初中数学17.1 勾股定理精品课堂检测

专题17.1勾股定理

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•长春期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，则斜边的长为（　　）

A． B． C．3 D．5

【分析】直接利用勾股定理计算得出答案．

【解析】∵直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，

∴斜边的长为：．

故选：B．

2．（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度．

【解析】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，

由勾股定理知：AB20．

∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．

∴AE＝BEAB＝10．

故选：C．

3．（2020秋•卢龙县期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　）

A．6 B．36 C．64 D．8

【分析】根据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来．

【解析】如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，

∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，

∴正方形A的面积为6，

故选：A．

4．（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）

A．16 B．25 C．144 D．169

【分析】根据勾股定理解答即可．

【解析】

根据勾股定理得出：AB，

∴EF＝AB＝5，

∴阴影部分面积是25，

故选：B．

5．（2020秋•青田县期末）直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（　　）

A．13 B． C．13或 D．13或12

【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可得出结论．

【解析】当12是直角边时，斜边长13．

故它的斜边长为13或12．

故选：D．

6．（2020秋•罗湖区期末）直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（　　）

A．ab＝h2 B．a2+b2＝2h2 

C． D．

【分析】根据直角三角形的面积的计算方法，以及勾股定理就可解得．

【解析】根据直角三角形的面积可以导出：斜边c．

再结合勾股定理：a2+b2＝c2．

进行等量代换，得a2+b2．

两边同除以a2b2，得．

故选：D．

7．（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（　　）

A．2π B．3π C．4π D．8π

【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．

【解析】∵S1π（）2πAC2，S2πBC2，

∴S1+S2π（AC2+BC2）πAB2＝2π．

故选：A．

8．（2020秋•山西月考）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形

拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（　　）

A．169 B．196 C．392 D．588

【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF2的长．

【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，

∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，

∴EF2＝142+142＝392，

故选：C．

9．（2019秋•兰考县期末）一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（　　）

A． B．13 C．6 D．25

【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．

【解析】∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，

∴斜边为13，

∵S△ABC5×1213h（h为斜边上的高），

∴h．

故选：A．

10．（2020秋•山西月考）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（　　）

A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64ccm2

【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是S，则第二个正方形的面积是，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．

【解析】第一个正方形的面积是S；

第二个正方形的面积是；

第三个正方形的面积是；

…

第n个正方形的面积是，

∵正方形⑤的面积是2，

∴正方形①的面积32．

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•上海期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝　9　．

【分析】根据勾股定理求出CD，再根据勾股定理用BD表示出BC，根据题意列出方程，解方程得到答案．

【解析】在Rt△ACD中，CD3，

在Rt△BCD中，BC，

在Rt△ABC中，BC，

∴，

解得，BD＝9，

故答案为：9．

12．（2020秋•松江区期末）直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（2，6），那么AB＝　5　．

【分析】根据两点间的距离公式得到AB即可．

【解析】根据题意得AB．

故答案为：5．

13．（2020秋•长春期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则边AC的长为　　．

【分析】根据勾股定理求出AC．

【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，

由勾股定理得，AC，

故答案为：．

14．（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝28，则BD的长为　14　．

【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质推知点D是线段BD的中点．

【解析】在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，

∴AD是边BC上的中线，

∴点D是线段BD的中点．

又∵BC＝28，

∴BDBC＝14．

故答案是：14．

15．（2020秋•法库县期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝　4　．

【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．

【解析】∵△ABH≌△BCG，

∴BG＝AH＝12，

∵四边形EFGH都是正方形，

在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH．

∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，

故答案为：4．

16．（2020秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为　8　．

【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．

【解析】由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，

∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C

∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，

∴S正方形B+4＝18﹣6，

∴S正方形B＝8．

故答案为：8．

17．（2020秋•雁江区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为　19　．

【分析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．

【解析】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，由勾股定理知，AB5．

故S阴影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝5225﹣6＝19．

故答案是：19．

18．（2020秋•浦东新区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E，则DE＝　　cm．

【分析】首先根据勾股定理求得AC＝6cm；然后利用角平分线的性质求得ED＝CD，设ED＝CD＝x；最后在直角△ACD中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．

【解析】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，则由勾股定理得到：AC6（cm）．

∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD⊥BC，

∴ED＝CD，设ED＝CD＝x（x＞0），

在直角△ACD中，AD2＝AE2+ED2，即（6﹣x）2＝（10﹣8）2+x2．

解得x．

即DEcm．

故答案是：．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•南关区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．

（1）求AC的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）根据勾股定理得出AC即可；

（2）利用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，进而解答即可．

【解析】（1）∵AB＝13，BC＝5，AC⊥BC，

∴AC，

（2）∵AC＝12，CD＝15，AD＝9，

∴CD2＝AC2+AD2，

∴△ADC是直角三角形，

∴四边形ABCD的面积．

20．（2020秋•九龙县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝1.5，BD＝2.5．

（1）∠2＝∠B，求AC的长．

（2）∠1＝∠2，求AC的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出AD＝BD，进而利用勾股定理解答即可；

（2）根据角平分线的性质和勾股定理解答即可．

【解析】（1）∵∠2＝∠B，

∴AD＝BD＝2.5，

∵∠C＝90°，CD＝1.5，

∴AC，

（2）过点D作DE⊥AB于点E，

∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝DE＝1.5，AC＝AE，

在Rt△DEB中，BE，

在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，

即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2，

可得：AC2＝（AC+2）2﹣（1.5+2.5）2，

解得：AC＝3．

21．（2020秋•禅城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）BC＝　12　cm．

（2）当PA＝PB时，求t的值．

【分析】（1）根据勾股定理解答即可；

（2）设AP＝t，利用勾股定理列出方程解答即可．

【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，

∴BC（cm）；

故答案为：12；

（2）设AP＝t，则PC＝16﹣t，

在Rt△PCB中，∵∠PCB＝90°，

由勾股定理，得：PC2+BC2＝PB2，

即（16﹣t）2+122＝t2，

解得：t＝12.5，

∴当点P运动到PA＝PB时，t的值为12.5．

22．（2020秋•门头沟区期末）如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．

【分析】过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°，DE＝CE，结合∠ABC＝45°可得出∠BAE＝45°，进而可得出AE＝BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出BE的长，即BDDC＝4，结合BD﹣DC＝1可求出DC的长．

【解析】过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．

∵AD＝AC，AE⊥BC，

∴∠AEB＝90°，DE＝CE．

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAE＝45°，

∴AE＝BE．

在Rt△ABE中，AB＝4，

∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（4）2，

∴BE＝4，

∴BDDC＝4．

又∵BD﹣DC＝1，

∴DC+1DC＝4，

∴DC＝2．

23．（2020秋•法库县期末）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．

（1）若∠A＝36°，求∠DCB的度数；

（2）若AB＝10，CD＝6，求BC的长．

【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝72°，再根据直角三角形的性质即可得出∠DCB的度数；

（2）设BD＝x，则AD＝10﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理求出x的值，再在Rt△BCD中根据勾股定理即可得出BC的长．

【解析】（1）在△ABC中，

∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠B＝∠ACB72°．

∵CD⊥AB于点D，

∴∠DCB＝90°﹣72°＝18°；

（2）∵△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，AB＝10，CD＝6，

∴AC＝AB＝10．

设BD＝x，则AD＝10﹣x，

在Rt△ACD中，

∵AC2＝CD2+AD2，即102＝62+（10﹣x）2，解得x＝2．

在Rt△BCD中，

∵BC2＝CD2+BD2，即BC2＝62+22＝40，

∴BC2．

24．（2020秋•山西月考）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，BD⊥AC．

（1）求出AC的长和BD的长．

（2）点P从点C出发，以每秒1cm的速度沿C→A→B运动，运动到点B时停止，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBC的面积为36cm2？

【分析】（1）根据三角形面积公式解答；

（2）分两种情况利用面积公式解答即可．

【解析】（1）因为∠ABC＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，

所以AC2＝162+122＝400，

所以AC＝20cm．

因为，

所以． （cm），

（2）当点P在线段CA上时，，

所以，

此时t＝7.5；

当点P在线段AB上时，，

所以BP＝6，

此时t＝30，

所以当t为或30时，△PBC的面积为36cm2．