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    高考数学一轮复习总教案:17.2 参数方程
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    高考数学一轮复习总教案:17.2 参数方程01
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    高考数学一轮复习总教案:17.2 参数方程

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    这是一份高考数学一轮复习总教案:17.2 参数方程,共3页。教案主要包含了变式训练1,变式训练2,变式训练3等内容,欢迎下载使用。

    典例精析
    题型一 参数方程与普通方程互化
    【例1】 把下列参数方程化成普通方程:
    (1) (θ为参数);
    (2) (t为参数,a,b>0).
    【解析】(1)
    所以5x2+4xy+17y2-81=0. [来源:数理化网]
    (2)由题意可得
    所以①2-②2得eq \f(4x2,a2)-eq \f(4y2,b2)=4,所以eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1,其中x>0.
    【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程,并指出曲线所表示的图形.
    (1) (2) (3) (4)
    【解析】(1)x2=2(y+eq \f(1,2)),-eq \r(2)≤x≤eq \r(2),图形为一段抛物线弧.
    (2)x=1,y≤-2或y≥2,图形为两条射线.
    (3)x2+y2-3y=0(y≠3),图形是一个圆,但是除去点(0,3).
    (4)eq \f((x-6)2,16)-eq \f((y+3)2,25)=1,图形是双曲线.
    题型二 根据直线的参数方程求弦长
    【例2】已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cs 2θ=1.
    (1)求曲线C的普通方程;
    (2)求直线l被曲线C截得的弦长.
    【解析】(1)由曲线C:ρ2cs 2θ=ρ2(cs2θ-sin2θ)=1,
    化成普通方程为x2-y2=1.①
    (2)方法一:把直线参数方程化为标准参数方程(t为参数).②
    把②代入①得(2+eq \f(t,2))2-(eq \f(\r(3),2)t)2=1,整理得t2-4t-6=0.
    设其两根为t1,t2,则t1+t2=4,t1t2=-6.
    从而弦长为|t1-t2|=eq \r((t1+t2)2-4t1t2)=eq \r(42-4(-6))=eq \r(40)=2eq \r(10).
    方法二:把直线的参数方程化为普通方程为y=eq \r(3)(x-2),
    代入x2-y2=1,得2x2-12x+13=0.
    设l与C交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=eq \f(13,2),
    所以|AB|=eq \r(1+3)·eq \r((x1+x2)2-4x1x2)=2eq \r(62-26)=2eq \r(10).
    【变式训练2】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ=eq \r(2)cs(θ+eq \f(π,4)),求直线l被曲线C所截的弦长.
    【解析】将方程(t为参数)化为普通方程为3x+4y+1=0.
    将方程ρ=eq \r(2)cs(θ+eq \f(π,4))化为普通方程为x2+y2-x+y=0.
    表示圆心为(eq \f(1,2),-eq \f(1,2)),半径为r=eq \f(\r(2),2)的圆,
    则圆心到直线的距离d=eq \f(1,10),弦长=2eq \r(r2-d2)=2eq \r(\f(1,2)-\f(1,100))=eq \f(7,5).
    题型三 参数方程综合运用
    【例3】已知曲线C1: (t为参数),C2: (θ为参数).[来源:数理化网]
    (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
    (2)若C1上的点P对应的参数为t=eq \f(π,2),Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.
    【解析】(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:eq \f(x2,64)+eq \f(y2,9)=1.
    C1是以(-4,3)为圆心,1为半径的圆;
    C2是以坐标原点为中心,焦点在x轴,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.
    (2)当t=eq \f(π,2)时,P(-4,4),Q(8cs θ,3sin θ),故M(-2+4cs θ,2+eq \f(3,2)sin θ).
    C3为直线x-2y-7=0,M到C3的距离d=eq \f(\r(5),5)|4cs θ-3sin θ-13|,
    从而cs θ=eq \f(4,5),sin θ=-eq \f(3,5)时,d取最小值eq \f(8\r(5),5).
    【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,得曲线C2的极坐标方程为ρ=
    2cs θ-4sin θ(ρ>0).
    (1)化曲线C1、C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
    (2)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m>0),经过点P作曲线C2的切线l,求切线l的方程.
    【解析】(1)曲线C1:eq \f(x2,16)+eq \f(y2,4)=1;曲线C2:(x-1)2+(y+2)2=5.
    曲线C1为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是4,短半轴长是2的椭圆;曲线C2为圆心为(1,-2),半径为eq \r(5)的圆.
    (2)曲线C1:eq \f(x2,16)+eq \f(y2,4)=1与x轴的交点坐标为(-4,0)和(4,0),因为m>0,所以点P的坐标为(4,0).显然切线l的斜率存在,设为k,则切线l的方程为y=k(x-4).
    由曲线C2为圆心为(1,-2),半径为eq \r(5)的圆得eq \f(|k+2-4k|,\r(k2+1))=eq \r(5),
    解得k=eq \f(3±\r(10),2),所以切线l的方程为y=eq \f(3±\r(10),2)(x-4).
    总结提高
    1.在参数方程与普通方程互化的过程中,要保持化简过程的同解变形,避免改变变量x,y的取值范围而造成错误.
    2.消除参数的常用方法有:①代入消参法;②三角消参法;③根据参数方程的特征,采用特殊的消参手段.
    3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用,要注意合理选参、巧妙消参.
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