高考数学一轮复习总教案：5.5　三角函数的图象和性质

这是一份高考数学一轮复习总教案：5.5　三角函数的图象和性质，共3页。教案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。

典例精析
题型一 三角函数的周期性与奇偶性
【例1】已知函数f(x)＝2sin eq \f(x,4)cs eq \f(x,4)＋eq \r(3)cs eq \f(x,2).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)令g(x)＝f(x＋eq \f(π,3))，判断g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)＝2sin eq \f(x,4)cs eq \f(x,4)＋eq \r(3)cs eq \f(x,2)＝sin eq \f(x,2)＋eq \r(3)cs eq \f(x,2)＝2sin(eq \f(x,2)＋eq \f(π,3))，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.
(2)g(x)＝f(x＋eq \f(π,3))＝2sin[eq \f(1,2)(x＋eq \f(π,3))＋eq \f(π,3)]＝2sin(eq \f(x,2)＋eq \f(π,2))＝2cs eq \f(x,2).
所以g(x)为偶函数.
【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.
【变式训练1】函数y＝sin2x＋sin xcs x的最小正周期T等于( )
A.2π B.π C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,3)
【解析】y＝eq \f(1－cs 2x,2)＋eq \f(1,2)sin 2x＝eq \f(\r(2),2)(eq \f(\r(2),2)sin 2x－eq \f(\r(2),2)cs 2x)＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)sin(2x－eq \f(π,4))＋eq \f(1,2)，所以T＝eq \f(2π,2)＝π.故选B.
题型二 求函数的值域
【例2】求下列函数的值域：
(1)f(x)＝eq \f(sin 2xsin x,1－cs x)；
(2)f(x)＝2cs(eq \f(π,3)＋x)＋2cs x.
【解析】(1)f(x)＝eq \f(2sin xcs xsin x,1－cs x)＝eq \f(2cs x(1－cs2x),1－cs x)＝2cs2x＋2cs x
＝2(cs x＋eq \f(1,2))2－eq \f(1,2)，
当cs x＝1时，f(x)max＝4，但cs x≠1，所以f(x)＜4，
当cs x＝－eq \f(1,2)时，f(x)min＝－eq \f(1,2)，所以函数的值域为[－eq \f(1,2)，4).
(2)f(x)＝2(cs eq \f(π,3)cs x－sin eq \f(π,3)sin x)＋2cs x
＝3cs x－eq \r(3)sin x＝2eq \r(3)cs(x＋eq \f(π,6))，
所以函数的值域为[－2eq \r(3)，2eq \r(3)].
【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.
【变式训练2】求y＝sin x＋cs x＋sin xcs x的值域.
【解析】令t＝sin x＋cs x，则有t2＝1＋2sin xcs x，即sin xcs x＝eq \f(t2－1,2).
所以y＝f(t)＝t＋eq \f(t2－1,2)＝eq \f(1,2)(t＋1)2－1.
又t＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))，所以－eq \r(2)≤t≤eq \r(2).
故y＝f(t)＝eq \f(1,2)(t＋1)2－1(－eq \r(2)≤t≤eq \r(2))，
从而f(－1)≤y≤f(eq \r(2))，即－1≤y≤eq \r(2)＋eq \f(1,2).
所以函数的值域为[－1，eq \r(2)＋eq \f(1,2)].
题型三 三角函数的单调性
【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.
(1)求ω，φ的值；
(2)设g(x)＝f(x)f(x－eq \f(π,4))，求函数g(x)的单调递增区间.
【解析】(1)由图可知，T＝4(eq \f(π,2)－eq \f(π,4))＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝2.
又由f(eq \f(π,2))＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.
因为|φ|＜π，所以φ＝－eq \f(π,2).
(2)f(x)＝sin(2x－eq \f(π,2))＝－cs 2x.
所以g(x)＝(－cs 2x)[－cs(2x－eq \f(π,2))]＝cs 2xsin 2x＝eq \f(1,2)sin 4x.
所以当2kπ－eq \f(π,2)≤4x≤2kπ＋eq \f(π,2)，即eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)≤x≤eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)时g(x)单调递增.
故函数g(x)的单调增区间为[eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)，eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)](k∈Z).
【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.
【变式训练3】使函数y＝sin(eq \f(π,6)－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是( )
A.[0，eq \f(π,3)] B.[eq \f(π,12)，eq \f(7π,12)]
C.[eq \f(π,3)，eq \f(5π,6)] D.[eq \f(5π,6)，π]
【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.
总结提高
1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.
2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.
3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.
4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.[来源:数理化网]