高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值教案

函数的单调性和最值

【第一课时】

【教材分析】

函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。

【教学目标与核心素养】

1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。

2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。

【教学重难点】

（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；

（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法；

（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、知识引入

初中学习了一次函数的图象和性质，当时，直线是向右上，即函数值随的增大而增大，当时，直线向右下，即函数值随的增大而减小。同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。

思考讨论：

（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？

提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。

（2）如图，是函数的图象，说出在各个区间函数值随的值的变化情况。

提示：在区间上，函数值都是随的值的增大而增大；

在区间上，函数值都是随的值的增大而减小。

二、新知识

一般地，在函数定义域内的一个区间上。

如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数或递增的；

如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数或递减的。

注意：

①函数在区间上是增函数（减函数），那么就称函数在区间上是单调函数，或称在区间上具有单调性，区间称为函数单调区间。

如：一元二次函数在区间上是单调增函数（单调递增），区间是函数的单调增区间；

②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；

③“函数在区间上单增”与“函数的单增区间是”两种叙述含义是不同的。

如：函数的单调递增区间为，则对称轴；

函数在区间上单调递增，则对称轴。

④函数的定义域为，由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是”，而只能说“函数在区间和区间上都是递减的”。

例1．设，画出函数的图象，并通过图象直观判断它的单调性。

解：函数，其图象是函数的图象向左平移3个单位得到，如图，该函数在区间上单调递减。

例2．根据函数图象直观判断的单调性。

解：函数，画出该函数的图象，如图，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。

例3．判断函数的单调性，并给出证明．

解：画出函数的图象，如图，可以看出函数在上是减函数．

下面用定义证明这一单调性．

任取，且，则

，即

所以函数在上是减函数．

思考讨论（综合练习）

（1）二次函数在区间上单调，则实数的取值范围；

（2）设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数；

（3）已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；

（4）设实数，函数在区间上的最小值是，求并画出的图象。

提示：（1）二次函数，图象抛物线开口向上，对称轴

函数在区间上单调，则或，所以的取值范围为或．

（2）设，且

．

因为，所以

，，，所以．

．

即

函数在区间上是减函数

（3）任取，且

．

，得

根据题意，的符号恒正或恒负，故

所以实数的取值范围是．

（4）画出函数的图象，如图，抛物线对称轴为

当时，函数在区间上单调递减，；

当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上单调递增，．

综上，，画出函数图象如图：

三、课堂练习

教材P60，练习1、2、3。

四、课后作业

教材P62，习题2-3：A组第1、2、3、4题。

【教学反思】

函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。

在函数的很多问题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。

【第二课时】

【教学分析】

上一节，同学们已经可以利用函数图象判断函数的单调性，学习了函数单调性的定义以及用定义证明函数的单调性、找出函数单调区间，本节课在此基础上继续学习复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明，达到熟练运用函数单调性，解决有关函数性质的综合问题。

【教学目标与核心素养】

（1）知识目标：

利用函数的单调性定义证明函数的单调性；复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题。

（2）核心素养目标：

通过函数单调性的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。

【教学重难点】

1．利用定义证明函数的单调性；

2．复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明；

3．利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

思考讨论：

（1）增函数和减函数的定义是什么？

提示：在函数定义域内的一个区间上，如果对于任意的，当时,都有，就称函数在区间上是增函数；如果都有，就称函数在区间上是减函数。

（2）如果有两个函数和，在同一个区间上都是单增（单减）函数，那么函数的具有怎样的单调性？能不能判断函数的单调性呢？

提示：函数也是单增（单减）函数，函数的单调性不确定。

例4．判断函数的单调性，并给出证明．

解：画出函数的图象，可以看出，函数在定义域内是增函数．

下面给出证明：

设，且，则

，∵，∴

即，所以函数在定义域上是增函数．

例5．试用定义证明：函数在区间上是减函数，在区间上是增函数．

解：设，且,则

，

∵，∴，，又

，即函数在区间上是减函数．

同理可证，函数在区间上是增函数．

注意：

①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数．

在区间上，由函数的单调性或由均值不等式，可得当时，函数取得最小值，同理也可以得到时函数的单调性。画出该函数的图象，如图，该函数又叫双曲函数．

形如的函数，在区间上也具有类似的性质，根据均值不等式，可得当时，函数取得最小值，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；

②设是的函数，是的函数，其中函数的值域是函数的定义域或子集，则函数称为函数与函数的复合函数。

复合函数单调性常采用分层分析的方法：

如：函数，令，则

当时，，所以函数在时单减，

当时，，所以函数在时单增，

其中“”代表增大，“”代表减小．

③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性．

如：求函数在区间上的最值．

，

当时，随着，，所以函数，即函数单增．

所以，．

思考讨论（综合练习）

（1）如果函数，对任意实数都有，试比较、、的大小；

（2）函数在上单调递增，求实数的取值范围

（3）求函数的单调区间；

（4）已知定义在区间上的函数，满足：i）对任意，都有；ii）当时，．

①判断并证明单调性；

②解关于的不等式．

提示：（1）根据题意，对任意实数都有，则二次函数图象的对称轴为，抛物线开口向上，所以离对称轴距离越远的自变量，对应的函数值越大，所以．

（2）函数在上单调递增，则在时单增，且在分界点处，右侧函数值不小于左侧函数值，即且，得，所以实数的取值范围为．

（3）函数有意义，则，得，所以函数定义域为

设，函数对称轴为，

当时，，函数的递增区间为；

当时，，函数的递减区间为．

所以，函数的递增区间为；递减区间为．

（4）①：设，且

．

因，故，得

，函数在区间上单减．

②不等式即

由函数的定义域和单调递减，得，解得．

三、课堂练习

教材P62，练习1、2、3．

四、课后作业

教材P62，习题2-3：A组第5题，B组第1、2、3、4题．

【教学反思】

函数的单调性是函数的一个重要性质，有关函数的很多问题中，均以函数的单调性为基础，比如求函数的值域、求函数的极值等等，大家在掌握定义法证明函数单调性同时，也要掌握分析函数单调性的方法。