高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：2.7 函数的图象 word版含答案

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会结合函数性质判断函数图象．
2．函数图象的应用
会运用函数图象理解和研究函数的性质．
知识点一 描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；
最后：描点，连线．
易误提醒
1．在使用描点法作图象时易忽视定义域及图象的一些特殊点(与x、y轴交点、最高、最低点等)．
2．连线时必须区分是光滑的曲线还是直线，易出错．
[自测练习]
1．函数y＝1－eq \f(1,x－1)的图象是( )
解析：将y＝－eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－eq \f(1,x－1)的图象．
答案：B
知识点二 利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)eq \(―――――――――→,\s\up7(a＞0，右移a个单位),\s\d5(a＜0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；
y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(b＞0，上移b个单位),\s\d5(b＜0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.
2．伸缩变换
y＝f(x) y＝f(ωx)；
y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(A＞1，伸为原来的A倍),\s\d5(0＜A＜1，缩为原来的A倍)) y＝Af(x)．
3．对称变换
y＝f(x)eq \(――――――→,\s\up7(关于x轴对称),\s\d5( ))y＝－f(x)；
y＝f(x)eq \(――――――→,\s\up7(关于y轴对称),\s\d5( ))y＝f(－x)；
y＝f(x)eq \(――――――→,\s\up7(关于原点对称),\s\d5( ))y＝－f(－x)．
4．翻折变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――――→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\d5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝f(|x|)；
y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(留下x轴上方图),\s\d5(将x轴下方图翻折上去))y＝|f(x)|.
易误提醒
1．在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．
[自测练习]
2．为了得到函数f(x)＝lg2x的图象，只需将函数g(x)＝lg2eq \f(x,8)的图象向________平移________个单位．
解析：g(x)＝lg2eq \f(x,8)＝lg2x－3＝f(x)－3，
因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)＝lg2x的图象．
答案：上 3
3．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x≤0，,lgc\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,9)))，x>0))
的图象如图所示，则a＋b＋c＝________.
解析：由题图可求得直线的方程为y＝2x＋2.
又函数y＝lgceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,9)))的图象过点(0,2)，
将其坐标代入可得c＝eq \f(1,3)，
所以a＋b＋c＝2＋2＋eq \f(1,3)＝eq \f(13,3).
答案：eq \f(13,3)
4．若不等式x2－lga x＜0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内恒成立，则a的取值范围是________．
解析：∵不等式x2－lga x＜0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内恒成立，
∴0＜a＜1，且eq \f(1,4)＜lga eq \f(1,2).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a＜1，,a\f(1,4)＞\f(1,2)，))解得eq \f(1,16)＜a＜1.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，1))
考点一 作图|
分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x，x≥1，,－lg x，0＜x＜1.))图象如图1.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.
(3)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0.))图象如图3.
画函数图象的两种方法
(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

考点二 识图|
(1)(2015·高考浙江卷)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))cs x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
[解析] 根据y1＝x－eq \f(1,x)为奇函数，y2＝cs x为偶函数，可得函数f(x)为奇函数，因此排除A，B项，又当x＝π时，y1＞0，y2＜0，因此选D.
[答案] D
(2)(2015·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝eq \f(ln|x|,x)
B．f(x)＝eq \f(ex,x)
C．f(x)＝eq \f(1,x2)－1
D．f(x)＝x－eq \f(1,x)
[解析] 由图象知f(x)应为奇函数，故排除B、C，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－eq \f(1,x)单调递增，故排除D，故A正确．
[答案] A
识图常用的三种方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．


(2015·山西四校联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3xx≤1，,lg\f(1,3)xx＞1，))则函数y＝f(1－x)的大致图象是( )
解析：当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x＝－eq \f(1,3)时，y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝lgeq \f(1,3)eq \f(4,3)＜0，即y＝f(1－x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，lg\f(1,3)\f(4,3)))，排除C，故选D.
答案：D
考点三 用图|
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：
1．确定方程根的个数．
2．求参数的取值范围．
3．求不等式的解集．
4．研究函数性质．
探究一 确立方程根的个数
1．(2015·日照一模)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x＞0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝eq \f(1,2)或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
答案：5
探究二 求参数的取值范围
2．已知函数y＝eq \f(|x2－1|,x－1)的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
解析：将函数y＝eq \f(|x2－1|,x－1)化成分段函数，并作出其图象如图所示．利用图象可得实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2)．
答案：(0,1)∪(1,2)
探究三 求不等式的解集
3．(2015·成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)＜0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：f(x)为奇函数，所以不等式eq \f(fx－f－x,x)＜0化为eq \f(fx,x)＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
答案：D
探究四 研究函数的性质
4．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x，则：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，
f(x)＝f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＋x，
函数y＝f(x)的图象如图所示：
当3f(x)＝f(x－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－3，因此②④正确，③不正确．
答案：①②④
6.数形结合思想求函数取值范围
【典例】 (2015·石家庄质检)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且对x∈R，恒有f(x＋1)≥f(x)，则实数a的取值范围为( )
A．[0,2] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
C．[－1,1] D．[－2,0]
[思路点拨] 作出f(x)在[0，＋∞)上的图象后，利用奇函数性质再作出f(x)在R上的图象，向左平移一个单位可知f(x＋1)图象，然后结合图象分析．
[解析] 作出f(x)与f(x＋1)的图象如图．要使f(x＋1)≥f(x)，则只要使点(a2，－a2)向左平移1个单位后到了点(－3a2，－a2)的左侧，或者与点(－3a2，－a2)重合，即4a2≤1，解得－eq \f(1,2)≤a≤eq \f(1,2)，故选B.
[答案] B
[思想点评] (1)对于一些无法求解的不等式或已知不等关系，常转化为函数图象的上、下关系，通过数形结合发现规律．
(2)本题易忽视点p(a2，－a2)平移1个单位后与点(－3a2，－a2)重合．
[跟踪练习] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x＜0，))则对任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，下列不等式成立的是( )
A．f(x1)＋f(x2)＜0 B．f(x1)＋f(x2)＞0
C．f(x1)－f(x2)＞0 D．f(x1)－f(x2)＜0
解析：函数f(x)的图象如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x1|＜|x2|，
∴f(x1)＜f(x2)，即f(x1)－f(x2)＜0.
答案：D
A组 考点能力演练
1．(2015·东北三校联考)函数y＝ln cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＜x＜\f(π,2)))的图象是( )
解析：∵cs(－x)＝cs x，
∴y＝ln cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＜x＜\f(π,2)))是偶函数，可排除B、D；
由cs x≤1得ln cs x≤0，排除C，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝1＋lg2 x与g(x)＝21－x在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：因为函数f(x)＝1＋lg2 x的零点是eq \f(1,2)，排除A；g(x)＝21－x是减函数，且与y轴的交点为(0,2)，排除B和D，故选C.
答案：C
3．(2016·西安质检)函数f(x)＝axm(1－x)2在区间[0,1]上的图象如图所示，则m的值可能是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：f′(x)＝maxm－1(1－x)2－2axm(1－x)＝axm－1(1－x)·[m－(m＋2)x]，令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝eq \f(m,m＋2)，由图象可得0＜eq \f(m,m＋2)＜0.5，解得0＜m＜2，故选A.
答案：A
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：f(x)的图象如图．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)＜0得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0得x∈(1,3)．
故x∈(－1,0)∪(1,3)．
答案：C
5.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是( )
解析：随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.
答案：C
6．已知曲线C：y＝ eq \r(4－x2)(－2≤x≤0)与函数f(x)＝lga(－x)及函数g(x)＝a－x(a＞1)的图象分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)的值为________．
解析：作出曲线C和函数f(x)，g(x)的图象如图所示，显然f(x)，g(x)的图象关于直线y＝－x对称，所以x1＝－y2，x2＝－y1，所以xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝4.
答案：4
7．(2016·荆州模拟)对a，b∈R，记max{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥b，,b，a解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
8.已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2给出下列结论：
①f(x2)－f(x1)＞x2－x1；
②x2f(x1)＞x1f(x2)；
③eq \f(fx1＋fx2,2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2))).
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
解析：由f(x2)－f(x1)＞x2－x1得eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＞1，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))连线的斜率大于1，显然结论①不正确；由x2f(x1)＞x1f(x2)得eq \f(fx1,x1)＞eq \f(fx2,x2)，即点(x1，f(x1))与原点连线的斜率大于点(x2，f(x2))与原点连线的斜率，由图象易知结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③正确．
答案：②③
9．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
解：令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，
G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，
原方程有两个解．
10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)＞0的解集．
解：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－4，x≥4，,－xx－4，x＜4.))
∴函数f(x)的图象如图：
由图象知f(x)有两个零点．
(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．
(4)从图象上观察可知：
不等式f(x)＞0的解集为{x|0＜x＜4或x＞4}．
B组 高考题型专练
1．(2013·高考山东卷)函数y＝xcs x＋sin x的图象大致为( )
解析：法一：令f(x)＝xcs x＋sin x，
∵f(－x)＝－x·cs x－sin x＝－f(x)．
∴函数y＝xcs x＋sin x为奇函数，可排除B.
令xcs x＋sin x＝0，得tan x＝－x，在同一坐标系中画出函数y＝tan x和y＝－x的图象如图，由图可知函数y＝xcs x＋sin x的零点有一个介于eq \f(π,2)到π之间，可排除A、C，故选D.
法二：令f(x)＝xcs x＋sin x，则f(－x)＝－xcs x－sin x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∵奇函数的图象关于原点对称，而B中图象不关于原点对称，∴排除B；当x＝eq \f(π,2)时，y＝1，而由C中图象知当x＝eq \f(π,2)时，y≠1，∴排除C；当x＝π时，y＝－π，而A中，当x＝π时，y＞0，∴排除A，故选D.
答案：D
2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为( )
解析：由题图可知：当x＝eq \f(π,2)时，OP⊥OA，此时f(x)＝0，排除A、D；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，OM＝cs x，设点M到直线OP的距离为d，则eq \f(d,OM)＝sin x，即d＝OMsin x＝sin xcs x，
∴f(x)＝sin xcs x＝eq \f(1,2)sin 2x≤eq \f(1,2)，排除B，故选C.
答案：C
3．(2014·高考辽宁卷)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs πx，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，,2x－1，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，))则不等式f(x－1)≤eq \f(1,2)的解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,4)))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,4)))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))
解析：作出y＝f(x)与y＝eq \f(1,2)的图象，如图，由图易知f(x)≤eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))，
∴f(x－1)≤eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,4)))，故选A.
答案：A
4．(2015·高考安徽卷)函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
解析：∵f(x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)的图象与x，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，∴x＝－eq \f(b,a)＞0，y＝eq \f(b,c2)＞0，故a＜0，b＞0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c＞0，故c＜0，故选C.
答案：C
5．(2014·高考湖北卷)如图所示，函数y＝f(x)的图象由两条射线和三条线段组成．
若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．
解析：∀x∈R，f(x)＞f(x－1)．
由题图易知a＞0，且6a＜1，
∴0＜a＜eq \f(1,6).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,6)))