高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.5 椭　圆 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.5 椭　圆 word版含答案，共15页。

掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．椭圆的几何性质
掌握椭圆的简单性质．
知识点一 椭圆的定义
易误提醒 当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
[自测练习]
1．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：∵a2＝25，∴2a＝10，
∴由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，
∴|PF2|＝10－|PF1|＝7.
答案：D
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
易误提醒 注意椭圆的范围，在设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
必记结论 (1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m2≠n2)的形式．
(2)以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，注意以下公式的灵活运用：
①|PF1|＋|PF2|＝2a；
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ；
③S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ.
[自测练习]
2．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m＝________.
解析：因为焦点在x轴上，所以0答案：eq \f(3,2)
3．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点P到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为eq \f(1,3)，则椭圆方程为________．
解析：由题意得2a＝6，故a＝3.又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).所以c＝1，b2＝a2－c2＝8，故椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
答案：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
4．椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝eq \r(3)(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：依题意得∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，设|MF1|＝m，则有|MF2|＝eq \r(3)m，|F1F2|＝2m，该椭圆的离心率是e＝eq \f(|F1F2|,|MF1|＋|MF2|)＝eq \r(3)－1.
答案：eq \r(3)－1
考点一 椭圆的定义及方程|
1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
解析：设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
答案：D
2.(2016·大庆模拟)如图，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2eq \r(5)，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,30)＋eq \f(y2,10)＝1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,25)＝1
解析：设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．
由F(－2eq \r(5)，0)，得c＝2eq \r(5).
由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.
在Rt△PF1F中，由勾股定理，得|PF1|＝eq \r(|F1F|2－|PF|2)＝eq \r(4\r(5)2－42)＝8.
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2eq \r(5))2＝16，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1.
答案：B
3．若椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
解析：由题意得a＝3，c＝eq \r(7)，则|PF2|＝2.
在△F2PF1中，由余弦定理可得
cs∠F2PF1＝eq \f(42＋22－2\r(7)2,2×4×2)＝－eq \f(1,2).
又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝eq \f(2π,3).
答案：C
椭圆定义应用的两个方面
一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．

考点二 椭圆的几何性质|
(1)(2015·高考广东卷)已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
(2)如图，已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
[解析] (1)由4＝eq \r(25－m2)(m>0)⇒m＝3，故选B.
(2)由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan ∠PF1F2＝2，
∴eq \f(|PF2|,|PF1|)＝2.又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝eq \f(2a,3)，|PF2|＝eq \f(4a,3).根据勾股定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4a,3)))2＝(2c)2，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).
[答案] (1)B (2)A
求解直线与椭圆位置关系问题的常规思路
(1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．
(2)求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a，b的关系．e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)⇒eq \f(b,a)＝ eq \r(1－e2).

1．如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.eq \r(3)－1 B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
解析：因为过F1的直线MF1是圆F2的切线，所以可得∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c.因为|F1F2|＝2c，所以可得|MF1|＝eq \r(3)c.由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋eq \r(3)c＝2a，可得离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,1＋\r(3))＝eq \r(3)－1.
答案：A
考点三 直线与椭圆的位置关系|
已知点A(0，－2)，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F是椭圆的一个焦点，直线AF的斜率为eq \f(2\r(3),3)，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
[解] (1)设F(c,0)，由题意kAF＝eq \f(2,c)＝eq \f(2\r(3),3)，
∴c＝eq \r(3)，又∵离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，
∴a＝2，b＝eq \r(a2－c2)＝1，
故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，方程为y＝kx－2，联立直线与椭圆方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx－2，))
化简，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
∵Δ＝16(4k2－3)>0，∴k2>eq \f(3,4).
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(16k,1＋4k2)，x1·x2＝eq \f(12,1＋4k2)，
∴|PQ|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(4\r(4k2－3),1＋4k2).
坐标原点O到直线l的距离d＝eq \f(2,\r(k2＋1)).
S△OPQ＝eq \f(1,2)eq \r(1＋k2)·eq \f(4\r(4k2－3),1＋4k2)·eq \f(2,\r(k2＋1))
＝eq \f(4\r(4k2－3),1＋4k2).
令t＝eq \r(4k2－3)(t>0)，则S△OPQ＝eq \f(4t,t2＋4)＝eq \f(4,t＋\f(4,t)).
∵t＋eq \f(4,t)≥4，当且仅当t＝eq \f(4,t)，t＝2时，等号成立，
∴S△OPQ≤1，
故当t＝2，即eq \r(4k2－3)＝2，k＝±eq \f(\r(7),2)时，△OPQ的面积最大，
从而直线l的方程为y＝±eq \f(\r(7),2)x－2.
2．(2016·邯郸质检)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))，离心率为eq \f(\r(2),2)，点F1，F2分别为其左、右焦点．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且eq \(OP,\s\up6(→))⊥eq \(OQ,\s\up6(→))？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，得b＝c.
因为eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2,b2)＝1(a>b>0)，得c＝1，
所以a2＝2，所以椭圆C方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(1＋2k2)x2＋4bkx＋2b2－2＝0.令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＋x2＝－eq \f(4bk,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2b2－2,1＋2k2).∵eq \(OP,\s\up6(→))⊥eq \(OQ,\s\up6(→))，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴eq \f(1＋k22b2－2,1＋2k2)－eq \f(4k2b2,1＋2k2)＋b2＝0，∴3b2＝2k2＋2.
此时Δ＝eq \f(32,3)k2＋eq \f(8,3)>0恒成立．
∵直线PQ与圆相切，∴r2＝eq \f(b2,1＋k2)＝eq \f(2,3)，∴存在圆x2＋y2＝eq \f(2,3).
当直线PQ的斜率不存在时，也存在圆x2＋y2＝eq \f(2,3)满足题意．
综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝eq \f(2,3)满足题意．
26.几何法求解椭圆离心率范围问题
【典例】 (2015·山西大学附中月考)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
[思维点拨] 利用对称性分|PF1|＝|F1F2|，|PF2|＝|F1F2|两种性质讨论，结合几何特征建立相关不等式求解．
[解析] 6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称．不妨设P在第一象限，|PF1|>|PF2|，当|PF1|＝|F1F2|＝2c时，|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2c，即2c>2a－2c，解得e＝eq \f(c,a)>eq \f(1,2).因为e<1，所以eq \f(1,2)2c，且2c＋2c>2a－2c，解得eq \f(1,3)[答案] D
[方法点评] 椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解．利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用．
[跟踪练习] 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：由eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，得eq \f(c,a)＝eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2).又由正弦定理得eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)，所以eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(c,a)，即|PF1|＝eq \f(c,a)|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝eq \f(2a2,a＋c)，|PF1|＝eq \f(2ac,a＋c).因为|PF2|是△PF1F2的一边，所以有2c－eq \f(2ac,a＋c)0，所以e2＋2e－1>0(0答案：(eq \r(2)－1,1)
A组 考点能力演练
1．点F为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使得△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \r(3)－1
解析：由题意，可设椭圆的焦点F的坐标为(c,0)，因为△AOF为正三角形，则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))在椭圆上，代入得eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，即e2＋eq \f(3e2,1－e2)＝4，得e2＝4－2eq \r(3)，解得e＝eq \r(3)－1，故选D.
答案：D
2．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点为M(1，－1)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
解析：kAB＝eq \f(0＋1,3－1)＝eq \f(1,2)，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－eq \f(b2,a2)，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
答案：D
3．(2016·厦门模拟)椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1(a>0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB周长的最大值是8，则m的值等于( )
A．0 B．1
C.eq \r(3) D．2
解析：设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故选B.
答案：B
4．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，P是该椭圆上的任意一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是( )
A．9 B．16
C．25 D.eq \f(25,2)
解析：设P(x，y)，则|eq \(PF1,\s\up6(→))|＝a－ex，|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝a＋ex，
∴|eq \(PF1,\s\up6(→))|·|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝(a－ex)(a＋ex)＝a2－e2x2.
当x＝0时，|eq \(PF1,\s\up6(→))|·|eq \(PF2,\s\up6(→))|取最大值a2＝25.
答案：C
5．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
解析：设P(x，y)，eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)，eq \(PF2,\s\up6(→))＝(c－x，－y)，由PF1⊥PF2，得eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，即(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2＋y2－c2＝x2＋b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,a2)))－c2＝eq \f(c2x2,a2)＋b2－c2＝0，∴x2＝eq \f(a2c2－b2,c2)≥0，∴c2－b2≥0，∴2c2≥a2，∴e≥eq \f(\r(2),2).又∵e<1，∴椭圆的离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
答案：B
6．(2016·黄山质检)已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________.
解析：因为圆(x－2)2＋y2＝1与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以c＝1，a＝3，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
7．(2015·泰安模拟)若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________．
解析：设切点坐标为(m，n)，则eq \f(n－1,m－2)·eq \f(n,m)＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝20，所以椭圆方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1.
答案：eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1
8．(2016·保定模拟)直线l过椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点，M为弦PQ的中点，O为原点，若△FMO是以线段OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为________．
解析：因为△FMO是以线段OF为底边的等腰三角形，所以直线OM与直线l的斜率互为相反数．设直线l的斜率为k，则有k·(－k)＝－eq \f(1,2)，解得k＝±eq \f(\r(2),2).
答案：±eq \f(\r(2),2)
9.如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为A，B，且|AB|＝eq \f(\r(5),2)|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
解：(1)由已知|AB|＝eq \f(\r(5),2)|BF|，即eq \r(a2＋b2)＝eq \f(\r(5),2)a,4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋2＝0，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>eq \f(2\r(17),17).
x1＋x2＝－eq \f(32,17)，x1x2＝eq \f(16－4b2,17).∵OP⊥OQ，∴eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
从而eq \f(516－4b2,17)－eq \f(128,17)＋4＝0，解得b＝1，满足b>eq \f(2\r(17),17)，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
10．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且椭圆C的离心率为eq \f(1,2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点P在直线x＝－1上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线l⊥MN.证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))在椭圆C上，所以eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1.又椭圆C的离心率为eq \f(1,2)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2c，所以a2＝4，b＝3，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设P(－1，y0)，y0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3,2)))，
①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y－y0＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2＋4y2＝12，,y－y0＝kx＋1，))得(3＋4k2)x2＋(8ky0＋8k2)x＋(4yeq \\al(2,0)＋8ky0＋4k2－12)＝0，
所以x1＋x2＝－eq \f(8ky0＋8k2,3＋4k2).
因为P为MN中点，所以eq \f(x1＋x2,2)＝－1，
即－eq \f(8ky0＋8k2,3＋4k2)＝－2，
所以k＝eq \f(3,4y0)(y0≠0)．
因为直线l⊥MN，所以kl＝－eq \f(4y0,3)，所以直线l的方程为y－y0＝－eq \f(4y0,3)·(x＋1)，即y＝－eq \f(4y0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))，显然直线l恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)).
②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝－1，
此时直线l为x轴，也过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)).
综上所述，直线l恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)).
B组 高考题型专练
1．(2015·高考福建卷)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
解析：设椭圆的左焦点为F1，半焦距为c，连接AF1，BF1，则四边形AF1BF为平行四边形，所以|AF1|＋|BF1|＝|AF|＋|BF|＝4.根据椭圆定义，有|AF1|＋|AF|＋|BF1|＋|BF|＝4a.所以8＝4a，解得a＝2.因为点M到直线l：3x－4y＝0的距离不小于eq \f(4,5)，即eq \f(4b,5)≥eq \f(4,5)，b≥1，所以b2≥1，所以a2－c2≥1,4－c2≥1，解得0答案：A
2．(2015·高考浙江卷)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝eq \f(b,c)x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
解析：设左焦点为F1，由F关于直线y＝eq \f(b,c)x的对称点Q在椭圆上，得|OQ|＝|OF|，又|OF1|＝|OF|，所以F1Q⊥QF，不妨设|QF1|＝ck，则|QF|＝bk，|F1F|＝ak，因此2c＝ak.又2a＝ck＋bk，由以上二式可得eq \f(2c,a)＝k＝eq \f(2a,b＋c)，即eq \f(c,a)＝eq \f(a,b＋c)，即a2＝c2＋bc，所以b＝c，e＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
3．(2015·高考陕西卷)如图，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为eq \f(\r(2),2).
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
解：(1)由题设知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝eq \r(2).所以椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入eq \f(x2,2)＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知Δ>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝eq \f(4kk－1,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2kk－2,1＋2k2).
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝eq \f(y1＋1,x1)＋eq \f(y2＋1,x2)＝eq \f(kx1＋2－k,x1)＋eq \f(kx2＋2－k,x2)
＝2k＋(2－k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))＝2k＋(2－k)eq \f(x1＋x2,x1x2)
＝2k＋(2－k)eq \f(4kk－1,2kk－2)＝2k－2(k－1)＝2.
4．(2015·高考天津卷)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为eq \f(\r(3),3)，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝eq \f(b2,4)截得的线段的长为c，|FM|＝eq \f(4\r(3),3).
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于eq \r(2)，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
解：(1)由已知有eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,3)，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．
由已知，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kc,\r(k2＋1))))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))2，解得k＝eq \f(\r(3),3).
(2)由(1)得椭圆方程为eq \f(x2,3c2)＋eq \f(y2,2c2)＝1，直线FM的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－eq \f(5,3)c，或x＝c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(2\r(3),3)c)).
由|FM|＝eq \r(c＋c2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)c－0))2)＝eq \f(4\r(3),3)，解得c＝1，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝eq \f(y,x＋1)，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝tx＋1，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.
又由已知，得t＝eq \r(\f(6－2x2,3x＋12))>eq \r(2)，解得－eq \f(3,2)设直线OP的斜率为m，得m＝eq \f(y,x)，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m2＝eq \f(2,x2)－eq \f(2,3).
①当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－1))时，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝eq \r(\f(2,x2)－\f(2,3))，得m∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)，\f(2\r(3),3))).
②当x∈(－1,0) 时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－eq \r(\f(2,x2)－\f(2,3))，得m∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2\r(3),3))).
综上，直线OP的斜率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)，\f(2\r(3),3))).
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
椭圆
F1，F2为椭圆的焦点
|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a>|F1F2|
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2