数学17.1 勾股定理精品练习

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17.1勾股定理 同步习题一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，则b的长是（　　）A． B．2 C．1 D．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，其斜边上的高为（　　）A．17cm B．8.5cm C．cm D．cm3．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC于点D，AD＝4，则△ABC的面积为（　　）A．6 B．12 C．24 D．364．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，腰上的高BE＝4.8，则底边上的中线AD的长为（　　）A．3.6 B．4 C．4.2 D．4.55．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以三边为底向形外作等腰直角三角形，它们的面积依次为S1、S2、S3，则下列关系式正确的是（　　）A．S1＞S2+S3 B．S1＜S2+S3 C．S1＝S2+S3 D．S12＝S22+S326．如图，甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边最长的是（　　）A．甲 B．乙 C．丙 D．一样长7．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（　　）A．AB B．BC C．CD D．AD8．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（　　）A．13 B． C．47 D．9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边中点，连接DE交AC于F，若CD＝1，则AF＝（　　）A． B． C． D．二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，且AC＝DC＝AB，若AD＝，则BD＝　   　．12．等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC为边作等边△ACD，则点B到CD的距离为　   　．13．为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1，通过计算可得　   　．（填“＞”或“＜”或“＝”）．14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC．（1）线段PC的最小值是　   　．（2）当PC＝5时，AP长是　   　．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝2，∠ABC的平分线BD交AC于点E，若BC＝CD，则△ABE的面积为　   　．三．解答题16．已知Rt△ABC的边长为a、b、c，其中c为斜边，且a、b满足+＝0，求c的值．17．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝24cm，BC＝26cm，求四边形ABCD的面积．18．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，∴b＝＝＝．故选：D．2．解：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，由勾股定理得到：AB＝＝17cm；由AC•BC＝CD•AB得到：CD＝＝＝（cm），故选：D．3．解：∵如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC于点D，∴BD＝CD，BC＝2BD．在直角△ABD中，AB＝5，AD＝4，则由勾股定理得到：BD＝＝＝3．∴BC＝2BD＝6．∴△ABC的面积为：BC•AD＝＝12．故选：B．4．解：方法1：如图，∵在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是底边上的中线，∴AD⊥BC，且BD＝CD＝3，在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD＝＝＝4．方法2：依题意有：BC•AD＝AC•BE，即×6AD＝×5×4.8，解得AD＝4．故选：B．5．解：如右图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以三边为底向形外作等腰直角三角形，∴S1＝＝，同理可得，S2＝，S3＝，∵∠ACB＝90°，∴a2+b2＝c2，∴S1＝S2+S3，故选：C．6．解：由勾股定理可知甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边的平方分别为：甲：（2018+2019）2+20202；乙：（2018+2020）2+20192；丙：（2019+2020）2+20182．∵（2018+2019）2+20202﹣[（2018+2020）2+20192]＝40372+20202﹣40382﹣20192＝（40372﹣40382）+（20202﹣20192）＝（4037+4038）（4037﹣4038）+（2020+2019）（2020﹣2019）＝﹣8075+4039＝﹣4036＜0，∴甲的斜边的小于乙的斜边；∵（2018+2020）2+20192﹣[（2019+2020）2+20182]＝40382+20192﹣40392﹣20182＝（40382﹣40392）+（20192﹣20182）＝（4038+4039）（4038﹣4039）+（2019+2018）（2019﹣2018）＝﹣8077+4037＝﹣4040＜0，∴乙的斜边的小于丙的斜边，∴斜边最长的是丙．故选：C．7．解：AB＝＝，BC＝3，CD＝＝，AD＝＝，故长度为的线段是AB，故选：A．8．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：x2＝32+52＝34；y2＝22+32＝13；z2＝x2+y2＝47；即最大正方形E的面积为：z2＝47，边长为z＝．故选：B．9．解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，∵DF∥BC，∴EN⊥DF，∴EN∥HG，∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，∴△END∽△HGD，∴＝，∵E为HD中点，∴＝，∴＝，即HG＝2EN，∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，∴四边形NMCD为矩形，∴MN＝DC＝2，∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，∴EM＝AE＝3，∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，则HG＝2EN＝2．故选：B．10．解：∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠CAB＝DAB＝30°，∵∠B＝60°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠ACB＝90°，∵CD＝1，∴AC＝2，AD＝，∵∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AB＝＝，连接CE，∵E为AB边中点，∴CE＝AB＝AE＝，∴∠EAC＝∠ECA；∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；∴△AFD∽△CFE，∴＝，∴＝，∴AF＝，故选：A．二．填空题11．解：∵AD＝，∠C＝90°，AC＝DC，∴AC＝CD＝1，∵AC＝DC＝AB，∴AB＝2，∴BC＝＝，∴BD＝﹣1，故答案为：﹣1．12．解：当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD＝CD＝4，∠DAC＝60°，又∵∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠BAC＝30°，∴AB⊥CD，∵∠BAC＝30°，∴CE＝AC＝2，AE＝EC＝2，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2；当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD＝CD＝AB＝4，∠DAC＝60°，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝4，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝75°，∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝45°，∵BE⊥CE，∴∠BCE＝∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∵BD2＝BE2+DE2，∴32＝BE2+（CE+4）2，∴BE＝2﹣2，综上所述：点B到CD的距离为2﹣2或4﹣2．13．解：∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，∴CD＝2，AD＝＝，AB＝＝，∴BD+AD＝+1，又∵△ABD中，AD+BD＞AB，∴+1＞，故答案为：＜．14．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，由垂线段最短得：当PC⊥AB时，PC的值最小，此时，△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，∴AB•PC＝AC•BC，∴PC＝＝＝4.8，故答案为：4.8；（2）过C作CQ⊥BC于Q，如图所示：同（1）得：CQ＝4.8，由勾股定理得：AQ＝＝＝3.6，PQ＝＝＝1.4，当P在线段BQ上时，AP＝AQ+PQ＝3.6+1.4＝5；当P在线段AQ上时，AP＝AQ﹣PQ＝3.6﹣1.4＝2.2；综上所述，AP的长为5或2.2，故答案为：5或2.2．15．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝＝＝，∴△ABC的面积为：BC×AC＝×2×＝．∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵BC＝CD，∴CD＝2，∠CBE＝∠CDE，∴∠ABE＝∠CDE，∴AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AE：CE＝AB：CD＝3：2，∴△ABE的面积为：×＝．故答案为：．三．解答题16．解：∵+＝0，∴＝0，且＝0，∴a＝3，b＝4．由勾股定理得，c＝＝5．所以c的值是5．17．解：∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，∴△ABD为直角三角形，∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102，∴BD＝10，在△BCD中，∵DC2+BD2＝BC2，∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24﹣×6×8＝96（cm2）．18．解：（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，∴2mn＝60，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121； （2）由（1）可知，∴，∴AC＝5，BC＝6，∵∠ACB＝90°，AC＝5，CD＝12，∴AD＝＝＝13，∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．