高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 word版含答案

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三角函数的概念
(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化．
(2)会判断三角函数值的符号．
(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识点一 角的有关概念
(1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角．
(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．
(3)若α与β角的终边相同，则β用α表示为β＝α＋2kπ(k∈Z)．
易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|2kπ<α<2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}．
(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
[自测练习]
1．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．
又角θ与－θ的终边关于x轴对称．
∴角α与β的终边关于x轴对称．
答案：C
知识点二 弧度的概念与公式
在半径为r的圆中
易误提醒 角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
[自测练习]
2．弧长为3π，圆心角为eq \f(3,4)π的扇形半径为________，面积为________．
解析：弧长l＝3π，圆心角α＝eq \f(3,4)π，由弧长公式l＝|α|·r，得r＝eq \f(l,|α|)＝eq \f(3π,\f(3,4)π)＝4，面积S＝eq \f(1,2)lr＝6π.
答案：4 6π
知识点三 任意角的三角函数
易误提醒 三角函数的定义中，当P(u，ν)是单位圆上的点时有sin α＝ν，cs α＝u，tan α＝eq \f(ν,u)，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝eq \f(ν,r)，cs α＝eq \f(u,r)，tan α＝eq \f(ν,u).
[自测练习]
3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由sin α<0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tan α>0，∴α在第三象限．
答案：C
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝________.
解析：由三角函数的定义，sin θ＝eq \f(y,\r(16＋y2))，
又sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)<0，
∴y<0且eq \f(y,\r(16＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，
解之得y＝－8.
答案：－8
考点一 角的集合表示及象限角的判断|
1．(2015·东城期末)若角α满足α＝eq \f(2kπ,3)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，则α的终边一定在( )
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
解析：由α＝eq \f(2kπ,3)＋eq \f(π,6)，k∈Z，
当k＝0时，α＝eq \f(π,6)，终边在第一象限．
当k＝1时，α＝eq \f(2π,3)＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,6)，终边在第二象限．
当k＝－1时，α＝－eq \f(2π,3)＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,2)，终边在y轴的非正半轴上，故选D.
答案：D
2．已知sin α>0，cs α<0，则eq \f(1,2)α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
解析：因为sin α>0，cs α<0，所以α为第二象限角，即eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，则eq \f(π,4)＋kπ答案：C
3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－eq \f(765,360)≤k<－eq \f(45,360)，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案：－675°或－315°
解决终边相同的角的集合的两个方法
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α所在的象限．
考点二 三角函数的定义|
已知角α的终边在直线y＝－3x上，
求10sin α＋eq \f(3,cs α)的值．
[解] 设α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|.
当k>0时，r＝eq \r(10)k，
∴sin α＝eq \f(－3k,\r(10)k)＝－eq \f(3,\r(10))，eq \f(1,cs α)＝eq \f(\r(10)k,k)＝eq \r(10)，
∴10sin α＋eq \f(3,cs α)＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0；
当k<0时，r＝－eq \r(10)k，
∴sin α＝eq \f(－3k,－\r(10)k)＝eq \f(3,\r(10))，
eq \f(1,cs α)＝eq \f(－\r(10)k,k)＝－eq \r(10)，
∴10sin α＋eq \f(3,cs α)＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0.
综上，10sin α＋eq \f(3,cs α)＝0.
用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．

1．已知α是第二象限角，P(x，eq \r(5))为其终边上一点，且cs α＝eq \f(\r(2),4)x，则x＝( )
A.eq \r(3) B．±eq \r(3)
C．－eq \r(2) D．－eq \r(3)
解析：依题意得cs α＝eq \f(x,\r(x2＋5))＝eq \f(\r(2),4)x<0，由此解得x＝－eq \r(3)，选D.
答案：D
考点三 扇形的弧长及面积公式|
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
[解] (1)设圆心角是θ，半径是r，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋rθ＝10,\f(1,2)θ·r2＝4))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,θ＝8))(舍)，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝4，,θ＝\f(1,2)，))
故扇形圆心角为eq \f(1,2).
(2)设圆心角是θ，半径是r，
则2r＋rθ＝40.
S＝eq \f(1,2)θ·r2＝eq \f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)
＝－(r－10)2＋100
≤100，
当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2.
所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．
弧度制应用的两个关注点
(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝eq \f(1,2)lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝eq \f(nπr,180)，扇形面积S＝eq \f(nπr2,360)，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．
2．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( )
A．4 B．2
C．8 D．1
解析：设半径为r，圆心角的弧度数为θ，
由S＝eq \f(1,2)θr2，∴8＝eq \f(1,2)×θ×4，∴θ＝4.
答案：A
9.数形结合思想在三角函数中的应用
【典例】 (1)满足cs α≤－eq \f(1,2)的角α的集合为________．
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，eq \(OP,\s\up6(→))的坐标为________．
[思路点拨] (1)利用三角函数线可直观清晰地得出角α的范围．
(2)点P转动的弧长是本题的关键，可在圆中作三角形寻找P点坐标和三角形边长的关系．
[解析] (1)作直线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)))).
(2)如图所示，
过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧eq \x\t(PA)＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－eq \f(π,2)，
所以|PB|＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝－cs 2，
|CB|＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝sin 2，
所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，
yP＝1＋|PB|＝1－cs 2，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(2－sin 2,1－cs 2)．
[答案] (1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))
(2)(2－sin 2,1－cs 2)
[思想点评] (1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；
(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．
[跟踪练习] 函数y＝ln(sin x－eq \f(\r(3),2))的定义域为________．
解析：(1)∵sin x>eq \f(\r(3),2)，作直线y＝eq \f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)
A组 考点能力演练
1．已知MP、OM、AT分别为角θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)<θ<\f(π,2)))的正弦线、余弦线、正切线，则一定有( )
A．MPC．AT解析：如图所示，MP、OM、AT分别为角θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)<θ<\f(π,2)))的正弦线、余弦线、正切线，由于eq \f(π,4)<θ答案：D
2．已知sin α<0，cs α<0，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由sin α<0得角α的终边在第三或第四象限，由cs α<0得角α的终边在第二或第三象限，所以满足sin α<0，cs α<0的角α的终边在第三象限，故选C.
答案：C
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C.eq \f(2,sin 1) D．2sin 1
解析：由题设，圆弧的半径r＝eq \f(1,sin 1)，
∴圆心角所对的弧长l＝2r＝eq \f(2,sin 1).
答案：C
4．若x∈(0,2π)，则sin x>eq \f(1,2)的必要不充分条件是( )
A.eq \f(π,6)C.eq \f(π,6)解析：本题考查三角函数的性质与充分必要条件．依题意，由sin x>eq \f(1,2)，x∈(0,2π)得知eq \f(π,6)eq \f(1,2)，如取eq \f(π,6)eq \f(1,2)的必要不充分条件是eq \f(π,6)答案：B
5．点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动eq \f(7π,3)弧长到达点Q，则点Q的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
解析：设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动eq \f(7π,3)弧长到达点Q，则∠AOQ＝eq \f(7π,3)－2π＝eq \f(π,3)(O为坐标原点)，所以∠xOQ＝eq \f(2π,3)，cseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，所以点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
答案：A
6．如果角θ的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，那么tan θ的值是________．
解析：由定义知tan θ＝eq \f(\f(1,2),－\f(\r(3),2))＝－eq \f(\r(3),3).
答案：－eq \f(\r(3),3)
7．已知角α(0≤α<2π)的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,3)，cs\f(2π,3)))，则α＝________.
解析：本题考查了三角函数值的概念及同角三角函数的关系问题．由已知条件sineq \f(2π,3)>0，cseq \f(2π,3)<0可得角α的终边在第四象限，又由tan α＝eq \f(cs\f(2π,3),sin\f(2π,3))＝－eq \f(\r(3),3)(0≤α<2π)可得α＝eq \f(11π,6).
答案：eq \f(11π,6)
8．(2016·成都一诊)在直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sics θ＝eq \f(y0－x0,r)，称“sics θ”为“θ的正余弦函数”，若sics θ＝0，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝________.
解析：因为sics θ＝0，所以y0＝x0，所以θ的终边在直线y＝x上，所以当θ＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ＋\f(π,2)－\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)；
当θ＝2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4kπ＋\f(5π,2)－\f(π,3)))＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
综上得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求的长；
(2)求所在弓形的面积．
解：(1)∵α＝120°＝eq \f(2π,3)，r＝6，
∴的长l＝eq \f(2π,3)×6＝4π.
(2)∵S扇形OAB＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×4π×6＝12π，
S△ABO＝eq \f(1,2)r2·sineq \f(2π,3)＝eq \f(1,2)×62×eq \f(\r(3),2)＝9eq \r(3)，
∴S弓形＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9eq \r(3).
10．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cs θ的值．
解：∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，
∴tan θ＝－eq \f(1,x)，
又tan θ＝－x，
∴x2＝1，∴x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－eq \f(\r(2),2)，cs θ＝eq \f(\r(2),2)，
因此sin θ＋cs θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－eq \f(\r(2),2)，cs θ＝－eq \f(\r(2),2)，
因此sin θ＋cs θ＝－eq \r(2).
综上sin θ＋cs θ＝0或－eq \r(2).
B组 高考题型专练
1．(2011·高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cs 2θ＝( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
解析：∵角θ的终边在直线y＝2x上，
∴tan θ＝2.
则cs 2θ＝eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq \f(3,5).
答案：B
2．(2012·高考安徽卷改编)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量eq \(OP,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转eq \f(3π,2)后得向量eq \(OQ,\s\up6(→))，则点eq \(OQ,\s\up6(→))的坐标是( )
A．(8，－6) B．(－8，－6)
C．(－6,8) D．(－6，－8)
解析：|OP|＝10，且设∠xOP＝θ，
∴cs θ＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，sin θ＝eq \f(4,5).
设eq \(OQ,\s\up6(→))＝(x，y)，则x＝10cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,2)))＝10sin θ＝8，
y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,2)))＝－10cs θ＝－6.
答案：A
3．(2014·高考大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cs α＝( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)
C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
解析：cs α＝eq \f(－4,\r(－42＋32))＝－eq \f(4,5).
答案：D
4．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )
A．sin 2α>0 B．cs α>0
C．sin α>0 D．cs 2α>0
解析：tan α>0，知sin α，cs α同号，
∴sin 2α＝2sin αcs α>0.
答案：A
分类
定义(公式)
1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad表示．
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180)rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|·r
扇形的面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|·r2
三角函数
正 弦
余 弦
正 切
定 义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫作α的正弦，记作sin α
x叫作α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫作α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线