高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：2.8 函数与方程 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：2.8 函数与方程 word版含答案，共12页。

(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
知识点一 函数的零点
1．函数的零点
(1)定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系．
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
易误提醒
1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误为函数点．
2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示．
所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
必记结论 有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
[自测练习]
1．函数y＝|lg2x|－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：令y＝|lg2x|－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝0，即|lg2x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，在同一坐标系下作出y＝|lg2x|和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．
答案：C
2．(2016·东城期末)函数f(x)＝ex＋eq \f(1,2)x－2的零点所在的区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．(1,2) D．(2,3)
解析：∵f′(x)＝ex＋eq \f(1,2)＞0，∴f(x)在R上单调递增，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－eq \f(7,4)＜eq \r(3)－eq \f(7,4)＜0，f(1)＝e－eq \f(3,2)＞0，∴零点在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上．
答案：B
知识点二 二分法
二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
必备方法 用二分法求函数零点的方法
用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
[自测练习]
3．根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
A.(1,2) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(2,3)
解析：本题考查二分法的应用．令f(x)＝ex－x－2，则由表中数据可得f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，所以函数f(x)的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．
答案：A、
考点一 判定函数零点所在区间|
1．已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－lg2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：因为f(1)＝6－lg21＝6>0，f(2)＝3－lg22＝2>0，f(4)＝eq \f(3,2)－lg24＝－eq \f(1,2)<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
答案 C
2．(2015·上海二模)若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)
解析：由题意知f(－1)f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1.
答案：C
3．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，
∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，
可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
答案：B
确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

考点二 判断函数零点个数|
(1)(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－|x|，x≤2，,x－22，x＞2，))函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点，故选A.
[答案] A
(2)已知符号函数sgn(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1， x＞0，,0， x＝0，,－1， x＜0，))则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 本题考查新定义创新能力、函数零点的个数．①当ln x＞0，即x＞1时，f(x)＝1－ln2 x，令1－ln2 x＝0，得x＝e，即此时有一个零点；②当ln x＝0，即x＝1时，f(x)＝－ln2 x，令－ln2 x＝0，得x＝1，此时也有一个零点；③当ln x＜0，即0＜x＜1时，f(x)＝－1－ln2 x，令－1－ln2 x＝0，无解，即当0＜x＜1时，函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2 x没有零点．综上，函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2 x的零点个数为2.故选B.
[答案] B
函数零点个数的三种判断方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

1．(2015·辽宁三校联考)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝lg3x＋x，h(x)＝x－eq \f(1,\r(x))的零点依次为a，b，c，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解析：在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝lg3x，y＝－eq \f(1,\r(x))的图象，如图，观察它们与直线y＝－x的交点情况可知a＜b＜c.
答案：A
考点三 函数零点的应用|
(2015·高考北京卷)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－a，x＜1，,4x－ax－2a，x≥1.))
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)若a＝1，则f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x＜1，,4x－1x－2，x≥1.))
作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.
(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a＜1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜1≤2a,21－a＞0))，解得eq \f(1,2)≤a＜1.
综上，实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)．
[答案] (1)－1 (2)[eq \f(1,2)，1)∪[2，＋∞)
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

2．已知f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx，若关于x的方程f(x)＝0在(0,2)上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )
A．(－1,0)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(7,2)))∪(－1，＋∞)
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，－1))
解析：本题考查函数零点及函数与方程的关系．当x∈(0,1]时，f(x)＝1－x2＋x2＋kx＝kx＋1，此时方程f(x)＝0有一个零点－eq \f(1,k)；当x∈(1,2)时，f(x)＝g(x)＝x2－1＋x2＋kx＝2x2＋kx－1.∵g(x)＝2x2＋kx－1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间(1,2)上，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g1＜0，,g2＞0，,0＜－\f(1,k)≤1，))解得－eq \f(7,2)＜k＜－1，故选D.
答案：D
7.转化法求解二次方程根的分布问题
【典例】 (2015·烟台莱州一中月考)若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m的取值范围是________．
[思路点拨] 由条件知，构造f(x)＝x2－2mx＋4问题转化为二次函数f(x)的零点问题，数形结合写出条件可求解．
[解析] 令函数f(x)＝x2－2mx＋4，由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＜0，,f2＜0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2m＋4＜0，,4－4m＋4＜0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞\f(5,2)，,m＞2，))即m＞eq \f(5,2).
[答案] (eq \f(5,2)，＋∞)
[方法点评] 二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合，从判别式Δ，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证．
[跟踪练习] 方程x2－2ax＋4＝0的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－2ax＋4，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＞0，,f1＜0，,f6＜0，,f8＞0.))解得eq \f(10,3)＜a＜eq \f(17,4).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，\f(17,4)))
A组 考点能力演练
1．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|lg5 x|的零点个数为( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：由零点的定义可得f(x)＝|lg5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．
答案：B
2．(2015·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
答案：A
3．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( )
A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a)
C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0
解析：依题意，f(0)＝－3＜0，f(1)＝e－2＞0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0＜a＜1.g(1)＝－3＜0，g(2)＝ln 2＋3＞0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1＜b＜2，于是有f(b)＞f(1)＞0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)＜g(1)＜0，g(a)＜0＜f(b)．选A.
答案：A
4．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝x＋a(a>0且a≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象与y轴交于点(0,1)，而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1.
答案：C
5．(2015·武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f(x)＝eq \f(a1,x－λ1)＋eq \f(a2,x－λ2)＋eq \f(a3,x－λ3)的两个零点分别位于区间( )
A．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内
B．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内
C．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内
D．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内
解析：本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x→λ1，f(x)→＋∞，x→λ2，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x→λ2，f(x)→＋∞，x→λ3，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B.
答案：B
6．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－1，x≥2或x≤－1，,1， －1解析：求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2或x≤－1，,x2－x－1＝x))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1解得x＝1＋eq \r(2)或x＝1.
∴g(x)的零点为1＋eq \r(2)，1.
答案：1＋eq \r(2)，1
7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间为________．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1＜0，
f(2.5)＝2.53－10＞0.
从而下一个有根的区间为(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
8．已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________.
解析：∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，
f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，
且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，
∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3.
∴a＋b＝5.
答案：5
9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
解：令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,f4<0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,f4>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,26m＋38<0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,26m＋38>0.))
解得－eq \f(19,13)即实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,13)，0)).
10．设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c＜b＜1)的一个零点是1，且函数g(x)＝f(x)＋1也有零点．
(1)证明：－3＜c≤－1，且b≥0；
(2)若m是函数g(x)的一个零点，试判断f(m－4)的正负并加以证明．
解：(1)证明：由f(1)＝0，得b＝－eq \f(c＋1,2).又c＜b＜1，故c＜－eq \f(c＋1,2)＜1，∴－3＜c＜－eq \f(1,3).
方程f(x)＋1＝0有实根，
即方程x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，
故Δ＝4b2－4(c＋1)≥0，即c2－2c－3≥0.
∴c≥3，或c≤－1，又－3＜c＜－eq \f(1,3)，
所以－3＜c≤－1.
又b＝－eq \f(c＋1,2)，∴b≥0.
(2)∵f(x)＝x2＋2bx＋c＝(x－c)(x－1)，且m是函数g(x)＝f(x)＋1的一个零点，
∴f(m)＝－1＜0，故c＜m＜1.
∴c－4＜m－4＜－3＜c.
∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0，
所以f(m－4)的符号为正．
B组 高考题型专练
1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cs x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
解析：y＝cs x是偶函数，且存在零点；y＝sin x是奇函数；y＝ln x既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A.
答案：A
2．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－|x|，x≤2，,x－22，x＞2，))函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，2))
解析：函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同的实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点．又y＝f(x)＋f(2－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x＋2，x＜0，,2，0≤x≤2，,x2－5x＋8，x＞2，))作出该函数的图象如图所示，由图可得，当eq \f(7,4)＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)有4个交点，故选D.
答案：D
3．(2015·高考湖北卷)函数f(x)＝4cs2 eq \f(x,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．
解析：因为f(x)＝4cs2 eq \f(x,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))－2sin x－|ln(x＋1)|＝2(1＋cs x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数．函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
答案：2
4．(2015·高考湖南卷)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≤a，,x2，x＞a.))若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．
解析：令 φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x＞a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a＜0或φ(a)＞h(a)，即a＜0或a3＞a2，解得a＜0或a＞1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
5．(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x2－2x＋\f(1,2))).若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
解析：当x∈[0,3)时，f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x2－2x＋\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－12－\f(1,2)))，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在[－3,4]上的图象，如图．
由题意知方程a＝f(x)在[－3,4]上有10个不同的根．由图可知a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5