专题02 函数基本性质-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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一、函数的概念
1. 映射
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)，于是
y=f(x)
x称为y的原象，映射f也可记为：
f:A→B
x→f(x)
其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域．通常记作f(A)．
将上述定义中集合A、B限制为非空数集，便可以得到函数的概念，如下：
2. 函数
设集合A是一个非空数集，对A中的任意的数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y=f(x)，x∈A
其中x叫做自变量．自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域．
如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)
所有函数值构成的集合{yy=f(x) ， x∈A}叫做这个函数的值域．
3. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则
4. 函数的表示法
(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
二、函数的定义域
1. 基本函数的定义域
(1)分式的分母不应为零；
(2)零次或负次指数次幂的底数不为零；
(3)偶次方根的被开方数大于或者等于零；
(4)对数式的真数大于零；
(5)底数大于0且不等于1；
(6)f(x)=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2 ， k∈Z}；
(7)应用题中要结合实际情况考察定义域．
2. 抽象函数的定义域
抽象函数的定义域：在同一对应法则f下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集．
三、函数的解析式
1. 换元法求解析式
2. 解方程组法求解析式
3. 待定系数法求解析式
四、函数的值域
1. 利用函数单调性
2. 模型函数的应用
(1)二次型
(2)x+kxk＞0（对勾函数）模型
fx=x+kxk＞0的性质和图像：
①定义域：xx≠0
②值域：
③单调性：在上单调递增；在上单调递减
④奇偶性：奇函数
⑤图像：
(3)x−kxk＞0模型：
fx=x−kxk＞0的性质和图像：
①定义域：xx≠0
②值域：R
③单调性：在−∞,0和0，+∞上分别单调递增
④奇偶性：奇函数
⑤图像：
3. 分离常数
4. 换元（代数换元和三角换元）
5. 基本不等式
6. 几何法
典例精讲
【典例1】已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x+1，若对于任意实数x，不等式f（x2+a）+f（2ax）＞2恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1]B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（0，2）
【典例2】若函数的值域为，则的取值范围是
A．，B．C．，D．
【典例3】设f（x）＝ln（(x+1)2+1+x+1）﹣2，若f（a）＝1，f（b）＝﹣5，则a+b＝（ ）
A．2B．0C．1D．﹣2
【典例4】已知集合A＝N*，B＝{a|a＝2n﹣1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a与B中元素2a﹣1对应，则与B中元素17对应的A中元素是（ ）
A．3B．5C．17D．9
【典例5】函数f（x）＝（x2﹣4x+3）sin（x﹣2）+3x在区间[﹣1，5]的最大值和最小值分别为a，b，则a+b＝（ ）
A．0B．﹣12C．6D．12
【典例6】已知函数f（x）＝lg2x+1的定义域为[1，2]，g（x）＝f2（x）+f（x2）+m，若存在实数a，b，c∈{y|y＝g（x）}，使得a+b＜c，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜−74B．m＜2C．m＜3D．m＜14
【典例7】若函数f（x）=1ex−x+m的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
【典例8】设函数f（x）＝2−2x+4和函数g（x）＝ax+a﹣1，若对任意x1∈[0，+∞）都有x2∈（﹣∞，1]使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围为 ．
考点2：函数的性质
一、函数的单调性
1. 定义：设函数y=f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值，x1，x2，改变量△x=x2−x1>0，则当△y=y2−y1>0时，就称函数y=f(x)在区间M上是增函数．则当△y=y2−y10时候与g(x)的单调性相同，当a0，则f(x)和1f(x)数的单调性是相反的，如果f(x)是单调函数且f(x)0），若f(x)为奇函数，则其周期为T=4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T=2a．
(2)函数y=f(x) x∈R的图象关于直线x=a和x=ba