高考数学一轮复习总教案：5.4　三角恒等变换

这是一份高考数学一轮复习总教案：5.4　三角恒等变换，共3页。教案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。

典例精析
题型一 三角函数的求值
【例1】已知0＜α＜eq \f(π,4)，0＜β＜eq \f(π,4)，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan eq \f(α,2)＝1－tan2eq \f(α,2)，求α＋β的值.
【解析】由4tan eq \f(α,2)＝1－tan2eq \f(α,2)，得tan α＝＝eq \f(1,2).
由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
所以3sin(α＋β)cs α－3cs(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cs α＋cs(α＋β)sin α，
即2sin(α＋β)cs α＝4cs(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1.
又因为α、β∈(0，eq \f(π,4))，所以α＋β＝eq \f(π,4).
【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.
【变式训练1】如果tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，tan(β－eq \f(π,4))＝eq \f(1,4)，那么tan(α＋eq \f(π,4))等于( )
A.eq \f(13,18) B.eq \f(13,22) C.eq \f(7,23) D.eq \f(3,18)
【解析】因为α＋eq \f(π,4)＝(α＋β)－(β－eq \f(π,4))，
所以tan(α＋eq \f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq \f(π,4))]＝eq \f(tan(α＋β)－tan(β－\f(π,4)),1＋tan(α＋β)tan(β－\f(π,4)))＝eq \f(7,23).
故选C.
题型二 等式的证明
【例2】求证：eq \f(sin β,sin α)＝eq \f(sin(2α＋β),sin α)－2cs(α＋β).
【证明】证法一：
右边＝eq \f(sin [(α＋β)＋α]－2cs(α＋β)sin α,sin α)＝eq \f(sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α,sin α)
＝eq \f(sin [(α＋β)－α],sin α)＝eq \f(sin β,sin α)＝左边.
证法二：eq \f(sin(2α＋β),sin α)－eq \f(sin β,sin α)＝eq \f(sin(2α＋β)－sin β,sin α)＝eq \f(2cs(α＋β)sin α,sin α)＝2cs(α＋β)，
所以eq \f(sin(2α＋β),sin α)－2cs(α＋β)＝eq \f(sin β,sin α).
【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.
【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.
【证明】因为5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)cs β＋5cs(α－β)sin β＝3sin(α－β)cs β－3cs(α－β)sin β，
所以2sin(α－β)cs β＋8cs(α－β)sin β＝0.
即tan(α－β)＋4tan β＝0.
题型三 三角恒等变换的应用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；
(2)若A＞B且tan A＝－2tan B，求证：tan C＝eq \f(sin 2B,3－cs 2B)；
(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值.
【解析】(1)因为C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan(A＋B)＝eq \f(－(tan A＋tan B),1－tan Atan B)，
所以tan C－tan Atan Btan C＝－tan A－tan B，
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
(2)由(1)知tan C＝eq \f(－(tan A＋tan B),1－tan Atan B)＝eq \f(tan B,1＋2tan2B)＝eq \f(sin Bcs B,cs2B＋2sin2B)＝
＝eq \f(sin 2B,2(2－\f(1＋cs 2B,2)))＝eq \f(sin 2B,3－cs 2B).
(3)由(2)知tan C＝eq \f(tan B,1＋2tan2B)＝eq \f(1,2tan B＋\f(1,tan B))≤eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4)，
当且仅当2tan B＝eq \f(1,tan B)，即tan B＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立.
所以tan C的最大值为eq \f(\r(2),4).
【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.
【变式训练3】在△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状.
【解析】由已知得tan B＋tan C＝eq \r(3)(1－tan Btan C)，
eq \r(3)(tan A＋tan B)＝－(1－tan Atan B)，
即eq \f(tan B＋tan C,1－tan Btan C)＝eq \r(3)，eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(\r(3),3).
所以tan(B＋C)＝eq \r(3)，tan(A＋B)＝－eq \f(\r(3),3).
因为0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝eq \f(π,3)，A＋B＝eq \f(5π,6).
又A＋B＋C＝π，故A＝eq \f(2π,3)，B＝C＝eq \f(π,6).
所以△ABC是顶角为eq \f(2π,3)的等腰三角形.
总结提高
三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.