,2)所以y＝xf(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x2，0≤x≤\f(1,2)，,10x－10x2，\f(1,2)[答案] eq \f(5,4)
[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．
(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．
[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：
(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．
[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0,ex，0≤x≤1))的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
解析：由题意知，所求面积为eq \a\vs4\al(\i\in(,0,)－1)(x＋1)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))exdx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋x))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(0,－1)))＋exeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))＋(e－1)＝e－eq \f(1,2).
答案：e－eq \f(1,2)
A组 考点能力演练
1．已知t>0，若eq \a\vs4\al(\i\in(0,t,))(2x－2)dx＝8，则t＝( )
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
解析：由eq \a\vs4\al(\i\in(0,t,))(2x－2)dx＝8得(x2－2x)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(t,0)))＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)，故选D.
答案：D
2．(2015·青岛模拟)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈1，e]))(其中e为自然对数的底数)，则eq \a\vs4\al(\i\in(0,e,))f(x)dx的值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,4)
C.eq \f(6,5) D.eq \f(7,6)
解析：eq \a\vs4\al(\i\in(0,e,))f(x)dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(1,e,))f(x)dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(1,e,))eq \f(1,x)dx＝eq \f(x3,3)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＋ln xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(e,1)))＝eq \f(1,3)＋ln e＝eq \f(4,3)，故选A.
答案：A
3．(2016·武汉模拟)设a＝eq \a\vs4\al(\i\in(1,2,))(3x2－2x)dx，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2－\f(1,x)))6的展开式中的第4项为( )
A．－1 280x3 B．－1 280
C．240 D．－240
解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a＝(x3－x2)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(2,1)))＝4，二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x2－\f(1,x)))6的展开式的第四项是T4＝Ceq \\al(3,6)·(4x2)3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))3＝－1 280x3，故选A.
答案：A
4．如图所示，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝eq \f(1,x)(x>0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一点M，则点M取自E内的概率为( )
A.eq \f(ln 2,2) B.eq \f(1－ln 2,2)
C.eq \f(1＋ln 2,2) D.eq \f(2－ln 2,2)
解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×eq \f(1,2)＋eq \a\vs4\al(\i\in(,1,)eq \f(1,2))eq \f(1,x)dx＝1＋ln xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,)eq \f(1,2)))＝1＋ln 2，因此所求的概率等于eq \f(1＋ln 2,2)，故选C.
答案：C
5．已知数列{an}是等差数列，且a2 013＋a2 015＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,2,))eq \r(4－x2)dx，则a2 014(a2 012＋2a2 014＋a2 016)的值为( )
A．π2 B．2π
C．π D．4π2
解析：eq \a\vs4\al(\i\in(0,2,))eq \r(4－x2)dx表示圆x2＋y2＝4在第一象限的面积，即eq \a\vs4\al(\i\in(0,2,))eq \r(4－x2)dx＝π，又数列{an}是等差数列，所以a2 013＋a2 015＝a2 012＋a2 016＝2a2 014，所以得a2 014·(a2 012＋2a2 014＋a2 016)＝eq \f(π,2)×2π＝π2，故选A.
答案：A
6．(2015·南昌模拟)直线y＝eq \f(1,3)x与抛物线y＝x－x2所围图形的面积等于________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,3)x，,y＝x－x2，))解得x＝0或eq \f(2,3)，所以所求面积为eq \a\vs4\al(∫\f(2,3)0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x2－\f(1,3)x))dx＝eq \a\vs4\al(∫\f(2,3)0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x－x2))dx
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x2－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)0))＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3－0＝eq \f(4,81).
答案：eq \f(4,81)
7．(2015·长春二模)已知a>0且曲线y＝eq \r(x)、x＝a与y＝0所围成的封闭区域的面积为a2，则a＝________.
解析：由题意a2＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,a,))eq \r(x)dx＝eq \f(2,3)xeq \f(3,2)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(a,0)))，所以a＝eq \f(4,9).
答案：eq \f(4,9)
8．已知a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \a\vs4\al(\i\in(0,a,))(cs x－sin x)dx取最大值时，a＝________.
解析：eq \a\vs4\al(\i\in(0,a,))(cs x－sin x)dx＝(sin x＋cs x)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(a,0)))＝sin a＋cs a－1＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(π,4)))－1.∵a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴当a＝eq \f(π,4)时，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(\i\in(0,a,))cs x－sin xdx))max＝eq \r(2)－1.
答案：eq \f(π,4)
9．求曲线y＝eq \r(x)，y＝2－x，y＝－eq \f(1,3)x所围成图形的面积．
解：如图，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(x)，,y＝2－x，))得交点A(1,1)；由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2－x，,y＝－\f(1,3)x，))得交点B(3，－1)．
故所求面积S＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,3)x))dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(1,3,))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－x＋\f(1,3)x))dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x\f(3,2)＋\f(1,6)x2))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,3)x2))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(3,1)))＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,6)＋eq \f(4,3)＝eq \f(13,6).
10．汽车以54 km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？
解：由题意，得v0＝54 km/h＝15 m/s.
所以v(t)＝v0＋at＝15－3t.
令v(t)＝0，得15－3t＝0.解得t＝5.
所以开始刹车5 s后，汽车停车．
所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为
s＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,5,))v(t)dt＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,5,))(15－3t)dt
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15t－\f(3,2)t2))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(5,0)))＝37.5(m)．
故汽车走了37.5 m.
B组 高考题型专练
1．(2014·高考陕西卷)定积分eq \i\in(0,1,)(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
解析：eq \i\in(0,1,)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝1＋e1－1＝e.
答案：C
2．(2014·高考江西卷)若f(x)＝x2＋2eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx，则eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝( )
A．－1 B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,3) D．1
解析：令eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝m，则f(x)＝x2＋2m，所以eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x2＋2m)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3＋2mx))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(1,3)＋2m＝m，解得m＝－eq \f(1,3)，故选B.
答案：B
3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq \f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln eq \f(11,3)
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
解析：由v(t)＝0得t＝4.故刹车距离为
s＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,4,))v(t)dt＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,4,))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7－3t＋\f(25,1＋t)))dt
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)t2＋7t＋25ln1＋t))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(4,0)))＝4＋25ln 5.
答案：C
4．(2014·高考山东卷)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2)
C．2 D．4
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝4x，,y＝x3))得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)．
∴S＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,2,))(4x－x3)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x2－\f(1,4)x4))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(2,0)))＝4.
答案：D
5．(2015·高考天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．
解析：由题意，可得封闭图形的面积为
eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x－x2)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6)
6．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．
解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p＝eq \f(25,4)，抛物线方程为x2＝eq \f(25,2)y，所以当前最大流量对应的截面面积为2eq \a\vs4\al(\i\in(0,5,))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,25)x2))dx＝eq \f(40,3)，原始的最大流量对应的截面面积为eq \f(2×6＋10,2)＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为eq \f(16,\f(40,3))＝1.2.
答案：1.2