高考数学一轮复习总教案：5.7　正弦定理和余弦定理

这是一份高考数学一轮复习总教案：5.7　正弦定理和余弦定理，共3页。教案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。

典例精析
题型一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，AB＝eq \r(2)，BC＝1，cs C＝eq \f(3,4).
(1)求sin A的值；(2)求的值.
【解析】(1)由cs C＝eq \f(3,4)得sin C＝eq \f(\r(7),4).
所以sin A＝eq \f(BC sin C,AB)＝eq \f(1×\f(\r(7),4),\r(2))＝eq \f(\r(14),8).
(2)由(1)知，cs A＝eq \f(5\r(2),8).
所以cs B＝－cs(A＋C)＝－cs Acs C＋sin Asin C
＝－eq \f(15\r(2),32)＋eq \f(7\r(2),32)＝－eq \f(\r(2),4).
所以·＝·(＋)＝＋
＝－1＋1×eq \r(2)×cs B＝－1－eq \f(1,2)＝－eq \f(3,2).
【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.
【变式训练1】在△ABC中，已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则∠C＝ .
【解析】S＝eq \f(a2＋b2－c2,4)＝eq \f(1,2)absin C.
所以sin C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝cs C.所以tan C＝1，
又∠C∈(0，π)，所以∠C＝eq \f(π,4).
题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题
【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A＝sin(eq \f(π,3)＋B)sin(eq \f(π,3)－B)＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若＝12，a＝2eq \r(7)，求b，c(其中b＜c).
【解析】(1)因为sin2A＝(eq \f(\r(3),2)cs B＋eq \f(1,2)sin B)(eq \f(\r(3),2)cs B－eq \f(1,2)sin B)＋sin2B＝eq \f(3,4)cs2B－eq \f(1,4)sin2B＋sin2B＝eq \f(3,4)，所以sin A＝±eq \f(\r(3),2).又A为锐角，所以A＝eq \f(π,3).
(2)由＝12可得cbcs A＝12.①
由(1)知A＝eq \f(π,3)，所以cb＝24.②
由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcs A，将a＝2eq \r(7)及①代入得c2＋b2＝52.③
③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.
因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.
又b＜c，所以b＝4，c＝6.
【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.
【变式训练2】在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2a－c)cs B＝
bcs C.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝eq \r(7)，a＋c＝4，求△ABC的面积.
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入(2a－c)cs B＝bcs C，
整理得2sin Acs B＝sin Bcs C＋sin Ccs B，
即2sin Acs B＝sin(B＋C)＝sin A，
在△ABC中，sin A＞0,2cs B＝1，
因为∠B是三角形的内角，所以B＝60°.
(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B
＝(a＋c)2－2ac－2accs B，
将b＝eq \r(7)，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.
故S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(3,2)sin 60°＝eq \f(3\r(3),4).
题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用
【例3】(2013陕西模拟)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq \r(3))海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq \r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间？
【解析】由题意知AB＝5(3＋eq \r(3))(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得eq \f(DB,sin∠DAB)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，
所以DB＝＝
＝＝eq \f(5\r(3)(\r(3)＋1),\f(\r(3)＋1,2))＝10eq \r(3)(海里).
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq \r(3)海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcs∠DBC＝300＋1 200－2×10eq \r(3)×20eq \r(3)×eq \f(1,2)＝900，
所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝eq \f(30,30)＝1(小时).
所以，救援船到达D点需要1小时.
【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：
(1)根据题意，抽象地构造出三角形；
(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；
(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；
(4)给出结论.
【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件 时，该船没有触礁危险.
【解析】由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得eq \f(BM,sin(90°－α))＝eq \f(m,sin(α－β))，解得BM＝eq \f(mcs α,sin(α－β))，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝eq \f(mcs αcs β,sin(α－β))＞n.所以α与β的关系满足mcs αcs β＞nsin(α－β)时，船没有触礁危险.
总结提高
1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A＞B与sin A＞sin B是一种等价关系.
2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.
3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.