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    数学17.1 勾股定理精品练习

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    这是一份数学17.1 勾股定理精品练习,共14页。

    17.1勾股定理 同步习题

    一.选择题

    1.在RtABC中,C90°a1c2,则b的长是(  )

    A B2 C1 D

    2.如图,在RtABC中,ACB90°AC8cmBC15cm,其斜边上的高为(  )

    A17cm B8.5cm Ccm Dcm

    3.如图所示,在ABC中,ABAC5ADBC于点DAD4,则ABC的面积为(  )

    A6 B12 C24 D36

    4.如图,在等腰ABC中,ABAC5BC6,腰上的高BE4.8,则底边上的中线AD的长为(  )

    A3.6 B4 C4.2 D4.5

    5.如图,ABC中,ACB90°,分别以三边为底向形外作等腰直角三角形,它们的面积依次为S1S2S3,则下列关系式正确的是(  )

    AS1S2+S3 BS1S2+S3 

    CS1S2+S3 DS12S22+S32

    6.如图,甲、乙、丙三个直角三角形中,斜边最长的是(  )

    A.甲 B.乙 C.丙 D.一样长

    7.如图,每个小正方形的边长为1,四边形的顶点ABCD都在格点上,则下面4条线段长度为的是(  )

    AAB BBC CCD DAD

    8.如图,这是一株美丽的勾股树,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形ABCD的边长是3523,则最大正方形E的边长是(  )

    A13 B C47 D

    9.如图,在四边形ABCD中,AC90°DFBCABC的平分线BEDF于点GGHDF,点E恰好为DH的中点,若AE3CD2,则GH=(  )

    A1 B2 C3 D4

    10.如图,在四边形ABCD中,DABB60°ADCDAC平分DABEAB边中点,连接DEACF,若CD1,则AF=(  )

    A B C D

    二.填空题

    11.如图,在RtABC中,C90°,点DBC上,且ACDCAB,若AD,则BD     

    12.等腰ABC中,ABAC4BAC30°,以AC为边作等边ACD,则点BCD的距离为     

    13.为了比较的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中C90°BC3DBC上且BDAC1,通过计算可得     .(填).

    14.如图,ABC中,ACB90°AC6BC8P为直线AB上一动点,连PC

    1)线段PC的最小值是     

    2)当PC5时,AP长是     

    15.如图,在RtABC中,ACB90°AB3BC2ABC的平分线BDAC于点E,若BCCD,则ABE的面积为     

    三.解答题

    16.已知RtABC的边长为abc,其中c为斜边,且ab满足+0,求c的值.

    17.如图,四边形ABCD中,ABAD,已知AD6cmAB8cmCD24cmBC26cm,求四边形ABCD的面积.

    18.图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.

    1)在RtABC中,ACmBCnACB90°,若图中大正方形的面积为61,小正方形的面积为1,求(m+n2

    2)若将图中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到图所示的数学风车,求这个风车的外围周长(图中实线部分).


    参考答案

    一.选择题

    1.解:在RtABC中,C90°a1c2

    b

    故选:D

    2.解:在 RtABC中,ACB90°AC8cmBC15cm,由勾股定理得到:AB17cm

    ACBCCDAB得到:CDcm),

    故选:D

    3.解:如图所示,在ABC中,ABAC5ADBC于点D

    BDCDBC2BD

    在直角ABD中,AB5AD4,则由勾股定理得到:BD3

    BC2BD6

    ∴△ABC的面积为:BCAD12

    故选:B

    4.解:方法1:如图,在等腰ABC中,ABAC5BC6AD是底边上的中线,

    ADBC,且BDCD3

    在直角ABD中,由勾股定理得到:AD4

    方法2:依题意有:BCADACBE

    ×6AD×5×4.8

    解得AD4

    故选:B

    5.解:如右图所示,

    ABC中,ACB90°,分别以三边为底向形外作等腰直角三角形,

    S1

    同理可得,S2S3

    ∵∠ACB90°

    a2+b2c2

    S1S2+S3

    故选:C

    6.解:由勾股定理可知甲、乙、丙三个直角三角形中,斜边的平方分别为:

    甲:(2018+20192+20202

    乙:(2018+20202+20192

    丙:(2019+20202+20182

    2018+20192+20202[2018+20202+20192]

    40372+202024038220192

    =(4037240382+2020220192

    =(4037+4038)(40374038+2020+2019)(20202019

    8075+4039

    40360

    甲的斜边的小于乙的斜边;

    2018+20202+20192[2019+20202+20182]

    40382+201924039220182

    =(4038240392+2019220182

    =(4038+4039)(40384039+2019+2018)(20192018

    8077+4037

    4040

    0

    乙的斜边的小于丙的斜边,

    斜边最长的是丙.

    故选:C

    7.解:ABBC3CDAD

    故长度为的线段是AB

    故选:A

    8.解:设中间两个正方形的边长分别为xy,最大正方形E的边长为z,由勾股定理得:

    x232+5234

    y222+3213

    z2x2+y247

    即最大正方形E的面积为:z247,边长为z

    故选:B

    9.解:过EEMBC,交FD于点N

    DFBC

    ENDF

    ENHG

    ∴∠DENDHGENDHGD

    ∴△END∽△HGD

    EHD中点,

    ,即HG2EN

    ∴∠DNMNMCC90°

    四边形NMCD为矩形,

    MNDC2

    BE平分ABCEAABEMBC

    EMAE3

    ENEMMN321

    HG2EN2

    故选:B

    10.解:∵∠DAB60°AC平分DAB

    ∴∠CABDAB30°

    ∵∠B60°

    ∴∠CAB+B90°

    ∴∠ACB90°

    CD1

    AC2AD

    ∵∠DACCABADCACB90°

    ∴△ADC∽△ACB

    AB

    连接CE

    EAB边中点,

    CEABAE

    ∴∠EACECA

    ∵∠DACCAB

    ∴∠DACECA

    CEAD

    ∴△AFD∽△CFE

    AF

    故选:A

    二.填空题

    11.解:ADC90°ACDC

    ACCD1

    ACDCAB

    AB2

    BC

    BD1

    故答案为:1

    12.解:当点DAC的左侧时,设ABCD交于点E

    ∵△ACD是等边三角形,

    ACADCD4DAC60°

    ∵∠BAC30°

    ∴∠DAEBAC30°

    ABCD

    ∵∠BAC30°

    CEAC2AEEC2

    BEABAE42

    当点DAC的右侧时,过点BBECD,交DC的延长线于点E,连接BD

    ∵△ACD是等边三角形,

    ACADCDAB4DAC60°

    ∴∠BAD90°

    BD4

    ABACBAC30°

    ∴∠ACB75°

    ∴∠BCE180°﹣∠ACD﹣∠ACB45°

    BECE

    ∴∠BCECBE45°

    BECE

    BD2BE2+DE2

    32BE2+CE+42

    BE22

    综上所述:点BCD的距离为2242

    13.解:∵∠C90°BC3BDAC1

    CD2ADAB

    BD+AD+1

    ∵△ABD中,AD+BDAB

    +1

    故答案为:<.

    14.解:(1)在RtABC中,ACB90°AC6BC8

    AB10

    由垂线段最短得:当PCAB时,PC的值最小,

    此时,ABC的面积=ABPCACBC

    ABPCACBC

    PC4.8

    故答案为:4.8

    2)过CCQBCQ,如图所示:

    同(1)得:CQ4.8

    由勾股定理得:AQ3.6PQ1.4

    P在线段BQ上时,APAQ+PQ3.6+1.45

    P在线段AQ上时,APAQPQ3.61.42.2

    综上所述,AP的长为52.2

    故答案为:52.2

    15.解:在RtABC中,ACB90°AB3BC2

    AC

    ∴△ABC的面积为:BC×AC×2×

    BD平分ABC

    ∴∠ABECBE

    BCCD

    CD2CBECDE

    ∴∠ABECDE

    ABCD

    ∴△ABE∽△CDE

    AECEABCD32

    ∴△ABE的面积为:×

    故答案为:

    三.解答题

    16.解:+0

    0,且0

    a3b4

    由勾股定理得,c5

    所以c的值是5

    17.解:ABAD

    ∴∠A90°

    ∴△ABD为直角三角形,

    BD2AB2+BD282+62102

    BD10

    BCD中,

    DC2+BD2BC2

    ∴△BCD为直角三角形,且BDC90°

    S四边形ABCDSBCDSABD×10×24×6×896cm2).

    18.解:(1)由题意(nm21m2+n261

    2mn60

    m+n2m2+n2+2mn61+60121

     

    2)由(1)可知

    AC5BC6

    ∵∠ACB90°AC5CD12

    AD13

    这个风车的外围周长=413+6)=76

     

     

     

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