初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理精品同步训练题

人教版八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》课时练习

一．选择题

1．下列四组数中，是勾股数的是（　　）

A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，

2．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）

A．∠A+∠B＝∠C B．a：b：c＝1：1：2 

C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a＝1，b＝，c＝2

3．三角形的三边长a、b、c满足a2﹣c2＝b2，则此三角形是（　　）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

4．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝4m，则树高为（　　）

A．2m B．2m C．（2+2）m D．4m

5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米

6．如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　）

A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤15

二．填空题

7．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为　   　．

8．在△ABC中，若AC2+AB2＝BC2，则∠B+∠C＝　   　．

9．在△ABC中，若a2+b2＝25，a2b2＝7，c＝5，则最长边上的高为　   　．

10．你看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC＝　   　cm．

11．探索勾股数的规律：

观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4＝，12＝，24＝…请写出第5个数组：　   　．

12．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是　   　．

三．解答题

13．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b＝4，ab＝1，c＝，试判定△ABC的形状．

14．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，求这块空地的面积？

2

15．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？

16．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识

（1）判断△ABC是什么形状？并说明理由．

（2）求AC边上的高．

17．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．

（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．

（2）C岛在A港的什么方向？

参考答案

一．选择题

1．解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，此选项符合题意；

B、42+52≠62，不是勾股数，此选项不合题意；

C、22+32≠42，不是勾股数，此选项不合题意；

D、，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；

选：A．

2．解：A．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；

B．∵a：b：c＝1：1：2，

∴a+b＝c，不符合三角形三边关系定理，

∴不能组成三角形，本选项符合题意；

C．∵（b+c）（b﹣c）＝a2，

∴b2﹣c2＝a2，

∴a2+c2＝b2，

∴∠B＝90°，

∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；

D．∵a＝1，b＝，c＝2，

∴a2+b2＝c2，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；

选：B．

3．解：因为三角形的三边长a、b、c满足a2﹣c2＝b2，

即a2＝c2+b2，

所以此三角形是直角三角形，

选：C．

4．解：据题意，AC＝2m，∠CAB＝90°

由勾股定理得BC＝＝2m，

∴AC+BC＝（2+2）m．

选：C．

5．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，

∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．

在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，

∴BD2+22＝6.25，

∴BD2＝2.25，

∵BD＞0，

∴BD＝1.5米，

∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．

选：C．

6．解：如图，

当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，

此时a就是圆柱形的高，

即a＝12；

当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，

即线段AB的长，

在Rt△ABO中，AB＝＝＝13，

∴此时a＝13，

所以12≤a≤13．

选：C．

二．填空题

7．解：①0.62+0.82＝12，不是整数，不是勾股数；

②52+122＝132，是勾股数；

③82+152＝172，是勾股数；

④42+52≠62，不是勾股数；

其中是勾股数的组为2．

答案为：2．

8．解：∵AC2+AB2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠A＝90°，

∴∠B+∠C＝180°﹣90°＝90°，

答案为：90°．

9．解：∵a2+b2＝25，c＝5，

∴a2+b2＝c2，

∴△ABC是直角三角形，

∵a2b2＝7，

∴ab＝，

∴S△ACB＝＝，

设最长边上的高为x，

则•x×5＝，

解得：x＝，

答案为：．

10．解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，

∴BC＝AC，

设BC＝x，则OC＝OA﹣AC＝45﹣x，

在Rt△BOC中，根据勾股定理可得：

（45﹣x）2+152＝x2，

解得x＝25．

即机器人行走的路程为25cm．

答案为：25．

11．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；

②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；

③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；

④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；

⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，

答案为：11，60，61．

12．解：

延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，

∵AP＝PC＝＝，

同理BC＝，

∵BP＝＝，

∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，

∴△PCB是等腰直角三角形，

∴∠CPB＝∠CBP＝45°，

∴∠PAB+∠PBA＝∠CPB＝45°，

答案为：45°．

三．解答题

13．解：∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2×1＝14，c2＝14，

∴a2+b2＝c2，

∴△ABC是直角三角形．

14．解：如图，连接AC．

在△ACD中，∵AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，

∴AC＝5米，

又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24（平方米）．

15．解：已知如图：设AC＝x，则BC＝（70﹣x）cm，

由勾股定理得：502＝x2+（70﹣x）2，

解得：x＝40或30，

若AC为斜边，

则502+（70﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

若BC为斜边，

则502+x2＝（70﹣x）2，

解得：x＝．

这个点将绳子分成的两段各有30cm或40cm或cm或cm．

16．解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：

由题意可得，AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴∠B＝90°，△ABC是直角三角形；

（2）设AC边上的高为h．

∵S△ABC＝AC•h＝AB•BC，

∴h＝＝＝．

17．解：（1）由题意AD＝60km，

Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．

∴BD＝80（km）．

∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．

∴AC＝＝75（km）．

75÷25＝3（小时）．

答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．

（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，

∴AB2+AC2＝BC2．

∴∠BAC＝90°．

∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．

∴C岛在A港的北偏西42°．