一轮复习专题2.3 函数的单调性与最值（解析版）教案

03函数单调性与最值

一、知识要点

1．函数的单调性

(1)增函数与减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是            ．

②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是            ．

(2)单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)        ，区间D叫做y＝f(x)的            ．

2．函数的最值

(1)最大值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有            ；

②存在x0∈I，使得            ．

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．

(2)最小值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：

①对于任意的x∈I，都有            ；

②存在x0∈I，使得            ．

那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．

自查自纠：

1．(1)①任意两个　增函数　②任意两个　减函数  (2)单调性　单调区间

2．(1)①f(x)≤M　②f(x0)＝M   (2)①f(x)≥N　②f(x0)＝N

二、题型训练

题组一

1．定义在上的偶函数在上是减函数则 (     ) ．

A．                 B．

C．                 D． 

【答案】A

【解析】是偶函数在上是减函数，

2．如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是（   ）

A．减函数且最小值是                B．减函数且最大值是

C．增函数且最小值是                D．增函数且最大值是．

【答案】A

【解析】偶函数图像关于y轴对称，上是增函数，所以上是减函数，有最小值2

3．已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（ ）

A．     　 B． 　　C．    　 D．

【答案】C

【解析】是偶函数，，，又因为在区间是减函数，，故选C．

4．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，，则的解集为（     ）

A．       B．   C．     D．

【答案】B

【解析】由题意得，在单调递减，在单调递增，因此由得，解得，选B．

5．设奇函数在 （0，＋∞）上是增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A．或     B．或

C．或        D．或

【答案】D

【解析】若在上为增函数，则函数在上为增函数，又,因为f（x）为奇函数，所以当时，当时，可以，当时，当时，可以；所以不等式解集为。

6．已知偶函数f（x）在区间（0，＋∞）单调增加，则满足f（x－1）<f的x取值范围是（  ）

A． B．C．D．

【答案】C

【解析】根据偶函数，所以，所以原式等价于，，，解得．

7．已知定义在R上的偶函数，在时，，若，则a的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】当时，，，∴函数在上为增函数，∵函数是定义在R上的偶函数，∴，∴，∴，即．

8．若函数为奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（   ）

A．   B． C． D．

【答案】A

【解析】函数为奇函数，所以，原不等式等价于，即与异号的解集，当时，增函数，又，所以，时，；当时，增函数，，故的解集是，故选A．

9．若函数是定义在上的增函数，且满足，那么，关于的不等式的解集是。

【答案】1,.

【解析】由，令a=b=1,则f（1）+f（1）=f（2）-1,则f（2）=1,由，得f（-x）＞f（1）,则-x-1＞1，则。

10．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是_______________．

【答案】

【解析】因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减．又因为，所以，所以，解得，故应填．

11．已知函数, 若，则实数的取值范围是（    ）

 A．   B． C．    D．

【答案】D

【解析】因为，所以函数在和上为单调递增的，且当时，；当时，；这表明函数在整个定义域内均为单调递增的，所以由得：，解之得：．故应选．

12．设函数，则满足不等式的的取值范围是．

【答案】

【解析】由题意可得在上是增函数，而时，，故满足不等式的x需满足，即，解得．

题组二

13．下列函数中既是奇函数，又在区间（0,2）内是增函数的为（    ）

A．              B．且

C．               D．

【答案】C

【解析】首先判断奇偶性： B为偶函数，A,C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,

所以排除B、D；在(0，2)先增后减，排除A,故选C．

14．设，则（     ）

A．既是奇函数又是减函数     B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数         D．是没有零点的奇函数

【答案】B

【解析】

又的定义域为是关于原点对称，所以是奇函数；是增函数. 15．设函数，则是（    ）

A、奇函数，且在（0,1）上是增函数       B、奇函数，且在（0,1）上是减函数

C、偶函数，且在（0,1）上是增函数       D、偶函数，且在（0,1）上是减函数

【答案】A

【解析】函数，函数的定义域为（-1，1），函数所以函数是奇函数．，在（0,1）上，所以在（0,1）上单调递增，故选A.

16．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（  ）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】B项在定义域上不是单调的，D项不具备奇偶性，C项是增函数，只有A项满足条件，故选A．

17．下列函数中既是奇函数，又在区间（0,2）内是增函数的为（    ）

A．B．且C．D．

【答案】C

【解析】首先判断奇偶性： B为偶函数，A,C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,

所以排除B、D;在(0，2)先增后减，排除A,故选C．

18．已知函数（R）是偶函数，其部分图象如图所示，则在上与函数的单调性相同的是（       ）

A．        B．   C．       D．

【答案】D

【解析】从图象可知，函数在上单调递减，所以在上与函数的单调性相同的是．选D．

题组三

19．函数在[0，1]上的最大值与最小值之和为，则．

【答案】

【解析】当时，函数是增函数，最大值和最小值的和是，解得，舍去，当时，函数是 ，最大值和最小值的和同样是，解得

20．已知函数，在区间上是递减函数，则实数的取值范围为_________．

【答案】-3a≤-2

【解析】设t=x2+ax+a+5，则f（x）=log3t，且函数t在区间（-∞，1）上是递减函数，且t＞0．∴，求得-3a≤-2

21．设为正实数，是定义在上的奇函数，当时，，若 对一切成立，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】由题可知，设，则，于是有，由于是奇函数，满足，故当时，，即有，根据分离常数法，化简可得，即的取值范围为；

22．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是       ．

【答案】．

【解析】要使在上为减函数，则，即，解得；即实数的取值范围为．

23．已知函若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ）．

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】函数为增函数，由题意得 

24．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是．

【答案】

【解析】由分段函数为上的增函数，得即,故答案为：

题组四

25．已知函数在定义域上为增函数，且满足，．（1）求的值；（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由原题条件，可得到，

；

（2），又∴，函数在定义域上为增函数，∴，解得的取值范围为．

26．已知：定义在R上的函数，对于任意实数a, b都满足，且，当．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明在上是增函数；（Ⅲ）求不等式的解集．

【解析】（Ⅰ）解：令

（Ⅱ）证明：当由  得

,设

（Ⅲ）解：

由（Ⅱ）可得：  解得,所以原不等式的解集是

27.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．

解：(1)证法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0，得f(0)＝0，

再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．

证法二：在R上任取x1，x2且x1>x2，则x1－x2＞0.则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．

(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3，3]上也是减函数，∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.

28.f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋5)－f＜2.

解：(1)f(1)＝f＝f(x)－f(x)＝0，x＞0.

(2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x1＜x2，则由f＝f(x)－f(y)，得f(x2)－f(x1)＝f，∵＞1，∴f＞0.∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)∵f(6)＝f＝f(36)－f(6)，又f(6)＝1，∴f(36)＝2，原不等式化为：f(x2＋5x)＜f(36)，

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴ 解得0＜x＜4.