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高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 word版含答案
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这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 word版含答案，共12页。
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
知识点 曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F1x，y＝0，,F2x，y＝0))的实数解．
若此方程组无解，则两曲线无交点．
易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
[自测练习]
1．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.
答案：A
2．平面上有三个点A(－2，y)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则动点C的轨迹方程为____________．
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(y,2)))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(y,2)))，由eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，即2x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))·eq \f(y,2)＝0，∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，
∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)
考点一 直接法求轨迹方程|
1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足eq \(OC,\s\up6(→))＝λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋λ2eq \(OB,\s\up6(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
解析：设C(x，y)，因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋λ2eq \(OB,\s\up6(→))，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(y＋3x,10)，,λ2＝\f(3y－x,10)，))又λ1＋λ2＝1，所以eq \f(y＋3x,10)＋eq \f(3y－x,10)＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.
答案：A
2．(2016·南昌模拟)方程(x2＋y2－2x)eq \r(x＋y－3)＝0表示的曲线是( )
A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线
C．一个圆 D．一条直线
解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,x2＋y2－2x＝0.))注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0，故选D.
答案：D
3．在直角坐标平面xOy中，过定点(0,1)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点．若动点P(x，y)满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，则点P的轨迹方程为________．
解析：设AB的中点为M，则eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OP,\s\up6(→))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2))).又因为OM⊥AB，eq \(AB,\s\up6(→))的方向向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)－1))，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)－1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))＝0，x2＋y(y－2)＝0，即x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
直接法求轨迹方程的常见类型
(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．
考点二 定义法求轨迹方程|
已知点F(1,0)，圆E：(x＋1)2＋y2＝8，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.
(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；
(2)若直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A，B，当eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝λ，且满足eq \f(2,3)≤λ≤eq \f(3,4)时，求△AOB面积S的取值范围．
[解] (1)连接QF(图略)．∵|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝2eq \r(2)(2eq \r(2)>|EF|＝2)，∴点Q的轨迹是以E(－1,0)，F(1,0)为焦点，长轴长2a＝2eq \r(2)的椭圆，即动点Q的轨迹Γ的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)依题结合图形(图略)知直线l的斜率不可能为零，所以设直线l的方程为x＝my＋n(m∈R)．∵直线l即x－my－n＝0与圆O：x2＋y2＝1相切，
∴eq \f(|n|,\r(m2＋1))＝1，得n2＝m2＋1.
又∵点A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)满足：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋n，,x2＋2y2－2＝0，))
消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2mny＋n2－2＝0.
由一元二次方程根与系数的关系，得y1＋y2＝－eq \f(2mn,m2＋2)，y1y2＝eq \f(n2－2,m2＋2).
其判别式Δ＝4m2n2－4(m2＋2)(n2－2)＝8(m2－n2＋2)＝8，
又由求根公式得y1,2＝eq \f(－2mn±\r(Δ),2m2＋2).
∵λ＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(my1＋n)(my2＋n)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2＝eq \f(3n2－2m2－2,m2＋2)＝eq \f(m2＋1,m2＋2).
S△AOB＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|sin ∠AOB＝eq \f(1,2) eq \r(\a\vs4\al(\(OA,\s\up6(→))2·\(OB,\s\up6(→))2－\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))2))
＝eq \f(1,2)|x1y2－x2y1|＝eq \f(1,2)|(my1＋n)y2－(my2＋n)y1|＝eq \f(1,2)|n(y2－y1)|＝eq \f(1,2)|n|·eq \f(\r(Δ),m2＋2)＝eq \r(2)·eq \r(\f(m2＋1,m2＋22))＝eq \r(2)·eq \r(\f(m2＋1,m2＋2)·\f(1,m2＋2))
∵eq \f(m2＋1,m2＋2)＋eq \f(1,m2＋2)＝1，且λ＝eq \f(m2＋1,m2＋2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,4)))，
∴S△AOB＝eq \r(2)·eq \r(λ·1－λ)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)，\f(2,3))).
定义法求轨迹方程的思路
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．
(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．
1．已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0,2)，分别以A，B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ.
解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，l：y＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.
(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y＝\f(1,8)x2，))得x2－8kx－16＝0.
所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.
抛物线方程为y＝eq \f(1,8)x2，求导得y′＝eq \f(1,4)x.
所以过抛物线上A，B两点的切线斜率分别是k1＝eq \f(1,4)x1，k2＝eq \f(1,4)x2，k1·k2＝eq \f(1,4)x1·eq \f(1,4)x2＝eq \f(1,16)x1·x2＝－1.
所以AQ⊥BQ.
考点三 代入法求轨迹方程|
在圆O：x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点．
(1)当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹E的方程；
(2)若圆O在点P处的切线与x轴交于点N，试判断直线MN与轨迹E的位置关系．
[解] (1)设M(x，y)，则P(x,2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋(2y)2＝4，即点M的轨迹E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)当直线PN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝2或x＝－2.显然与轨迹E相切．
当直线PN的斜率存在时，设PN的方程为y＝kx＋t(k≠0)．
∵直线PN与圆O相切，∴eq \f(|t|,\r(k2＋1))＝2，即t2－4k2－4＝0.
又∵直线MN的斜率为eq \f(k,2)，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(t,k)，0))，∴直线MN的方程为y＝eq \f(k,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(t,k)))，
即y＝eq \f(1,2)(kx＋t)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)kx＋t，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.
∵Δ＝(2kt)2－4(1＋k2)(t2－4)＝－4(t2－4k2－4)＝0，∴直线MN与轨迹E相切．
综上可知，直线MN与轨迹E相切．
代入法求轨迹方程的四个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)．
(2)寻求与所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．
(3)建立P，Q两坐标的关系表示出x′，y′.
(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
2．已知F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1(y≠0)
B.eq \f(4x2,9)＋y2＝1(y≠0)
C.eq \f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0)
D．x2＋eq \f(4y2,3)＝1(y≠0)
解析：依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0－1＋1,3)，,y＝\f(y0,3).))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝3x，,y0＝3y.))
代入eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1得重心G的轨迹方程为eq \f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0)．
答案：C
27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用
【典例】 已知两个定点A1(－2,0)，A2(2,0)，动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值eq \f(m,4)(m≠0)．
求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状．
[思路点拨] 依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定．
[解] 设动点M(x，y)，依题意有eq \f(y,x－2)·eq \f(y,x＋2)＝eq \f(m,4)(m≠0)，
整理得eq \f(x2,4)－eq \f(y2,m)＝1(x≠±2)，即为动点M的轨迹方程．当m>0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线；
当m∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆；
当m＝－4时，轨迹是圆；
当m∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆．且点A1(－2,0)，A2(2,0)不在曲线上．
[方法点评] 由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类：
(1)二次项系数为0的值．
(2)二次项系数相等的值．
[跟踪练习] 在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)表示的曲线大致是( )
解析：a>b>0得eq \f(1,b2)>eq \f(1,a2)>0，方程a2x2＋b2y2＝1，即eq \f(x2,\f(1,a2))＋eq \f(y2,\f(1,b2))＝1表示的是焦点在y轴上的椭圆；方程ax＋by2＝0，即y2＝－eq \f(a,b)x表示的是焦点在x轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.
答案：D
A组 考点能力演练
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程2eq \r(x)＋y＝0”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
解析：点M的坐标满足方程2eq \r(x)＋y＝0，则点M在曲线y2＝4x上，是必要条件；但当y>0时，点M在曲线y2＝4x上，点M的坐标不满足方程2eq \r(x)＋y＝0，不是充分条件．
答案：B
2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0，则P点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：∵eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0，∴PM⊥PN.
∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．
答案：A
3．(2016·梅州质检)动圆M经过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左焦点F(－2,0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.
答案：B
4．(2016·沈阳质检)已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：设P点的坐标为(x，y)，则eq \r(x－12＋y＋22)＝3eq \r(x2＋y2)，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0，故选A.
答案：A
5．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
解析：M点的轨迹是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x2＋y2＝9与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2＋y2＝9不是“好曲线”．
答案：B
6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋t(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，其中t∈R，则点C的轨迹方程是_____________________________．
解析：设C(x，y)，则eq \(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(OA,\s\up6(→))＋t(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝(1＋t,2t)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋1，,y＝2t，))消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
7．已知F是抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．
解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y－1)在抛物线x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得x2＝2y－1.
答案：x2＝2y－1
8．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．
解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝λ，
整理得x2－eq \f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点P的轨迹C的方程为x2－eq \f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．
答案：x2－eq \f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)
9．在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x＝2的距离之比是eq \f(\r(2),2).
(1)求动点P的轨迹Γ的方程；
(2)设曲线Γ上的三点A(x1，y1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，C(x2，y2)与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.
解：(1)设P(x，y)．由已知，得eq \f(\r(x－12＋y2),|x－2|)＝eq \f(\r(2),2)，两边同时平方，化简得eq \f(x2,2)＋y2＝1，故动点P的轨迹Γ的方程是eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)由已知得|AF|＝eq \f(\r(2),2)(2－x1)，|BF|＝eq \f(\r(2),2)×(2－1)，
|CF|＝eq \f(\r(2),2)(2－x2)，因为2|BF|＝|AF|＋|CF|，
所以eq \f(\r(2),2)(2－x1)＋eq \f(\r(2),2)(2－x2)＝2×eq \f(\r(2),2)×(2－1)，
所以x1＋x2＝2.①故线段AC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(y1＋y2,2)))，
其垂直平分线的方程为y－eq \f(y1＋y2,2)＝－eq \f(x1－x2,y1－y2)(x－1)．②
因为A，C在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，
把①代入化简，得－eq \f(x1－x2,y1－y2)＝y1＋y2.③
把③代入②，令y＝0，得x＝eq \f(1,2)，所以点T的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).所以直线BT的斜率k＝eq \f(\f(\r(2),2)－0,1－\f(1,2))＝eq \r(2).
10．在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到F(0,1)的距离比到直线y＝－2的距离小1.
(1)求动点P的轨迹W的方程；
(2)过点E(0，－4)的直线与轨迹W交于两点A，B，点D是点E关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点为A1，证明：A1，D，B三点共线．
解：(1)由题意可得动点P(x，y)到定点F(0,1)的距离和到定直线y＝－1的距离相等，所以动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，以y＝－1为准线的抛物线．所以动点P的轨迹W的方程为x2＝4y.
(2)证明：设直线l的方程为y＝kx－4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(－x1，y1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－4，,x2＝4y，))消去y，整理得x2－4kx＋16＝0.
则Δ＝16k2－64>0，即|k|>2.
x1＋x2＝4k，x1x2＝16.
直线A1B：y－y2＝eq \f(y2－y1,x2＋x1)(x－x2)，
所以y＝eq \f(y2－y1,x2＋x1)(x－x2)＋y2，
即y＝eq \f(x\\al(2,2)－x\\al(2,1),4x1＋x2)(x－x2)＋eq \f(1,4)xeq \\al(2,2)，
整理得y＝eq \f(x2－x1,4)x－eq \f(x\\al(2,2)－x1x2,4)＋eq \f(1,4)xeq \\al(2,2)，
即y＝eq \f(x2－x1,4)x＋eq \f(x1x2,4).
直线A1B的方程为y＝eq \f(x2－x1,4)x＋4，显然直线A1B过点D(0,4)．所以A1，D，B三点共线．
B组 高考题型专练
1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点为(eq \r(5)，0)，离心率为eq \f(\r(5),3).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
解：(1)依题意知c＝eq \r(5)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)，∴a＝3，b2＝a2－c2＝4，∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)若过点P(x0，y0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．
若过点P(x0，y0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线PA的斜率为k，∵PA⊥PB，则切线PB的斜率为－eq \f(1,k).
切线PA的方程为y－y0＝k(x－x0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y0＝kx－x0,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1))
得4x2＋9[k(x－x0)＋y0]2＝36，
即(4＋9k2)x2＋18k(y0－kx0)x＋9(y0－kx0)2－36＝0，∵切线PA与椭圆相切，
∴Δ＝[18k(y0－kx0)]2－4(4＋9k2)[9(y0－kx0)2－36]＝0，
化简得4＋9k2－k2xeq \\al(2,0)＋2kx0y0－yeq \\al(2,0)＝0.①
同理，切线PB的方程为y－y0＝－eq \f(1,k)(x－x0)，与椭圆方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1联立可得，4＋eq \f(9,k2)－eq \f(x\\al(2,0),k2)－eq \f(2x0y0,k)－yeq \\al(2,0)＝0，即4k2＋9－xeq \\al(2,0)－2kx0y0－k2yeq \\al(2,0)＝0.②
由①＋②得13(1＋k2)－(1＋k2)(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＝0，
即(1＋k2)(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－13)＝0，
∵1＋k2≠0，∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－13＝0，即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝13.
经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝13，
故点P(x0，y0)的轨迹方程为x2＋y2＝13.
2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)C1：(x－3)2＋y2＝4，圆心C1(3,0)．
(2)由垂径定理知，C1M⊥AB，故点M在以OC1为直径的圆上，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4).
故线段AB的中点M的轨迹C的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)在圆C1：(x－3)2＋y2＝4内部的部分，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)(3)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝\f(9,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,3)，,y＝±\f(2\r(5),3).))
不妨设其交点为P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(2\r(5),3)))，P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－\f(2\r(5),3)))，
设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)，
则kPP1＝－eq \f(2\r(5),7)，kPP2＝eq \f(2\r(5),7).
当直线L与圆C相切时，eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－k－4k)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(k2＋1))))＝eq \f(3,2)，解得k＝±eq \f(3,4).
故当k∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),7)，\f(2\r(5),7)))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))时，直线L与曲线C只有一个交点．
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
知识点 曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F1x，y＝0，,F2x，y＝0))的实数解．
若此方程组无解，则两曲线无交点．
易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
[自测练习]
1．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.
答案：A
2．平面上有三个点A(－2，y)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则动点C的轨迹方程为____________．
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(y,2)))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(y,2)))，由eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，即2x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,2)))·eq \f(y,2)＝0，∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.
答案：y2＝8x
3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，
∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)
考点一 直接法求轨迹方程|
1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足eq \(OC,\s\up6(→))＝λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋λ2eq \(OB,\s\up6(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
解析：设C(x，y)，因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋λ2eq \(OB,\s\up6(→))，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(y＋3x,10)，,λ2＝\f(3y－x,10)，))又λ1＋λ2＝1，所以eq \f(y＋3x,10)＋eq \f(3y－x,10)＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.
答案：A
2．(2016·南昌模拟)方程(x2＋y2－2x)eq \r(x＋y－3)＝0表示的曲线是( )
A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线
C．一个圆 D．一条直线
解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,x2＋y2－2x＝0.))注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0，故选D.
答案：D
3．在直角坐标平面xOy中，过定点(0,1)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点．若动点P(x，y)满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，则点P的轨迹方程为________．
解析：设AB的中点为M，则eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OP,\s\up6(→))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2))).又因为OM⊥AB，eq \(AB,\s\up6(→))的方向向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)－1))，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)－1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))＝0，x2＋y(y－2)＝0，即x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
直接法求轨迹方程的常见类型
(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．
考点二 定义法求轨迹方程|
已知点F(1,0)，圆E：(x＋1)2＋y2＝8，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.
(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；
(2)若直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A，B，当eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝λ，且满足eq \f(2,3)≤λ≤eq \f(3,4)时，求△AOB面积S的取值范围．
[解] (1)连接QF(图略)．∵|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝2eq \r(2)(2eq \r(2)>|EF|＝2)，∴点Q的轨迹是以E(－1,0)，F(1,0)为焦点，长轴长2a＝2eq \r(2)的椭圆，即动点Q的轨迹Γ的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)依题结合图形(图略)知直线l的斜率不可能为零，所以设直线l的方程为x＝my＋n(m∈R)．∵直线l即x－my－n＝0与圆O：x2＋y2＝1相切，
∴eq \f(|n|,\r(m2＋1))＝1，得n2＝m2＋1.
又∵点A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)满足：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋n，,x2＋2y2－2＝0，))
消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2mny＋n2－2＝0.
由一元二次方程根与系数的关系，得y1＋y2＝－eq \f(2mn,m2＋2)，y1y2＝eq \f(n2－2,m2＋2).
其判别式Δ＝4m2n2－4(m2＋2)(n2－2)＝8(m2－n2＋2)＝8，
又由求根公式得y1,2＝eq \f(－2mn±\r(Δ),2m2＋2).
∵λ＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(my1＋n)(my2＋n)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2＝eq \f(3n2－2m2－2,m2＋2)＝eq \f(m2＋1,m2＋2).
S△AOB＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|sin ∠AOB＝eq \f(1,2) eq \r(\a\vs4\al(\(OA,\s\up6(→))2·\(OB,\s\up6(→))2－\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→))2))
＝eq \f(1,2)|x1y2－x2y1|＝eq \f(1,2)|(my1＋n)y2－(my2＋n)y1|＝eq \f(1,2)|n(y2－y1)|＝eq \f(1,2)|n|·eq \f(\r(Δ),m2＋2)＝eq \r(2)·eq \r(\f(m2＋1,m2＋22))＝eq \r(2)·eq \r(\f(m2＋1,m2＋2)·\f(1,m2＋2))
∵eq \f(m2＋1,m2＋2)＋eq \f(1,m2＋2)＝1，且λ＝eq \f(m2＋1,m2＋2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,4)))，
∴S△AOB＝eq \r(2)·eq \r(λ·1－λ)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)，\f(2,3))).
定义法求轨迹方程的思路
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．
(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．
1．已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0,2)，分别以A，B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ.
解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，l：y＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.
(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y＝\f(1,8)x2，))得x2－8kx－16＝0.
所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.
抛物线方程为y＝eq \f(1,8)x2，求导得y′＝eq \f(1,4)x.
所以过抛物线上A，B两点的切线斜率分别是k1＝eq \f(1,4)x1，k2＝eq \f(1,4)x2，k1·k2＝eq \f(1,4)x1·eq \f(1,4)x2＝eq \f(1,16)x1·x2＝－1.
所以AQ⊥BQ.
考点三 代入法求轨迹方程|
在圆O：x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．设M为线段PD的中点．
(1)当点P在圆O上运动时，求点M的轨迹E的方程；
(2)若圆O在点P处的切线与x轴交于点N，试判断直线MN与轨迹E的位置关系．
[解] (1)设M(x，y)，则P(x,2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋(2y)2＝4，即点M的轨迹E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)当直线PN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝2或x＝－2.显然与轨迹E相切．
当直线PN的斜率存在时，设PN的方程为y＝kx＋t(k≠0)．
∵直线PN与圆O相切，∴eq \f(|t|,\r(k2＋1))＝2，即t2－4k2－4＝0.
又∵直线MN的斜率为eq \f(k,2)，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(t,k)，0))，∴直线MN的方程为y＝eq \f(k,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(t,k)))，
即y＝eq \f(1,2)(kx＋t)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)kx＋t，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.
∵Δ＝(2kt)2－4(1＋k2)(t2－4)＝－4(t2－4k2－4)＝0，∴直线MN与轨迹E相切．
综上可知，直线MN与轨迹E相切．
代入法求轨迹方程的四个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)．
(2)寻求与所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．
(3)建立P，Q两坐标的关系表示出x′，y′.
(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
2．已知F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1(y≠0)
B.eq \f(4x2,9)＋y2＝1(y≠0)
C.eq \f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0)
D．x2＋eq \f(4y2,3)＝1(y≠0)
解析：依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0－1＋1,3)，,y＝\f(y0,3).))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝3x，,y0＝3y.))
代入eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1得重心G的轨迹方程为eq \f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0)．
答案：C
27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用
【典例】 已知两个定点A1(－2,0)，A2(2,0)，动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积是定值eq \f(m,4)(m≠0)．
求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状．
[思路点拨] 依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定．
[解] 设动点M(x，y)，依题意有eq \f(y,x－2)·eq \f(y,x＋2)＝eq \f(m,4)(m≠0)，
整理得eq \f(x2,4)－eq \f(y2,m)＝1(x≠±2)，即为动点M的轨迹方程．当m>0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线；
当m∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆；
当m＝－4时，轨迹是圆；
当m∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆．且点A1(－2,0)，A2(2,0)不在曲线上．
[方法点评] 由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类：
(1)二次项系数为0的值．
(2)二次项系数相等的值．
[跟踪练习] 在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)表示的曲线大致是( )
解析：a>b>0得eq \f(1,b2)>eq \f(1,a2)>0，方程a2x2＋b2y2＝1，即eq \f(x2,\f(1,a2))＋eq \f(y2,\f(1,b2))＝1表示的是焦点在y轴上的椭圆；方程ax＋by2＝0，即y2＝－eq \f(a,b)x表示的是焦点在x轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.
答案：D
A组 考点能力演练
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程2eq \r(x)＋y＝0”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
解析：点M的坐标满足方程2eq \r(x)＋y＝0，则点M在曲线y2＝4x上，是必要条件；但当y>0时，点M在曲线y2＝4x上，点M的坐标不满足方程2eq \r(x)＋y＝0，不是充分条件．
答案：B
2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0，则P点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：∵eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝0，∴PM⊥PN.
∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．
答案：A
3．(2016·梅州质检)动圆M经过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左焦点F(－2,0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.
答案：B
4．(2016·沈阳质检)已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：设P点的坐标为(x，y)，则eq \r(x－12＋y＋22)＝3eq \r(x2＋y2)，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0，故选A.
答案：A
5．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
解析：M点的轨迹是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x2＋y2＝9与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2＋y2＝9不是“好曲线”．
答案：B
6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋t(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，其中t∈R，则点C的轨迹方程是_____________________________．
解析：设C(x，y)，则eq \(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(OA,\s\up6(→))＋t(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝(1＋t,2t)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋1，,y＝2t，))消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
7．已知F是抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．
解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y－1)在抛物线x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得x2＝2y－1.
答案：x2＝2y－1
8．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．
解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝λ，
整理得x2－eq \f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点P的轨迹C的方程为x2－eq \f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．
答案：x2－eq \f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)
9．在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x＝2的距离之比是eq \f(\r(2),2).
(1)求动点P的轨迹Γ的方程；
(2)设曲线Γ上的三点A(x1，y1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，C(x2，y2)与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.
解：(1)设P(x，y)．由已知，得eq \f(\r(x－12＋y2),|x－2|)＝eq \f(\r(2),2)，两边同时平方，化简得eq \f(x2,2)＋y2＝1，故动点P的轨迹Γ的方程是eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)由已知得|AF|＝eq \f(\r(2),2)(2－x1)，|BF|＝eq \f(\r(2),2)×(2－1)，
|CF|＝eq \f(\r(2),2)(2－x2)，因为2|BF|＝|AF|＋|CF|，
所以eq \f(\r(2),2)(2－x1)＋eq \f(\r(2),2)(2－x2)＝2×eq \f(\r(2),2)×(2－1)，
所以x1＋x2＝2.①故线段AC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(y1＋y2,2)))，
其垂直平分线的方程为y－eq \f(y1＋y2,2)＝－eq \f(x1－x2,y1－y2)(x－1)．②
因为A，C在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，
把①代入化简，得－eq \f(x1－x2,y1－y2)＝y1＋y2.③
把③代入②，令y＝0，得x＝eq \f(1,2)，所以点T的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).所以直线BT的斜率k＝eq \f(\f(\r(2),2)－0,1－\f(1,2))＝eq \r(2).
10．在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到F(0,1)的距离比到直线y＝－2的距离小1.
(1)求动点P的轨迹W的方程；
(2)过点E(0，－4)的直线与轨迹W交于两点A，B，点D是点E关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点为A1，证明：A1，D，B三点共线．
解：(1)由题意可得动点P(x，y)到定点F(0,1)的距离和到定直线y＝－1的距离相等，所以动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，以y＝－1为准线的抛物线．所以动点P的轨迹W的方程为x2＝4y.
(2)证明：设直线l的方程为y＝kx－4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(－x1，y1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－4，,x2＝4y，))消去y，整理得x2－4kx＋16＝0.
则Δ＝16k2－64>0，即|k|>2.
x1＋x2＝4k，x1x2＝16.
直线A1B：y－y2＝eq \f(y2－y1,x2＋x1)(x－x2)，
所以y＝eq \f(y2－y1,x2＋x1)(x－x2)＋y2，
即y＝eq \f(x\\al(2,2)－x\\al(2,1),4x1＋x2)(x－x2)＋eq \f(1,4)xeq \\al(2,2)，
整理得y＝eq \f(x2－x1,4)x－eq \f(x\\al(2,2)－x1x2,4)＋eq \f(1,4)xeq \\al(2,2)，
即y＝eq \f(x2－x1,4)x＋eq \f(x1x2,4).
直线A1B的方程为y＝eq \f(x2－x1,4)x＋4，显然直线A1B过点D(0,4)．所以A1，D，B三点共线．
B组 高考题型专练
1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点为(eq \r(5)，0)，离心率为eq \f(\r(5),3).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
解：(1)依题意知c＝eq \r(5)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)，∴a＝3，b2＝a2－c2＝4，∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)若过点P(x0，y0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．
若过点P(x0，y0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线PA的斜率为k，∵PA⊥PB，则切线PB的斜率为－eq \f(1,k).
切线PA的方程为y－y0＝k(x－x0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y0＝kx－x0,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1))
得4x2＋9[k(x－x0)＋y0]2＝36，
即(4＋9k2)x2＋18k(y0－kx0)x＋9(y0－kx0)2－36＝0，∵切线PA与椭圆相切，
∴Δ＝[18k(y0－kx0)]2－4(4＋9k2)[9(y0－kx0)2－36]＝0，
化简得4＋9k2－k2xeq \\al(2,0)＋2kx0y0－yeq \\al(2,0)＝0.①
同理，切线PB的方程为y－y0＝－eq \f(1,k)(x－x0)，与椭圆方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1联立可得，4＋eq \f(9,k2)－eq \f(x\\al(2,0),k2)－eq \f(2x0y0,k)－yeq \\al(2,0)＝0，即4k2＋9－xeq \\al(2,0)－2kx0y0－k2yeq \\al(2,0)＝0.②
由①＋②得13(1＋k2)－(1＋k2)(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＝0，
即(1＋k2)(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－13)＝0，
∵1＋k2≠0，∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－13＝0，即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝13.
经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝13，
故点P(x0，y0)的轨迹方程为x2＋y2＝13.
2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)C1：(x－3)2＋y2＝4，圆心C1(3,0)．
(2)由垂径定理知，C1M⊥AB，故点M在以OC1为直径的圆上，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4).
故线段AB的中点M的轨迹C的方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)在圆C1：(x－3)2＋y2＝4内部的部分，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)
不妨设其交点为P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(2\r(5),3)))，P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－\f(2\r(5),3)))，
设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)，
则kPP1＝－eq \f(2\r(5),7)，kPP2＝eq \f(2\r(5),7).
当直线L与圆C相切时，eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－k－4k)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(k2＋1))))＝eq \f(3,2)，解得k＝±eq \f(3,4).
故当k∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),7)，\f(2\r(5),7)))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))时，直线L与曲线C只有一个交点．
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