高考数学一轮复习总教案：8.3　圆的方程

　8.3　圆的方程

典例精析

题型一　求圆的方程

【例1】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.

【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－，－)，

由已知得即

解得 D＝0，E＝－2，F＝－9，所求圆的方程为x2＋y2－2y－9＝0.

方法二：经过A(－1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，

AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.[来源:www.shulihua.net]

令x＝0，y＝1，圆心为(0,1)，r＝＝ ，

圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.[来源:www.shulihua.net]

【变式训练1】已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程.

【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①

将P、Q两点的坐标分别代入①得

令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④

由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的两根.

所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤

解②、③、⑤组成的方程组，得

D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4，

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.

题型二　与圆有关的最值问题

【例2】若实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3.求：

(1)的最大值和最小值；

(2)y－x的最小值；[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

(3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值.[来源:www.shulihua.net]

【解析】(1)＝，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设＝k，y＝kx，kx－y＝0.

由＝，得k＝±，所以的最大值为，的最小值为－.

(2)令x－2＝cos α，y＝sin α，α∈[0,2π).

所以y－x＝sin α－cos α－2＝sin(α－)－2，

当sin(α－)＝－1时，y－x的最小值为－－2.

(3)(x－4)2＋(y－3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)，

连接AB交圆于C，延长BA交圆于D.

|AB|＝＝，则|BC|＝－，|BD|＝＋，

所以(x－4)2＋(y－3)2的最大值为(＋)2，最小值为(－)2.

【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：①形如U＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.

【变式训练2】已知实数x，y满足x2＋y2＝3(y≥0).试求m＝及b＝2x＋y的取值范围.

【解析】如图，m可看作半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点与定点A(－3，－1)连线的斜率，b可以看作过半圆x2＋y2＝3(y≥0)上的点且斜率为－2的直线的纵截距.

由图易得≤m≤，－2≤b≤.

题型三　圆的方程的应用

【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆C的方程；

(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论.

【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，

由题意b≠0，且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.

(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.

所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.

(3)圆C必过定点，证明如下：

假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，

并变形为x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)

为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，

结合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝0，

解得或

经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点.

【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.[来源:www.shulihua.net]

【变式训练3】(2010安徽)动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)

A.[0,1]      B.[1,7]    C.[7,12]     D.[ 0,1]和[7,12]

【解析】选D.由题意知角速度为＝，故可得y＝sin(t＋),0≤t≤12，

≤t＋≤或π≤t＋≤π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.

所以单调递增区间为[0,1]和[7,12].

总结提高

1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程；条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.

2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.