数学沪科版第24章 圆24.5 三角形的内切圆精品课后作业题

24.5三角形的内切角课时训练

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，△ABC中，内切圆I和边BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若，则∠EDF的度数是（    ）

A． B． C． D．

2．中，斜边，其重心与外心之间的距离为（      ）

A．2 B．3 C．4 D．6

3．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（   ）

A．120° B．110° C．115° D．130°

4．在中，，则这个三角形的外接圆和内切圆半径分别是（    ）

A． B． C． D．

5．已知四边形ABCD，下列命题：①若，则四边形ABCD一定存在外接圆；②若四边形ABCD内存在一点到四个顶点的距离相等，则；③若四边形ABCD内存在一点到四条边的距离相等，则，其中，真命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．如图，在△ABC中，AB=3，AC=2.25，点D是BC边上的一点，AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么=（   ）

A．2 B．1.25 C．1.5 D．

7．下列结论中：①的内切圆半径为，的周长为，则的面积是；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为；③圆内接平行四边形是矩形；④无论取何值，方程总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

8．如图，在中，点是的内心，连接，，过点作分别交、于点、，若，则的长度为（   ）

A．4 B．5 C．8 D．16

9．在中，，，，内切圆与外接圆面积之比为（　　　）

A． B． C． D．

10．Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是△ABC的外心，CO=5，BC=6，则△ABC内切圆半径为（     ）

A．3 B．2 C．1 D．4

二、填空题

11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，点是的内心，将绕原点顺时针旋转后，的对应点的坐标是_________．

12．如图，是的内切圆，切点分别为、、，，点为上任意一点（不与、重合），则=______．

13．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R—r =______．

14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝__________°，∠DEF＝__________°．

15．如图，的周长为，，是的内切圆，的切线与、分别交于点、，则的周长为___．

16．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．

三、解答题

17．已知一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为．

（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．

（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？

（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．

18．如图，已知，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A，B两点），以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C．求证：∠ACB为定值．

19．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．

（1）求证：∠BAD＝∠CBD；

（2）连接DC，求证：DI＝DB＝DC．

20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE．

（1）求证：DB＝DE；

（2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积．

参考答案

1．D

2．A

3．B

4．C

5．D

6．C

7．B

8．C

9．C

10．B

11．

12．50°或130°

13．1.5

14．110    70   

15．8

16．10cm

17．（1）15cm；（2）；（3）．

【详解】

（1）设这块三角形钢板为，且腰为AC=BC=50cm，底为AB=60cm，如图，过C作CE⊥AB于E．根据题意可知该三角形内切圆即为这块钢板上截得的最大圆．

∵AC=BC=50cm，AB=60cm，

∴根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得：AE=30cm，CE=40 cm．

∵⊙O是的内切圆，

∴．

∴，即．

设⊙O的半径为r．

∴，

解得：．

故由这块钢板上截得的最大圆的半径为．

（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆即是这个三角形的外接圆．设覆盖圆的半径为R，圆心为O′．如图，连接AO′．

根据（1）可知AE=30cm，CE=40cm．

∵EO′=CE-CO′=40-R

∴在中，，即．

解得：．

故这个圆的最小半径为．

（3）如图，即为内心与外心的距离．

∵，其中OE为内切圆的半径，EO′= 40-R=．

∴．

故这个等腰三角形的内心与外心的距离为．

18．见解析．

【详解】

证明：连接AM，BM，

由题意得：M是内心，

∴AM平分∠CAB，BM平分∠ABC，

∴∠CAM＝∠BAM，∠CBM＝∠ABM，

∴∠AMB＝180°﹣∠BAM﹣∠ABM，

∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣∠AMB，

△ABC中，∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ACB）＝180°﹣2∠BAM﹣2∠ABM＝180°﹣2（180°﹣∠AMB）＝2∠AMB﹣180°，

∵所在圆是个定圆，弦AB和半径都是定值，

∴∠AMB为定值，

∴∠ACB为定值2∠AMB﹣180°．

19．（1）见解析；（2）见解析

【详解】

（1）∵点I是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠CBD＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠CBD；

（2）如图，连接IB，

∵点I是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，

∵∠CBD＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠CBD；

∵∠BID＝∠ABI+∠BAD，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，

∴∠BID＝∠IBD，

∴ID＝BD，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴CD＝BD，

∴DB＝DC＝DI．

20．（1）见解析；（2）S阴

【详解】

（1）证明：∵E是△ABC的内心．

∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，

∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，

∴∠DBE＝∠DEB，

∴DB＝DE．

（2）解：连接CD、OD．

∵∠BAD＝∠DAC，

∴，

∴BD＝CD，

∵BC是直径，

∴∠BDC＝90°，

∴∠DBC＝∠DCB＝45°，

∵DE，

由（1）证得DB＝DE

∴DB＝DE=CD=，

∴BC=6，OB=OC=OD=3，

∴△BCD为等腰直角三角形，O为BC的中点，

∴DO⊥BC，即∠DOC=90°，

∵FC是切线，

∴∠BCF＝90°，

∴∠CFD＝90°-45°=45°，∠DCF＝90°-45°=45°，

∴△CDF的等腰直角三角形，

∴DF＝CD＝BD＝3，

∴S阴＝S△CDF﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）33（3×3）．