高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.6 双曲线 word版含答案

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第六节　双曲线

1．双曲线的标准方程
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．双曲线的几何性质
知道双曲线的简单几何性质．



知识点一　双曲线的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
双曲线
F1，F2为双曲线的焦点
||MF1|－|MF2||＝2a
|F1F2|为双曲线的焦距
2a<|F1F2|

易误提醒　双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在．
[自测练习]
1．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
解析：由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16，由左焦点F(－5,0)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.
答案：44
知识点二　双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图　形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称中心：原点
对称轴：坐标轴；
对称中心：原点
对称轴：坐标轴；
顶点
顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为
a，b，c关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

易误提醒　(1)双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，)；
若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝；
若0.
(2)注意区分双曲线与椭圆中的a，b，c的大小关系：在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
[自测练习]
2．“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：方程－＝1表示双曲线，则(m－8)·(m－10)>0，解得m<8或m>10，故“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
3．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．2 B. C. D．1
解析：因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.
答案：D
4．已知F是双曲线－＝1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不可能是(　　)
A．15° B．25°
C．60° D．165°
解析：∵两条渐近线y＝±x的倾斜角分别为30°，150°，
∴0≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°，故选C.
答案：C

考点一　双曲线的定义及标准方程|

1．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且|PF1|＝|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4　　　　　　　 B．8
C．24 D．48
解析：由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2，
又|PF1|＝|PF2|，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
又|F1F2|＝2c＝10，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，△PF1F2为直角三角形．△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.
答案：C
2．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：依题意，A(a，b)，以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，∴c＝4，＝4，∴a＝2，b2＝12.故双曲线C的方程为－＝1.
答案：A
3．已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
解析：由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，
∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a＝－2.
答案：C

求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点
(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．
　　
　　　　　　考点二　渐近线与离心率问题|
双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起来常见的命题探究角度有：
1．已知离心率求渐近线方程．
2．已知渐近线求离心率．
3．由离心率或渐近线确定双曲线方程．
4．利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围．
探究一　已知离心率求渐近线方程
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：因为e2＝＝＝1＋＝，所以＝，所以＝，所以y＝±x.
答案：C
探究二　已知渐近线求离心率
2．(2016·海淀模拟)已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝2x，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知＝2，得b＝2a，c＝a，所以e＝＝.
答案：
探究三　由离心率或渐近线求双曲线方程
3．(2016·宜春一模)已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(　　)
A．5x2－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．5x2－＝1
解析：∵抛物线的焦点为F(1,0)，∴c＝1.
又＝，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝1－＝.
故所求方程为5x2－＝1，故选D.
答案：D
探究四　利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围
4．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2，
∴e＝＝>＝.
答案：C

解决有关渐近线与离心率关系问题的方法
(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．
(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．
　　
　　考点三　直线与双曲线的位置关系|

　(2016·汕头模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别是它的左、右焦点，A(－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e＝2.设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，其中点P位于第一象限内．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线AP，AQ分别与直线x＝交于M，N两点，求证：MF2⊥NF2.
[解]　(1)由题可知a＝1.∵e＝＝2.∴c＝2.∵a2＋b2＝c2，∴b＝，∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为x＝ty＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
由得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
又直线AP的方程为y＝(x＋1)，
将x＝代入，得M.
同理，直线AQ的方程为y＝(x＋1)，
将x＝代入，得N.
∴＝，
＝.
∴·＝＋
＝＋
＝＋
＝＋＝－＝0，
∴MF2⊥NF2.

解决直线与双曲线位置关系的两种方法
(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．
(2)与中点有关的问题常用点差法．
注意：根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．
　　
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t ，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
又∵一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.
∴由焦点到渐近线的距离为，得＝.
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3).
　　20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误
【典例】　已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
[易错点析]　由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．
[解]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋1－k.
由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．
[方法点评]　(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．
(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．
(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．
[跟踪练习]　(2015·厦门模拟)过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是(　　)
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点分别在左、右两支上
解析：直线l的方程为y＝(x＋)，代入C：－＝1整理，得23x2－8x－160＝0，Δ＝(－8)2＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．
答案：D

A组　考点能力演练
1．双曲线－＝1(0 A．6　　　　　　　　　　 B．12
C．36 D．2
解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6.双曲线的焦距为12.
答案：B
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．2 B．2
C. D．1
解析：双曲线－＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，
渐近线方程为y＝x，y＝－x.
由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，
d＝＝2.
答案：A
3．P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：由||PF1|－|PF2||＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|·|PF2|＝9，得c2－9＝a2.又＝，∴a＝4，c＝5，b＝3.∴a＋b＝7.
答案：D
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：依题意，a2－b2＝m2＋n2＝c2，c2＝am,2n2＝2m2＋c2，得a＝4m，c＝2m，∴e＝＝.
答案：D
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2]
C．(1，] D．(1,3]
解析：因为P为双曲线右支上的任意一点，所以|PF1|＝2a＋|PF2|，所以＝|PF2|＋＋4a≥2＋4a＝8a，当且仅当|PF2|＝2a，|PF1|＝4a时，等号成立，可得2a＋4a≥2c，解得e≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.
答案：D
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：易知P，又∠PF1F2＝，∴tan ＝，即＝，即e2－2e－＝0，∴e＝，∴＝－1＝2.∴＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
7．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为________．
解析：由双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.又点P在以F1F2为直径的圆上，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(3a)2＋a2＝(2c)2，＝，∴e＝.
答案：
8．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，其中一条渐近线为y＝x，点A在双曲线C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos ∠AF2F1＝________.
解析：双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则b＝a，c＝2a.在△AF2F1中，
由|F1A|＝2|F2A|，|F1A|－|F2A|＝2a，
得|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，|F1F2|＝4a，
∴cos∠AF2F1＝.
答案：
9．直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)求双曲线C的方程．
解：(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.
因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.
而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.
依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.
又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，
所以tan 30°＝＝.
于是e2＝＝1＋＝1＋＝，所以e＝.
(2)由于＝，于是设双曲线方程为－＝1(k≠0)，
即x2－3y2＝3k2.
将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2中，得x2－3×3(x－2)2＝3k2.
化简得到8x2－36x＋36＋3k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝2
＝2
＝ ＝，求得k2＝1.
故所求双曲线方程为－y2＝1.
10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2＋y2－4y－4＝0，双曲线的左、右顶点A，B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．

(1)试求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，试在“8”字形曲线上求一点P，使得∠F1PF2是直角．
解：(1)设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，在已知圆的方程中，令y＝0，得x2－4＝0，即x＝±2，则双曲线左、右顶点为A(－2,0)，B(2,0)，于是a＝2.
令y＝2，可得x2－8＝0，解得x＝±2，
即双曲线过点(±2，2)，则－＝1，∴b＝2.
所以所求双曲线方程为－＝1.
(2)由(1)得双曲线的两个焦点F1(－2，0)，
F2(2，0)．
当∠F1PF2＝90°时，设点P(x，y)，
①若点P在双曲线上，得x2－y2＝4，
由·＝0，得(x＋2)(x－2)＋y2＝0，即x2－8＋y2＝0.由
解得
所以P1(，)，P2(，－)，P3(－，)，P4(－，－)．
②若点P在上半圆上，则x2＋y2－4y－4＝0(y≥2)，
由·＝0，得(x＋2)(x－2)＋y2＝0，即x2＋y2－8＝0，由无解．
同理，点P在下半圆也没有符合题意的点．
综上，满足条件的点有4个，分别为P1(，)，P2(，－)，P3(－，)，P4(－，－)．
B组　高考题型专练
1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2
C. D.
解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线方程－＝1，得a＝b，所以e＝.故选D.
答案：D
2．(2015·高考重庆卷)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A．± B．±
C．±1 D．±
解析：由题意，得A1(－a,0)，A2(a,0)，F(c,0)，将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±，不妨设B，C，则kA1B＝，kA2C＝，根据题意，有·＝－1，整理得＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.
答案：C
3．(2015·高考四川卷)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A. B．2
C．6 D．4
解析：由双曲线的标准方程x2－＝1得，右焦点F(2,0)，两条渐近线方程为y＝±x，直线AB：x＝2，所以不妨取A(2,2)，B(2，－2)，则|AB|＝4，选D.
答案：D
4．(2015·高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
解析：因为(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，所以1＋b2＝4，则b＝.
答案：
5．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限，由解得或
故A.所以kAF＝＝.
由已知F为△OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF·＝－1，即×＝－1，整理得b2＝a2，所以c2＝a2＋b2＝a2，故c＝a，即e＝＝.
答案：