人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试优秀课堂检测

这是一份人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试优秀课堂检测，文件包含专题173勾股定理的应用小题专练重难点培优原卷版人教版docx、专题173勾股定理的应用小题专练重难点培优解析版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

专题17.3勾股定理的应用小题专练
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共30题，选择20道、填空10道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．选择题（共20小题）
1．（2020秋•本溪期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（　　）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB，求出AB即可解决问题．
【解析】如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．

在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3米，BC＝4米，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5（米），
∴旗杆折断之前的高度高度＝AC+AB＝3+5＝8（米），
故选：C．
2．（2020•巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
3．（2020秋•南海区期中）如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7m，如果梯子的顶端B下滑0.4m至B'，那么梯子底端将滑动（　　）

A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m
【分析】利用勾股定理计算出BO长，进而可得B′O的长，然后再利用勾股定理计算出A′O的长，进而可得答案．
【解析】∵AB＝2.5m．AO＝0.7m，
∴BO=AB2-AO2=2．52-0．72=2.4（m），
∵B′O＝BO﹣BB′＝2.4﹣0.4＝2（m）．
∴A′O=2．52-22=1.5（m），
A′A＝A′O﹣AO＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．
故梯足将滑动的距离是0.8m．
故选：C．
4．（2020秋•山西月考）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）

A．1米 B．2米 C．2米 D．4米
【分析】作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．
【解析】过点C作CF⊥AB于点F，

根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF=AC2-CF2=52-32=4，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
5．（2020秋•青羊区校级月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（　　）

A．13 B．17 C．18 D．25
【分析】根据勾股定理求出BC的长，将AB和BC相加即可得到大树的实际高度．
【解析】由勾股定理得，BC=AB2+AC2=122+52=13（m）．
则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）．
故选：C．
6．（2020秋•未央区期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（　　）

A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【解析】已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB=OA2+OB2=82+62=10（海里）．
故选：B．
7．（2020秋•阜宁县期中）如图，长为12cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升4.5cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为（　　）

A．20cm B．18cm C．16cm D．15cm
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD即为拉长后橡皮筋的长．
【解析】Rt△ACD中，AC=12AB＝6cm，CD＝4.5cm；
根据勾股定理，得：AD=AC2+CD2=62+4．52=7.5（cm）；
∴AD+BD＝2AD＝15cm；
故选：D．
8．（2020秋•罗湖区期中）如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（　　）

A．10米 B．15米 C．16米 D．17米
【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即攀岩墙的高．
【解析】如图：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝8米，
AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
∴AB＝15．
∴攀岩墙的高15米．
故选：B．
9．（2020秋•郫都区期中）如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠ABC走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AC．已知AB＝40m，BC＝30m，他们踩伤草坪，仅仅少走了（　　）

A．40m B．30m C．20m D．10m
【分析】根据勾股定理可得答案．
【解析】由勾股定理，得
捷径=402+302=50（m），
少走了40+30﹣50＝20（m）．
故选：C．
10．（2020秋•龙泉驿区期中）如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（　　）

A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解析】由题意可得：
杯子内的筷子长度为：52+122=13，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13＝7（cm）．
故选：C．
11．（2020秋•历城区期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，则AC等于（　　）尺．

A．5 B．10 C．12 D．13
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+52＝（25﹣x）2．
解得：x＝12，
答：折断处离地面的高度为12尺．
故选：C．
12．（2020秋•达川区校级月考）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　）

A．5km B．8km C．10km D．20km
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
【解析】由题意可得：AB=AC2+BC2=122+162=20（km），
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：12+16﹣20＝8（km）．
故选：B．
13．（2020春•原州区期末）有5cm，13cm两根木条，现想找一根木条组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（　　）
A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解析】∵52+132=194，132﹣52＝122，
∴木条长度适合的是12cm，
故选：B．
14．（2020春•文水县期末）疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形
草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B、C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据图形标出的长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A和B的距离．
【解析】由题意可知AB=AC2+BC2=242+72=25m，
故居民直接到B时要走AB＝25m，若居民不践踏草地应走AC+BC＝24+7＝31m
AC+BC﹣AB＝31﹣25＝6m
故在？的地方应该填写的数字为6，
故选：D．
15．（2020秋•寿阳县期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）

A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE2+DE2=0．92+1．22=1.5（米）
故选：B．

16．（2020春•南岗区校级期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解析】如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，
∴AB=AD2+BD2=17（cm），
所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．
故选：C．

17．（2020春•民权县期末）如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　）km．

A．4 B．5 C．6 D．20
【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解析】设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4km．
所以，EB的长是4km．
所以，EA＝10﹣4＝6（km）．
故选：C．

18．（2020春•盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（　　）

A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解析】在Rt△ABC中，
AB=AC2+BC2=2．42+0．72=2.5（米），
∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，
BD=A'B2-A'D2=2．52-1．52=2（米），
∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），
故选：C．
19．（2020春•西城区校级期中）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（　　）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
【解析】梯脚与墙角距离：2．52-2．42=0.7（米），
∵开始梯脚与墙角的距离为1.5米，
∴要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：1.5﹣0.7＝0.8（米）．
故选：B．
20．（2020•广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r，DE＝10，OE=12CD＝1，AE＝r﹣1，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．

二．填空题（共10小题）
21．（2020秋•盐池县期末）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯　17　米．

【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【解析】根据勾股定理，楼梯水平长度为132-52=12米，
则红地毯至少要12+5＝17米长，
故答案为：17．
22．（2020秋•金牛区校级月考）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为　24　秒．

【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．
【解析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．

则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB=1002-802=60（m），
∴CD＝2CB＝120（m），
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
答：该学校受影响的时间为24秒，
故答案为：24．
23．（2020秋•南宫市月考）小明从A处出发沿北偏东40°的方向走了30米到达B处；小军也从A处出发，沿南偏东α°（0＜α＜90）的方向走了40米到达C处，若B、C两处的距离为50米，则α＝　50　．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠BAC＝90°，根据角的和差即可得到结论．
【解析】∵AB＝30，AC＝40，BC＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴α°＝90°﹣40°＝50°，
∴α＝50，
故答案为：50．
24．（2020秋•成华区校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值　11cm　，h的最大值　12cm　．

【分析】当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，据此可以得到h的取值范围．
【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内部分=122+52=13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
25．（2020秋•太原期中）《九章算术）“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”其大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？若设门的宽为x尺，根据题意列出的方程　x2+（x+6.8）2＝102　．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【解析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．
则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．
答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．
故答案为：x2+（x+6.8）2＝102．
26．（2020秋•溧水区期中）木工师傅为了让尺子经久耐用，常常在尺子的直角顶点A处与斜边BC之间加一根小木条AD．已知∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，则小木条AD的最短长度为　6013　dm．

【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形面积求出即可．
【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，
∴BC=AB2+AC2=52+122=13（dm），
当AD⊥BC时，AD最短，则12AD×BC=12AB×AC，
则AD=AB×ACBC=5×1213=6013（dm）．
故答案是：6013．

27．（2020秋•广陵区校级期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为　12　尺．

【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解析】依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．

28．（2020秋•泰州期中）如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径为5cm，高为12cm，上底面中心有一个小圆孔，将一根长24cm的直吸管从小圆孔插入，直到接触到饮料罐的底部，直吸管在罐外的长度hcm（罐的厚度和小圆孔的大小忽略不计），则h的取值范围是　11≤h≤12　．

【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，此时罐内部分就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，此时可以利用勾股定理在Rt△ABO中求出，然后可得罐外部分a长度范围．
【解析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，
此时罐内部分就是圆柱形的高，
罐外部分a＝24﹣12＝12（cm）；
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，
即线段AB的长，
在Rt△ABO中，
AB=AO2+BO2=122+52=13（cm），
罐外部分a＝24﹣13＝11（cm），
所以11≤h≤12．
故答案是：11≤h≤12．

29．（2020秋•玄武区校级期中）如图，图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝70厘米，BC＝84厘米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝70厘米．档位为Ⅰ档时，OD∥AB．档位为Ⅱ档时，OD′⊥AC．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠的水平距离（即EF）为　14　厘米．

【分析】过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，再次证明全等：△ABG≌△DON，△ACG≌△OD'M，便可解决问题．
【解析】过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，如图所示，

则OM＝HE，ON＝HE，
∵AB＝AC＝70厘米，BC＝84厘米，
∴BG＝CG=12BC＝42厘米，
∴AG=AB2-BG2=702-422=56（厘米），
∵AB∥CD，BC∥OM，
∴∠ABG＝∠DON，
在△ABG和△DON中，
∠ABG=∠DON∠AGB=∠DNO=90°AB=CD，
∴△ABG≌△DON（AAS），
∴BG＝ON＝HE＝42厘米，
∵OD'⊥AC．
∴∠D'OM+∠MOC＝90°，
∵OM∥BC，
∴∠MOC＝∠ACG，
∵∠ACG+∠CAG＝90°，
∴∠CAG＝∠D'OM，
在△ACG和△OD'M中，
∠CAG=∠D'OM∠AGC=∠OMD'=90°AC=OD'，
∴△ACG≌△OD'M（AAS），
∴AG＝OM＝HF＝56厘米，
∴EF＝HF﹣HE＝56﹣42＝14（厘米），
故答案为：14．
30．（2020秋•沈河区校级期中）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为　877km　．

【分析】直接利用勾股定理得出AN的长，再利用勾股定理得出NP的长．
【解析】连接MP，根据题意可得：MP＝NP，
则在Rt△MNA中，
MN2＝AM2+AN2，
则42＝32+AN2，
解得：AN=7，
设NP＝x，则AP=7-x，
则在Rt△MPA中，
MP2＝AM2+AP2，
x2＝32+（7-x）2，
解得：x=877，
故答案为：877km．