高考数学一轮复习总教案：9.1　椭　圆

第九章　圆锥曲线与方程

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9.1　椭　圆

典例精析

题型一　求椭圆的标准方程

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和

，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.

【解析】由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，故a＝，

由勾股定理得，()2－()2＝4c2，所以c2＝，b2＝a2－c2＝，

故所求方程为＋＝1或＋＝1.

【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；

(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：

据此，可推断椭圆C1的方程为　　　　　.

【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(－2,2)，B(－，0)，C(0，)，D(2，－2)，E(2，)，F(3，－2).

通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.

显然半焦距b＝，则不妨设椭圆的方程是＋＝1，则将点

A(－2,2)代入可得m＝12，故该椭圆的方程是＋＝1.

方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.

不妨设有两点y＝2px1，①y＝2px2，②＝，

则可知B(－，0)，C(0，)不是抛物线上的点.

而D(2，－2)，F(3，－2)正好符合.

又因为椭圆的交点在x轴上，故B(－，0)，C(0，)不可能同时出现.故选用A(－2,2)，E(2，)这两个点代入，可得椭圆的方程是＋＝1.

题型二　椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【解析】(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，

由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos 60°，

因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，

所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.

又mn≤()2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，

所以4a2－4c2≤3a2，所以≥，

即e≥，所以e的取值范围是[，1).

(2)由(1)知mn＝b2，所以＝mnsin 60°＝b2，

即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤()2，|PF1|≥a－c.

【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和圆

(x－4)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是　　　　.

【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，

则|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－)＋(|PF2|－)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.

所以|PQ|＋|PR|的最小值为9.

题型三　有关椭圆的综合问题

 【例3】设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

(1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.

【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.

l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组

化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，

即a＝，故a2＝2b2，

所以E的离心率e＝＝＝.

(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝.[来源:www.shulihua.net]

由|PA|＝|PB|⇒kPN＝－1，即＝－1⇒c＝3.

从而a＝3，b＝3，故E的方程为＋＝1.

【变式训练3】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若＝e，则e的值是(　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x＝－，抛物线准线为x＝

－3c，x0－(－)＝x0－(－3c)⇒＝⇒e＝.故选B.

总结提高

1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.

2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.

3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.

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