高三数学第一轮复习 函数的奇偶性教案 文

这是一份高三数学第一轮复习 函数的奇偶性教案 文，共5页。教案主要包含了知识梳理，题型探究，方法提升，反思感悟，课时作业等内容，欢迎下载使用。

函数的奇偶性定义：



利用定义判断函数奇偶性的步骤
首先确定函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称；
确定与的关系；
作出相应结论
奇偶函数的性质：
（1）定义域关于原点对称；
（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
（3）为偶函数
（4）若奇函数的定义域包含0，则
（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；
（6）牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；
（7）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
4、一些重要类型的奇偶函数
（1）、f(x)= (a>0,a) 为偶函数;
f(x)= (a>0,a) 为奇函数;
（2）、f(x)=
（3）、f(x)=
（4）、f(x)=x+
（5）、f(x)=g(|x|)为偶函数;
二、题型探究
[探究一]：判断函数的奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性
1. 【15年北京文科】下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.
考点：函数的奇偶性.
2. 【15年广东文科】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数．故选A．
考点：函数的奇偶性．
3. 【15年福建文科】下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：函数和是非奇非偶函数； 是偶函数；是奇函数，故选D．
考点：函数的奇偶性．
[探究二]：应用函数的奇偶性解题
例3、【2014高考湖南卷改编】
已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( )
A. B. C. 1 D. 3
例4：已知函数f(x)=- - 若f(a)=b ,则f(-a) =
三、方法提升
判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化、整理、将f(x)与f-(x)比较，得出结论。
利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题，转化到研究部分（一半）区间上，是简化问题的一种途径。
函数的奇偶性常与函数的其它性质及不等式结合 出题，运用函数的奇偶性就是运用函数的对称性。
要善于发现函数特征，图像特征，运用数形结合，定向转化，分类讨论思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序，既快又准。
四、反思感悟



五、课时作业
1．【2014全国1高考改编】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B． 是奇函数
C.． 是奇函数 D．是奇函数
2．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8，
又f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3－8，x≥0,－x3－8，x<0)).∴f(x－2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((x－2)3－8，x≥2,－(x－2)3－8，x<2))，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2,(x－2)3－8>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2,－(x－2)3－8>0))，解得x>4或x<0.故选B.
答案：B
3．定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
解析：依题意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2010；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2010，f(－x)＋2010＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2010]，因此函数f(x)＋2010是奇函数，选D.
答案：D
4、设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
解析：设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.
答案：－1
5．已知函数f(x＋1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，且f(0)＝2，则f(4)＝________.
解析：依题意有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(4)＝f(－(－3)＋1)＝－f(－2)＝－f(－1－1)＝－f(0)＝－2.
答案：－2
6．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；
②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；
④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
解析：f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，故①正确；
由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；
f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，③正确；
y＝f(1＋x)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位后得到，y＝f(1－x)是由y＝f(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故④错误．
答案：①③
7．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．
(1)求a、b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
分析：(1)由f(0)＝0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a；(2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f，然后用判别式解决恒成立问题．
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即eq \f(b－1,a＋2)＝0⇒b＝1，所以f(x)＝eq \f(1－2x,a＋2x＋1)，
又由f(1)＝－f(－1)知eq \f(1－2,a＋4)＝－eq \f(1－\f(1,2),a＋1)⇒a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝eq \f(1－2x,2＋2x＋1)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1)，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因f(x)是奇函数，从而不等式：
f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2，
即对t∈R有：3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0⇒k<－eq \f(1,3).
8．【2013师大附中精典题库】设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，
∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.又∵对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．