2021年新高考数学小题训练（十三）

2021年新高考数学小题训练（十三）

一、 单项选择题：本题共8个小题，每个小题满分5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得零分。

1.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={x|2<x<14},则集合A∩B中元素的个数为(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

2.(2019江西九江一模,2)若a为实数,且(1+ai)(a-i)=2,则a=(　　)

 A.-1 B.0 C.1 D.2

3.(2019山西晋城三模,4)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=272,则a3+a9+a15=(　　)

A.64 B.48 C.36 D.24

4.(2019河南郑州模拟,7)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱二百一十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之,问乙出几何?”其意为:“今有甲带了560钱,乙带了350钱,丙带了210钱,三人一起出关,共需要交关税100钱,依照钱的多少按比例出钱”,则乙应出(所得结果四舍五入,保留整数)(　　)

A.50 B.32 C.31 D.19

5.(2019湖南湘潭期末)已知θ∈(0,π),且满足cos 2θ=cos θ,则tan θ=(　　)

A.- B.- C D

6.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A B C D

7.(2019湖南常德模拟,10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心,半实轴长为半径的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P,Q,若=3(其中O为原点),则双曲线C的离心率为(　　)

A B C D

8.设函数是奇函数的导函数，，当时，．已知，，，则(　　)

A．  B． 

C．  D．

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分。

9.(多选)若<0,则下列结论正确的是 (　　)

A  B|a|+b>0  C a - b -   Dln a2>ln b2

10. (多选)设函数f (x)的定义域为D,∀x∈D,∃y0∈D,使得f (y0)= - f (x)成立,则称f (x)为“美丽函数”.下列所给出的函数,其中是“美丽函数”的是(　　)

A. y=x2 B. y= C. y=ln(2x+3) D. y=2x+3

11.(多选)已知抛物线C:x2=3y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为4,则(　　)

 A.直线l的倾斜角为30°或150° 

B.|AF|-|BF|=4

C.或3 

D.S△AOB=

12.(多选)已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ADC沿对角线AC进行翻折,得到三棱锥D-ABC,则在翻折的过程中,下列结论正确的是(　　)

 A.三棱锥D-ABC的体积的最大值为

B.三棱锥D-ABC的外接球的体积不变

C.三棱锥D-ABC的体积最大时,二面角D-AC-B的大小是60°

D.异面直线AB与CD所成角的最大值为90°

三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知cos,则sin=.

14.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=　　　　　. 

15.(2019广东汕头二模)已知函数f(x)=g(x)=x2-x-2,设b为实数,若存在实数a,使得g(b)+f(a)=2成立,则b的取值范围为　　　　　. 

16.已知的一内角,,,为所在平面上一点,满足,设,则的值为　　　　　. 

参考答案与解析

一、 单项选择题：本题共8个小题，每个小题满分5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得零分。

1.答案C

解析当n=0,1,2,3,4时,x=3n+2分别为2,5,8,11,14,所以A∩B={5,8,11},故选C.

2.答案C

解析∵a为实数,且(1+ai)(a-i)=2a+(a2-1)i=2,∴2a=2且a2-1=0,解得a=1.故选C.

3.答案B

解析由等差数列性质可知,S17==17a9=272,解得a9=16,故a3+a9+a15=3a9=48.故选B.

4.答案C

解析根据分层抽样原理,抽样比例为,所以乙应交关税为35031(钱).故选C.

5.答案A

解析由cos 2θ=cos θ,得2cos2θ-cos θ-1=0,解得cos θ=1或cos θ=-

∵θ∈(0,π),∴cos θ=-,

则θ=,∴tan θ=-

故选A.

6.答案C

解析如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

不妨设BC=CA=CC1=1,可知点A(0,1,1),N0,,0,B(1,0,1),M,0=0,-,-1,=-,-1.

∴cos<>=根据的夹角及AN与BM所成角的关系可知,BM与AN所成角的余弦值为

7.答案D

解析设双曲线的一条渐近线方程为y=x,H为PQ的中点,可得FH⊥PQ,

由F(c,0)到渐近线的距离为FH=d==b,得PH=

又=3,

∴OH==2,

即7a2=4c2,∴e=,故选D.

8.答案A

解析设，∵，∴在上是增函数，

又因为函数是奇函数，，所以，，

所以当时，，所以，当时，，，

又，所以在上是增函数，

∴，

∵，∴，

故选：A．

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分。

9.答案AC

解析由<0,得b<a<0.因为a+b<0,ab>0,所以成立,故A正确.因为b<a<0,所以 - b> - a>0,则 - b>|a|,即|a|+b<0,所以B错误.因为b<a<0,且<0,所以 a - >b - ,故C正确.因为b<a<0,所以b2>a2,所以ln b2>ln a2成立,所以D错误.故正确的是AC.

10. 答案BCD

解析由题意知,“美丽函数”f (x)的值域关于原点对称.对于A,函数y=x2的值域为[0,+∞),不关于原点对称,不符合题意;对于B,函数y=的值域为( - ∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,符合题意;对于C,函数y=ln(2x+3)的值域为R,关于原点对称,符合题意;对于D,函数y=2x+3的值域为R,关于原点对称,符合题意.故选BCD.

11.答案AC

解析由题意知F(0,),直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得4x2- 12kx- 9=0,∴∴|AB|=|x1- x2|=3(1+k2)=4,∴k=±.设直线l的倾斜角为θ,则θ=30°或θ=150°.设=λ,则当θ=30°时,|AF|+|BF|=(λ+1)|BF|=4,|AF|- |BF|=(λ- 1)|BF|,又由抛物线的定义易知|AF|- |BF|=y1- y2=(x1- x2)=2,∴=2,∴=2,∴λ=3,即=3.由抛物线的对称性知,当θ=150°时,λ=,即.S△AOB=×|OF|×|x1- x2|=×2.故选AC.

12.答案BD　

解析对于A,三棱锥D-ABC的体积VD-ABC=S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距离),S△ABC=1,所以当h最大时,三棱锥D-ABC的体积取得最大值,又当平面ADC⊥平面ABC时,h最大,为,此时VD-ABC=,故A错误;对于B,设AC的中点为O,连接OB,OD,则OA=OB=OC=OD,所以O为三棱锥D-ABC的外接球的球心,则外接球的半径为AC=1,所以外接球的体积为π,翻折的过程中,三棱锥D-ABC的外接球的体积不变,故B正确;对于C,三棱锥D-ABC的体积最大时,平面ADC⊥平面ABC,所以此时二面角D-AC-B的大小是90°,故C错误;对于D,当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为,即BD=时,在△BCD中,BC2=BD2+CD2,所以CD⊥BD,又CD⊥AD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°,故D正确.故选BD.

三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.答案

解析sin=sin+α-=cos

14.答案32

解析设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,

即a4+a5+a6=14.①

∵S3=,∴a1+a2+a3=

由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3==8,即q=2.

∴a1+2a1+4a1=,a1=,

∴a8=a1·q7=27=32.

15.答案[1,2]

解析因为f(x)=

所以当x≥0时,f(x)=2x+1单调递增,故f(x)=2x+1≥2;

当x<0时,f(x)=-=-x+2,当且仅当-x=-,即x=-1时取等号.

综上可得,f(x)∈[2,+∞).又因为存在实数a,使得g(b)+f(a)=2成立,

所以只需g(b)≤2-f(a)min,即g(b)=b2-b-2≤0,

解得-1≤b≤2.

16.答案

解析因为可知O为三角形ABC的外心

所以

而，且

即

化简得，解得.

所以.