高三数学第一轮复习 函数的单调性与最值教案 文

这是一份高三数学第一轮复习 函数的单调性与最值教案 文，共8页。教案主要包含了题型探究，函数的单调性与最值，方法提升，课时作业，选择题等内容，欢迎下载使用。

1．对于给定区间D上的函数，对于D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上是增函数; 当时，都有， 则称是区间D上减函数.
2．判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性; (4) 图象法.
3.设那么上是增函数；上是减函数.
4.设在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
5.如果和都是增(或减)函数,则在公共定义域内是增(或减)函数;
增减,则是增函数;减 增,则差函数是减函数.
6．基本初等函数的单调性
（1）一次函数. 当在上是增函数；当在上是减函数
（2）二次函数.
当在上是减函数；在上是增函数；
当在上是增函数；在上是减函数；
（3）反比例函数.
当在上是减函数，在上是减函数；当在上是增函数，在上是增函数。
（4）指数函数.当在上是增函数；当在上是减函数。
（5）指数函数当在上是增函数；当在上是减函数。
7.函数的最值
对于函数y=f(x)，设定义域为A，则
（1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。
（2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。
二、题型探究
【探究一】：判断证明函数的单调性
例1：试判断函数在区间（0，1）上的单调性.
例2：下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
（A）（B） （C） （D）
探究二：抽象函数的单调性
例3：【2013师大精典题库】定义在R上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a、b，有f(a+b)=f(a)f(b).
(1)求证：f(0)=1；
(2)求证：对任意x，f(x)> 0；
(3)证明：f(x)是R上的增函数。
例4：函数f(x)对任意a、b，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。
(1)证明：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3<3.
探究三：与单调性有关的参数问题
例5：若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）

探究四、函数的单调性与最值
例6：求下列函数的值域
y＝eq \r(－x2－6x－5)
y=x+

,表示不超过x的最大整数
例7：12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. w w w .x k b 1.c m
①当a＜0时，由图①可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a＜1时，由图②可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图③可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(0)＝－1.
④当a＞2时，由图④可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，
f(x)max＝f(0)＝－1.
综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；
当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；
当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；
当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.
三、方法提升
函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，函数在给定的区间的单调性反映函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质 ，但不一定是函数在定义域内上的整体性质，函数的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；
求函数的单调区间，首先请注意函数的定义域，函数的增减区间都是定义域的子区间;其次，掌握基本初等函数的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，导数法；
利用函数的单调性可以解函数不等式、方程及函数的最值问题。
四、反思感悟


。
五、课时作业
一、选择题
1. 【15高考改编】函数的定义域为（ ）
A. B C. D.
2. 【15高考改编】已知函数，，若，则（ C ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
3.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x 取值范围是（A ）
A．（，） B．（，） C．（，） D．
4.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是 （D ）
A． B．
C． D．
5.已知f（x）是R上的奇函数，且f（2）=0，x为单调增函数，求x f（x）的解集（ ）A．[-2，0] B.
C. D.
6.偶函数 在 上单调递增，则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7.设a，b∈R，且a＞0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b，在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )．
A．4 B．8 C．10 D．16
8.函数f(x)= x2+2(a－1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a的取值范围是( )
A. B. C. (－∞,5) D.
9.已知函数，则函数的最大值是 （ ）
A．22 B．13 C．11 D．－3
10.函数的最大值为，最小值为，则高考资源网
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数 ，则的最大值、最小值为 。
12. 当x则函数的最大值为 。
13.设x∈R，则函数f (x) =的最小值为 。
14.已知+= 20，则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 ，最小值为 。
三、解答题
15.求证：函数，在区间上是减函数。
16.已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围。
17.已知函数
（1）求函数的值域；
（2）若时，函数的最小值为，求的值和函数 的最大值。
18.对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。
（1）求闭函数符合条件②的区间[]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围。
答案解析
一、选择题
1.A 2.C 3.A 4.D 5.A 6.D 7.B 8.B 9.B 10.D
二、填空题11.10,－1 12. 13.13
14.100 + 25，100 – 25。
三、解答题
15.解析：设则


在区间上是减函数。
16.解析：（1）当时，
易证在上是增函数（须证明一下）

（2）由有对恒成立
令
即
（另有讨论法求和函数最值法求）
17.解析：设
（1） 在上是减函数 所以值域为
（2） 由
所以在上是减函数
或（不合题意舍去）
当时有最大值， 即
18.解析：（1）由题意，在[]上递减，则解得
所以，所求的区间为[-1，1]
（2）取则，即不是上的减函数。
取，
即不是上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。
（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实根，即方程有两个不等的实根。
当时，有，解得。当时，有，无解。 综上所述，。