2021年新高考数学小题训练（二）

2021年新高考数学小题训练（二）

一、 单项选择题：本题共8个小题，每个小题满分5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得零分。

1.(2019山西吕梁一模,2)已知复数z=,则||=(　　)

A B C.2 D.5

2.(2019河北沧州模拟,4)已知直线a,b和平面α,a⊂α,则b⊄α是b与a异面的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.(2019湖北钟祥一模,6)某班有50名学生,一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102),已知P(95≤ξ≤105)=0.32,估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为(　　)

A.10 B.9 C.8 D.7

4.若<0,则下列不等式成立的是(　　)

A B.|a|+b>0

C.a->b- D.ln a2>ln b2

5.(2019河北衡水同卷联考,6)函数f(x)=的图象大致为(　　) 

6.(2019广东珠海一中等六校联考)已知数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+a1+n,则+…+等于(　　)

A B C D

7.(2019四川成都一诊,6)如果{an}不是等差数列,但若∃k∈N*,使得ak+ak+2=2ak+1,那么称{an}为“局部等差”数列.已知数列{xn}的项数为4,记事件A:集合{x1,x2,x3,x4}⊆{1,2,3,4,5},事件B:{xn}为“局部等差”数列,则条件概率P(B|A)=(　　)

A B C D

8.已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是(　　)

A B.(-∞,)

C D

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分。

9. (多选) (2019河北五个一名校联盟一诊)若p>1,0<m<n<1,则下列不等式正确的是(　　)

A1 B

C.m-p<n-p D.logmp>lognp

10.(多选)(2019山东烟台期末)对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是              (　　)

A.f(x)=x3 B.f(x)=3-

C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln x+2

11.(多选)(2019山东济南检测)已知函数f(x)=cos2x++1,对于任意的a∈[0,1),方程f(x)-a=1(0≤x≤m)仅有一个实数根,则m的一个取值可以为(　　)

A B C D

12.(多选)(2019山东济南期末)已知函数f(x)=2sin2x-+1,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)的图象关于点对称

B.函数f(x)图象的一条对称轴是x=-

C.若x,则函数f(x)的最小值为+1

D.若0<x1<x2<π,则f(x1)<f(x2)

三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中15题第一个空3分，第二个空2分。

13.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为　　　　　　　　　　　.(用数字作答) 

14.(2019江苏无锡一模)已知函数f(x)=sin x+cos x-a在区间[0,2π]上恰有三个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3=　　　　　. 

15.(2019北京顺义区模拟,9)已知F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,P是C上的任意一点,则|PF1|·|PF2|的最大值为　　　　　.若A(0,4),则|AP|-|PF2|的最小值为　　　　　. 

16.(2019北京师大附中模拟三,14)已知定义在R上的函数f(x)=ex+1-ex+x2+2m(x-1)(m>0),当x1+x2=1时,不等式f(x1)≥f(x2)恒成立,则实数x1的取值范围为　　　　　. 

参考答案与解析

一、 单项选择题：本题共8个小题，每个小题满分5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得零分。

1.答案A

解析z=,

所以||=,故选A.

2.答案B

解析由题意,若直线b不在平面α内,则b与α相交或b∥α,不一定有b与a异面,

反之,若b与a异面,一定有直线b不在平面α内,即b⊄α是b与a异面的必要不充分条件.

3.答案B

解析∵考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102),∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称.

∵P(95≤ξ≤105)=0.32,

∴P(ξ≥115)=(1-0.64)=0.18,

∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9,故选B.

4.答案C

解析由<0,可知b<a<0.

A中,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0.

故有,即A错误;

B中,因为b<a<0,所以-b>-a>0.

故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误;

C中,因为b<a<0,又<0,

则->->0,所以a->b-,故C正确;

D中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上为增函数,

所以ln b2>ln a2,故D错误.

由以上分析,故选C.

5.答案A

解析由f(x)=(ex+e-x)为奇函数,可排除C和D;当x>0时,f(x)>0可排除B,故选A.

6.答案D

解析由题意可得an+1-an=n+1,则a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,

以上各式相加可得an=,则=2+…+=2×+…+=

7.答案C

解析由题意知,事件A共有=120个基本事件,事件B:“局部等差”数列共有以下24个基本事件,(1)其中含1,2,3的局部等差的分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个,含3,2,1的局部等差数列的同理也有3个,共6个.

含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同,也有6个.含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2个,含4,3,2的同理也有2个.含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4个,含5,3,1的也有上述4个,共24个,

所以P(B|A)=故选C.

8.答案B

解析由已知得与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象的解析式为h(x)=x2+e-x-(x>0).

令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-,作函数M(x)=e-x-(x>0)的图象,显然当a≤0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象有交点,则ln a<,则0<a<综上a<故选B.

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分。

9.答案AD

解析由0<m<n<1可得0<<1,

又p>1,所以0<<1,故A正确;

由题意等价于n(p-m)<m(p-n),事实上由0<m<n<1,得p-m>p-n>0,又n>m,所以n(p-m)>m(p-n),故B错误;

由于函数y=x-p在(0,+∞)上为减函数,且0<m<n<1,所以m-p>n-p,故C错误;结合对数函数的图象可得当p>1,0<m<n<1时,logmp>lognp,故D正确,故选AD.

10.答案ABD

解析由题意,函数在“和谐区间”上单调递增,且满足f(x)=x至少有两个解,

对于A选项,函数f(x)=x3在定义域R上单调递增,且x3=x有解-1,0,1,满足条件,故A正确;

对于B选项,函数f(x)=3-在(0,+∞)上单调递增,且3-=x有解1,2,满足条件,故B正确;

对于C选项,函数f(x)=ex-1在定义域上单调递增,但ex-1=x只有一个解0,不满足条件,故C错误;

对于D选项,函数f(x)=ln x+2在(0,+∞)上单调递增,显然函数f(x)=ln x+2与函数y=x在(0,+∞)上有两个交点,即ln x+2=x有两个解,满足条件,故D正确.故选ABD.

11.答案AB

解析函数f(x)=cos+1,对于任意的a∈[0,1),方程f(x)-a=1(0≤x≤m)仅有一个实数根,

等价于函数y=f(x)-1与函数y=a的图象的交点个数为1,

由函数y=f(x)-1的最小正周期为π,与x轴的交点为,0,k∈Z,可知当a∈[0,1)时,m<,m的一个取值可以为故选AB.

12.答案BC

解析对于函数f(x)=2sin+1,

当x=时,f(x)=+1,故选项A不正确;

当x=-时,f(x)=-1为最小值,

故函数f(x)图象的一条对称轴是x=-,选项B正确;

当x∈时,2x-,故当2x-时,f(x)取得最小值+1,选项C正确;

若0<x1<x2<π,则-<2x1-<2x2-,不能推出f(x1)<f(x2),故D不正确.

故选BC.

三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中15题第一个空3分，第二个空2分。

13.答案5 040

解析分两类,一类是甲、乙都参加,另一类是从甲、乙中选一人,方法数为N==1 440+3 600=5 040.

14.答案

解析sin x+cos x=2sin=a,

方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在[0,2π]上,当a=时,直线与三角函数图象恰有三个交点,

令sin,x+=2kπ+,即x=2kπ,k∈Z或x+=2kπ+,即x=2kπ+,k∈Z,

∴此时x1=0,x2=,x3=2π,

∴x1+x2+x3=0++2π=

15.答案9　4

解析由=1,可得a=3,c=2,

由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6,

则|PF2|=6-|PF1|,

于是|PF1||PF2|=|PF1|(6-|PF1|)=6|PF1|-

∵a-c≤|PF1|≤a+c,

即1≤|PF1|≤5.

∴当|PF1|=3时,|PF1||PF2|取最大值,最大值为18-9=9.

|AP|-|PF2|=|AP|-(2a-|PF1|)=|AP|+|PF1|-6.

又|AP|+|PF1|≥|AF1|(当且仅当P在线段AF1上时取等号),

∴(|AP|-|PF2|)min=|AF1|-6=-6=4.

16.答案

解析∵不等式f(x1)≥f(x2)恒成立,且x1+x2=1,

∴不等式f(x1)-f(1-x1)≥0恒成立,

设g(x)=f(x)-f(1-x),

∵f(x)=ex+1-ex+x2+2m(x-1)(m>0),

∴g(x)=(e-1)(ex-e1-x)+(4m+2)x-2m-1.

g'(x)=(e-1)(ex+e1-x)+4m+2>0,

∴g(x)在R上为增函数,

∵g=0,∴要使g(x)≥0,则x

故实数x1的取值范围为