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2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§3.1 位置的确定与变量之间的关系
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这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§3.1 位置的确定与变量之间的关系，共21页。
考点一 平面直角坐标系内点的坐标特征
1.(2020四川成都,4,3分)在平面直角坐标系中,将点P(3,2)向下平移2个单位长度得到的点的坐标是 ( )A.(3,0) B.(1,2) C.(5,2) D.(3,4)
答案 A 将点P(3,2)向下平移2个单位长度,横坐标不变,纵坐标减2,∴平移点P后得到的点的坐标为(3, 0).故选A.
方法指导 将点向左平移n个单位长度,纵坐标不变,横坐标减n;将点向右平移n个单位长度,纵坐标不变, 横坐标加n;将点向上平移n个单位长度,横坐标不变,纵坐标加n;将点向下平移n个单位长度,横坐标不变, 纵坐标减n.
2.(2019甘肃兰州,10,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,将四边形ABCD先向下平移,再向右平移得到四 边形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),则点B1坐标为 ( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,4) D.(4,1)
答案 B ∵3=-3+6,3=5-2,∴将四边形ABCD先向下平移2个单位长度,再向右平移6个单位长度,得到四 边形A1B1C1D1,∴B1的坐标是(2,1),故选B.
3.(2019内蒙古呼和浩特,9,3分)已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A、B、C、D按逆时针依次排 列,若A点的坐标为(2, ),则B点与D点的坐标分别为 ( )A.(-2, ),(2,- )B.(- ,2),( ,-2)C.(- ,2),(2,- )D. ,
答案 B 如图所示,连接AO,DO,作AE⊥x轴,DF⊥y轴,∵四边形ABCD为正方形,O为对称中心,∴AO= DO,∠AOD=∠EOF=90°,∴∠1=∠2,∵∠AEO=∠DFO=90°,∴△AOE≌△DOF.∴OF=OE=2,DF=AE= ,∴D( ,-2),∵点B与点D关于原点对称,∴B(- ,2),故选B.
思路分析 根据题意画出图形,分别过点A,D作AE⊥x轴,DF⊥y轴,垂足分别为E,F,证△AOE≌△DOF,根 据点A的坐标求出点D的坐标,再由中心对称求出点B的坐标.
4.(2020新疆,13,5分)如图,在x轴,y轴上分别截取OA,OB,使OA=OB,再分别以点A,B为圆心,以大于 AB长为半径画弧,两弧交于点P.若点P的坐标为(a,2a-3),则a的值为 .
解析 由作图可知点P在∠BOA的平分线上,∴点P到x轴和y轴的距离相等,又∵点P在第一象限,点P的坐标为(a,2a-3),∴a=2a-3,∴a=3.故答案为3.
5.(2020广西北部湾经济区,17,3分)以原点为中心,把点M(3,4)逆时针旋转90°得到点N,则点N的坐标为 .
6.(2019江西,12,3分)在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直 线AB上,若DA=1,CP⊥DP于点P,则点P的坐标为 .
解析 (1)当点D在第一象限时,如图1. 图1∵CP⊥PD,∴∠CPD=90°,易证△COP∽△PAD.∴ = ,∴ = .∴(4-OP)OP=4,即OP2-4OP+4=0,即(OP-2)2=0,∴OP=2,∴点P的坐标为(2,0).(2)当点D在第四象限时,
①当点P在点A左侧时,如图2,∵CP⊥PD,∴∠CPD=90°,易证△COP∽△PAD,∴ = ,∴ = .∴OP2+4OP=4,∴(OP+2)2=8,∴OP+2=±2 .∴OP=2 -2或OP=-2 -2(舍).∴点P的坐标为(2-2 ,0). 图2
图3②当点P在点A右侧时,如图3,∵CP⊥PD,∴∠CPD=90°,易证△COP∽△PAD,∴ = ,∴ = .∴OP2-4OP=4.∴(OP-2)2=8,∴OP-2=±2 .∴OP=2+2 或OP=2-2 (舍).∴点P的坐标为(2+2 ,0).
综上,点P的坐标为(2,0),(2+2 ,0),(2-2 ,0).
7.(2018吉林,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负 半轴于点C,则点C的坐标为 .
考点二 函数的概念及三种表示方法
1.(2019内蒙古包头,5,3分)在函数y= - 中,自变量x的取值范围是 ( )A.x>-1 B.x≥-1C.x>-1且x≠2 D.x≥-1且x≠2
2.(2020湖北武汉,8,3分)一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开 始4 min内只进水不出水,从第4 min到第24 min内既进水又出水,从第24 min开始只出水不进水,容器内水 量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则图中a的值是 ( ) A.32 B.34 C.36 D.38
思路分析 由点(4,20)、(16,35)及题意可求每分钟的进水量和出水量,再求第24 min时容器内水量y,然 后求出第24 min后容器内水流完所用的时间即可求出a.
3.(2019黑龙江齐齐哈尔,7,3分)“六一”儿童节前夕,某部队战士到福利院慰问儿童.战士们从营地出发, 匀速步行前往文具店选购礼物,停留一段时间后,继续按原速步行到达福利院(营地、文具店、福利院三 地依次在同一直线上).到达后因接到紧急任务,立即按原路匀速跑步返回营地(赠送礼物的时间忽略不 计).下列图象能大致反映战士们离营地的距离s与时间t之间函数关系的是 ( )
答案 B 由题中的条件可知,该问题应分为远离,静止,远离,返回四段来考虑.①远离时,s随t的增加而缓慢增大;②静止时,s随t的增加不变;③再次远离时,s随t的增加而增大;④返回时,s随t的增加快速减小.结合图象,可得B正确.
4.(2020内蒙古包头,13,3分)函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
解析 根据题意得,x-3≠0,解得x≠3.
5.(2020重庆A卷,17,4分)A,B两地相距240 km,甲货车从A地以40 km/h的速度匀速前往B地,到达B地后停 止.在甲出发的同时,乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地,到达A地后停止.两车之间的路程y(km)与甲 货车出发时间x(h)之间的函数关系如图中的折线CD-DE-EF所示.其中点C的坐标是(0,240),点D的坐标 是(2.4,0),则点E的坐标是 .
思路分析 本题主要是理解两个转折点的意义.点D说明出发2.4小时后两车相遇,从而可求得乙的速度. 点E说明此时乙到达了A地,从而通过乙车行驶时间,确定了甲车的行驶时间和路程,从而可求得点E的坐 标.
6.(2020重庆A卷,22,10分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合 图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y= 性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.(1)请把下表补充完整,并在图中补全该函数图象;
(2)根据函数图象,判断下列关于该函数性质的说法是否正确,正确的在相应的括号内打“√”,错误的在 相应的括号内打“×”;①该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y轴. ( )②该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值.当x=1时,函数取得最大值3;当x=-1时,函数取得最 小值-3. ( )③当x<-1或x>1时,y随x的增大而减小;当-12x-1的解集(保留1位小数,误差不超过0.2).
解析 (1)补充表格如下,补全的函数图象如图所示.
(4分)(2)①×.②√.③√. (7分)
(3)x<-1,-0.3
7.(2019江西,21,9分)数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:如图1,将长为12 cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上,一端A固定在桌面上,图2是 示意图.活动一如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转,AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点C与点O重 合.
数学思考(1)设CD=x cm,点B到OF的距离GB=y cm.①用含x的代数式表示:AD的长是 cm,BD的长是 cm;②y与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 .活动二
(2)①列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格;
②描点:根据表中数值,继续描出①中剩余的两个点(x,y);③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.数学思考(3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.
解析 (1)①(6+x);(6-x).②y= ,0≤x≤6.(2)①补全表格:
②③描点与连线: (3)①y随着x的增大而减小;②图象关于直线y=x对称;③函数y的取值范围是0≤y≤6.(写出两条即可)
思路分析 (1)①由于CD=x,所以AD=AC+CD=6+x,DB=CB-CD=6-x.②由题易证△GDB∽△ODA,得到 = ,即 = ,通过变形得到y= .由0≤CD≤ AB可得x的取值范围.(2)①将x=3,x=0分别代入y= 中,就可得到相应的y值.②根据①中的结果在平面直角坐标系中描点.③利用平滑的曲线连接各点.(3)根据图象,从变化趋势、对称性和取值范围等角度进行分析.
考点三 与函数有关的应用型问题
1.(2019辽宁大连,16,3分)甲、乙两人沿同一条直路走步,如果两人分别从这条路上的A,B两处同时出发, 都以不变的速度相向而行,图1是甲离开A处后行走的路程y(单位:m)与行走时间x(单位:min)的函数图象, 图2是甲、乙两人之间的距离s(单位:m)与甲行走时间x(单位:min)的函数图象,则a-b= .
解题关键 本题解题关键是能结合函数图象,得出甲、乙的速度.
2.(2019新疆,21,10分)某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克,销售了部分苹果后,余下的苹果每 千克降价4元销售,全部售完.销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示.请根据图象提供的信 息完成下列问题:(1)降价前苹果的销售单价是 元/千克;(2)求降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元?
解析 (1)16. (2分)(2)由题意得y=640+(16-4)(x-40)=12x+160. (6分)当y=760时,x=50.∴自变量的取值范围是40≤x≤50. (8分)(3)760-50×8=360(元),∴该水果店这次销售苹果盈利了360元. (10分)
3.(2020天津,23,10分)在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境. 已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上,食堂离宿舍0.7 km,图书馆离宿舍1 km. 周末,小亮从宿舍出发,匀速走了7 min到食堂;在食堂停留16 min吃早餐后,匀速走了5 min到图书馆;在图 书馆停留30 min借书后,匀速走了10 min返回宿舍.给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离y km与离开宿舍的时间x min之间的对应关系.
请根据相关信息,解答下列问题:(1)填表:
(2)填空: ①食堂到图书馆的距离为 km;②小亮从食堂到图书馆的速度为 km/min;③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 km/min;④当小亮离宿舍的距离为0.6 km时,他离开宿舍的时间为 min.(3)当0≤x≤28时,请直接写出y关于x的函数解析式.
解析 (1)由题意,食堂距宿舍0.7 km,用时7 min,所以0~7 min时速度为0.1 km/min,所以第5 min时,离宿舍 的距离为5×0.1=0.5 km;由图象可知,23 min时离宿舍的距离为0.7 km,30 min时离宿舍的距离为1 km.故 答案为0.5;0.7;1.(2)①由题意知,食堂距宿舍0.7 km,图书馆距宿舍1 km,因为宿舍、食堂、图书馆依次在一条直线上,所以 食堂距图书馆1-0.7=0.3 km.故答案为0.3.②由图象可知,从食堂到图书馆用时28-23=5 min,所以小亮从食堂到图书馆的速度为 =0.06 km/min.故答案为0.06.③由图象知,小亮从图书馆返回宿舍用时68-58=10 min,所以小亮从图书馆返回宿舍的速度为 =0.1 km/min.故答案为0.1.④由图象分析,小亮距宿舍0.6 km时是在去食堂的路上或从图书馆回宿舍的路上,当在去食堂的路上时, =6 min,当在从图书馆回宿舍的路上时,68- =62 min,故当6 min或62 min时,小亮距宿舍0.6 km.故答案为6或62.(3)由图象知,当0≤x≤7时,小亮的速度为0.1 km/min,故离宿舍的距离为y=0.1x;当71.(2020天津,8,3分)如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,则点C
的坐标是 ( ) A.(6,3) B.(3,6)C.(0,6) D.(6,6)
答案 D ∵O(0,0),D(0,6),∴OD=6.∵四边形OBCD是正方形,∴BC=CD=OD=6,CD⊥OD,CB⊥OB,∴点 C的坐标是(6,6),故选D.
2.(2019山东青岛,6,3分)如图,将线段AB先向右平移5个单位,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°, 得到线段A'B',则点B的对应点B'的坐标是 ( ) A.(-4,1) B.(-1,2)C.(4,-1) D.(1,-2)
答案 D 将线段AB先向右平移5个单位,此时点B的对应点坐标为(2,1),再将所得线段绕原点顺时针旋 转90°,得线段A'B',则B'的坐标为(1,-2).
方法规律 在平面直角坐标系内,把一个图形的各点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,对应的新图形 就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把一个图形的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个 正数a,对应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度;图形或点旋转之后要结合旋转的角 度和图形的特殊性质来求旋转后的对应点的坐标.
3.(2019浙江杭州,2,3分)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则 ( )A.m=3,n=2 B.m=-3,n=2C.m=2,n=3 D.m=-2,n=3
答案 B ∵点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),∴m=-3,n=2,故选B.
4.(2018湖北武汉,6,3分)点A(2,-5)关于x轴对称的点的坐标是 ( )A.(2,5) B.(-2,5)C.(-2,-5) D.(-5,2)
答案 A 关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以点A(2,-5)关于x轴对称的点的坐标为 (2,5).故选A.
5.(2018新疆,10,5分)点(-1,2)所在的象限是第 象限.
解析 因为-1<0,2>0,所以点(-1,2)所在的象限是第二象限.
1.(2018内蒙古包头,3,3分)函数y= 中,自变量x的取值范围是 ( )A.x≠1 B.x>0 C.x≥1 D.x>1
答案 D 根据题意得,x-1>0,则x>1.故选D.
2.(2020黑龙江齐齐哈尔,5,3分)李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山 的速度小于下山的速度,在登山的过程中,他行走的路程s随时间t的变化规律的大致图象是 ( )
答案 B 李强在登山过程中,可大致分为三个过程:①先匀速登上山顶;②在原地休息一段时间;③匀速下山,且下山速度比上山速度快.可采取排除法解决. 过程②中,李强原地休息,因此s随着时间t的变化不发生改变,即图象为平行于x轴的线段,故可排除A、C 选项;过程①和③中,上山和下山的速度均为匀速,但上山速度小于下山速度,因此,从图象上看,下山时对 应的图象应比上山时对应的图象更陡,故可排除D.因此选B.
3.(2020安徽,10,4分)如图,△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,它们的边BC,EF在同一条直线l上, 点C,E重合.现将△ABC沿着直线l向右移动,直至点B与F重合时停止移动.在此过程中,设点C移动的距离 为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图象大致为 ( )
答案 A ∵△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,∴BC=EF=2,0≤x≤4.当0思路分析 由△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形确定重叠部分是等边三角形,并分两种情况:①
0
4.(2019山东潍坊,9,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D.设运 动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是 ( )
5.(2019重庆A卷,8,4分)按如图所示的运算程序,能使输出y值为1的是 ( ) A.m=1,n=1 B.m=1,n=0C.m=1,n=2 D.m=2,n=1
答案 D 当m=1,n=1时,m=n,所以y=2m+1=2×1+1=3≠1,故A选项不符合题意;当m=1,n=0时,m>n,所以y=2n-1=2×0-1=-1≠1,故B选项不符合题意;当m=1,n=2时,mn,所以y=2n-1=2×1-1=1,故D选项符合题意.故选D.
6.(2017内蒙古呼和浩特,10,3分)函数y= 的大致图象是 ( )
答案 B 由解析式可知,当x取互为相反数的两个数(x≠0)时,y的值相等,所以函数的图象关于y轴对称, 故排除D选项;当x无限接近于0时,y的值接近于+∞,故排除A选项;当x=1时,y取最小值,最小值为2,故排除 C选项.故选B.
7.(2020黑龙江齐齐哈尔,12,3分)在函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
答案 x≥-3且x≠2
8.(2019河南,21,10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用 “代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:(1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得xy=4,即y= ;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=-x+ ,满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标.(2)画出函数图象函数y= (x>0)的图象如图所示,而函数y=-x+ 的图象可由直线y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.
(3)平移直线y=-x,观察函数图象①当直线平移到与函数y= (x>0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为 ;②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.(4)得出结论若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为 .
解析 (1)一. (1分)(2)如图. (3分) (3)①8. (4分)把(2,2)代入y=-x+ 得2=-2+ ,解得m=8.②在直线平移过程中,交点个数还有0个,2个两种情况.
当有0个交点时,周长m的取值范围是08. (8分)(4)m≥8. (10分)
解题关键 本题为运用函数图象解决实际问题型题目,理解函数图象的意义以及图象的性质是根本,根 据直线与双曲线的交点以及交点的个数确定m的值或其取值范围是解题关键.
9.(2018北京,24,6分)如图,Q是 与弦AB所围成的图形的内部的一定点,P是弦AB上一动点,连接PQ并延长交 于点C,连接AC.已知AB=6 cm,设A,P两点间的距离为x cm,P,C两点间的距离为y1 cm,A,C两点间的距离为y2 cm. 小腾根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的 图象; (3)结合函数图象,解决问题:当△APC为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.
解析 (1)通过画图观察可得当x=3时,y1=3.00.(2)如图所示. (3)3.00或4.83或5.86.在坐标系中画出直线y=x,则三个图象中,两两图象交点的横坐标即为△APC为等腰 三角形时线段AP的长度,则AP的长度约为3.00 cm 或4.83 cm或5.86 cm.
1.(2018内蒙古呼和浩特,2,3分)二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶,它与白昼时长密 切相关.当春分、秋分时,昼夜时长大致相等;当夏至时,白昼时长最长.根据下图,在下列选项中指出白昼 时长低于11小时的节气 ( ) A.惊蛰 B.小满 C.立秋 D.大寒
答案 D 由题图可知白昼时长低于11小时的节气有立春、立冬、冬至、大寒.故选D.
2.(2018重庆A卷,17,4分)A,B两地相距的路程为240千米,甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地,分别以 一定的速度匀速行驶.甲车先出发40分钟后,乙车才出发.途中乙车发生故障,修车耗时20分钟,随后,乙车 车速比发生故障前减少了10千米/时(仍保持匀速前行),甲、乙两车同时到达B地.甲、乙两车相距的路 程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示,则乙车修好时,甲车距B地还有 千米.
解析 甲车先出发40分钟 ,由题图可知,所行驶的路程为30千米,故甲车的速度为 =45千米/时.设乙车发生故障前的速度为v乙千米/时,可得45×2=10+ v乙,所以v乙=60,因此乙车发生故障后的速度为60-10=50千米/时.甲车走完全程所用时间为240÷45= 小时.设乙车发生故障时,已经行驶了a小时,可得60a+50× =240,解得a= ,所以乙车修好时,甲车行驶的时间为 + + = 小时,所以乙车修好时,甲车距B地还有45× =90千米.
解题关键 解决此类问题的关键是能够将实际问题情境与函数图象相互转换,能够从图象的横、纵两 个方向分别获取信息,判断相应的实际意义,运用数形结合的思想,找到解题的途径.
3.(2020内蒙古包头,23,10分)某商店销售A,B两种商品,A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40 元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元.(1)求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元;(2)该商店计划购进A,B两种商品共60件,且A,B两种商品的进价总额不超过7 800元,已知A种商品和B种 商品的每件进价分别为110元和140元,应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多?
思路分析 (1)设A种商品的销售单价是x元,B种商品的销售单价是y元,根据A种商品的销售单价比B种 商品的销售单价少40元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元,可列二元一次方程组,进而得解;(2)设总获利为w元,购进A种商品a件,则购进B种商品(60-a)件.由A,B两种商品的进价总额不超过7 800 元,得110a+140(60-a)≤7 800,求得a的取值范围.由A,B的利润和件数,可得总利润w关于a的一次函数,利 用一次函数的性质得解.
4.(2020贵州贵阳,22,10分)第33个国际禁毒日到来之际,贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题 的禁毒宣传月活动,某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下: (1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下,为什么说学习委员搞错了;(2)学习委员连忙拿出发票,发现的确错了,因为他还买了一本笔记本,但笔记本的单价已模糊不清,只能 辨认出单价是小于10元的整数,那么笔记本的单价可能是多少元?
解析 (1)设单价为6元的钢笔买了x支,则单价为10元的钢笔买了(100-x)支,根据题意,得6x+10(100-x)=1 300-378,解得x=19.5.因为钢笔的数量不可能是小数,所以学习委员搞错了.(2)设笔记本的单价为a元,根据题意,得6x+10(100-x)+a=1 300-378,整理,得x= a+ ,因为0
②当甲赶到排头位置时,求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m),求S甲与t 的函数关系式(不写t的取值范围);(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中 行进的路程.
解析 (1)①排头走的路程为2t m,则S头=2t+300. (2分)②甲从排尾赶到排头时,有4t=2t+300,得t=150.此时,S头=2×150+300=600. (5分)甲从排头返回的时间为(t-150)s,则S甲=600-4(t-150)=-4t+1 200. (7分)(2)设甲从排尾赶到排头用时为t1s,则2vt1=vt1+300,∴t1= .设甲返回到排尾用时为t2s,则300=2vt2+vt2,∴t2= .∴T=t1+t2= . (9分)队伍在此过程中行进的路程是Tv= ·v=400(m). (10分)
思路分析 (1)当v=2时,①排头走的路程为2t m,则有S头=2t+300;②甲赶到排头位置,即甲走的路程等于S 头,则4t=2t+300,求得t值,代入得出S头的值,甲从排头返回的时间为(t-150)s,最后得出S甲=600-4(t-150)=-4t+1 200;(2)分析得出甲从排尾赶到排头时有2vt1=vt1+300,解得t1= ,当甲从排头返回到排尾时,有300=2vt2+vt2,解得t2= ,可得T=t1+t2= ,最后得出队伍在此过程中行进的路程.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020甘肃兰州一诊,6)若点P(a-1,2a)在第二象限,则a的取值范围是 ( )A.-11
2.(2019云南昆明模拟,7)在平面直角坐标系中,点P(- ,6)在 ( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(2018湖北武汉武昌一模,6)点P关于x轴的对称点P1的坐标是(4,-8),则P点关于y轴的对称点P2的坐标是 ( )A.(-4,-8) B.(-4,8)C.(4,8) D.(4,-8)
答案 B 根据题意,得点P的坐标是(4,8),则P点关于y轴的对称点P2的坐标是(-4,8).故选B.
4.(2018四川宜宾二模,8)如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B 运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,点E、F的运动速度相同.设点E的运动 路程为x,△AEF的面积为y,则y与x之间函数关系的图象是 ( )
答案 A 当点F在PD上运动时,△AEF的面积y= AE·AD=2x(0≤x≤2);
当点F在DQ上运动时,△AEF的面积y= AE·AF= x(6-x)=- x2+3x(2
5.(2020辽宁鞍山铁东一模,12)在函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
答案 x≥-1且x≠0
解析 根据题意得x+1≥0且x≠0,解得x≥-1且x≠0.
6.(2020内蒙古包头4月模拟,15)在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1的对称点的坐标是 .
解析 ∵点P到直线x=1的距离为4-1=3,∴点P关于直线x=1的对称点P'到直线x=1的距离为3,∴点P'的横坐标为1-3=-2,又知点P与点P'的纵坐标相同,∴对称点P'的坐标为(-2,2).
7.(2020四川成都青白江一诊,12)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为 .
解析 过B作BD⊥OA于D,则∠BDO=90°,∵△OAB是等边三角形,∴OD=AD= OA=1.在Rt△BDO中,由勾股定理得BD= = = ,∴点B的坐标为(1, ).
8.(2018黑龙江哈尔滨南岗一模,12)函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
解析 由题意得,x+3≠0,解得x≠-3.
三、解答题(共31分)9.(2020上海青浦二模,22)某湖边健身步道全长1 500米,甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行.甲 先到达终点后立刻返回,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(米)与出发的时间x(分)之间的关系如 图中折线OA-AB所示.(1)用文字语言描述点A的实际意义;(2)求甲、乙两人的速度及两人相遇时x的值.
解析 (1)点A的实际意义为出发20分钟时,甲到达终点,此时甲、乙两人相距500米.(2)根据题意得,v甲= =75(米/分),v乙= =50(米/分).依题意,可列方程得75(x-20)+50(x-20)=500,解这个方程,得x=24.答:甲的速度是75米/分,乙的速度是50米/分,两人相遇时x的值为24.
10.(2019新疆乌鲁木齐高新区一模,21)“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选 择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红与同学相约到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,玩一 段时间后按原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路 程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示.(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为 km/h;(2)当1.5≤x≤2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式,并求乙地离小红家多少千米.
解析 (1)在OA段,小红骑车的速度为 =20 km/h,故答案为20.(2)当1.5≤x≤2.5时,设y=20x+b,把(1.5,10)代入得,10=20×1.5+b,解得b=-20,∴y=20x-20,当x=2.5时,y=20×2.5-20=30,∴乙地离小红家30千米.
11.(2020江西南昌一模,21)数学活动课上,小明同学根据学习函数的经验,对函数的图象、性质进行了探 究.下面是小明同学的探究过程,请补充完整:如图1,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm,点P为AB边上的一个动点,连接PC,设BP=x cm, CP=y cm.【初步感知】(1)当CP⊥AB时,x= ,y= ;【深入思考】(2)试求y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围;(3)通过取点测量,得到了x与y的几组值,如下表:
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)(i)建立平面直角坐标系,如图2,根据补全后的表格中各组对应值,画出该函数的图象;(ii)结合画出的函数图象,写出该函数的两条性质:① ;② .
解析 (1)当CP⊥AB时,∵∠CPB=∠ACB=90°,∴∠BCP=∠A=30°,∴BP= BC=1 cm,CP=BC·cs 30°= cm,∴x=1,y= .故答案为1; .(2)过点C作CD⊥AB于点D.∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm,∴由(1)知BD=1 cm,CD= cm.①当0≤x≤1时,如图1,PD=(1-x)cm,∴PC= = = ,∴y= .
②当1
方法总结 在利用函数图象判断函数性质时,一般从下面几个方面观察:1.图象位置,如在哪个象限;2.图 象的对称性,如轴对称性,中心对称性;3.图象的最高(低)点,即函数的最值;4.图象上升或下降的变化趋势, 即函数的增减性;5.图象与坐标轴的交点.
12.(2019天津南开一模,23)某商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:此卡只作为购物优恵凭证,不 能顶替货款),花300元买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的8折购物.将不购卡购物和使用优惠卡购 物分别视为方式一购物和方式二购物,设顾客购买商品的金额为x元.(1)根据题意,填写下表:
(2)顾客购买多少元的商品时,买卡与不买卡花钱相等? (3)小张要买一台标价为3 500元的冰箱,如何购买合算?小张能节省多少元钱?(4)小张按合算的方案把这台冰箱买下,如果该商场还能盈利25%,那么这台冰箱的进价是多少元?
解析 (1)当商品金额为x元时,按方式一购物的总费用为x元.当商品金额为600元时,按方式二购物的总费用为600×0.8+300=780(元);当商品金额为1 000元时,按方式二购物的总费用为1 000×0.8+300=1 100(元);当商品金额为x元时,按方式二购物的总费用为(300+0.8x)元,故从第一行起,从左往右依次填x,780,1 100,300+0.8x.(2)根据题意得300+0.8x=x,解得x=1 500.答:顾客购买1 500元的商品时,买卡与不买卡花钱相等.(3)按方式一购物的总费用(单位:元)为y1=x,按方式二购物的总费用(单位:元)为y2=300+0.8x,当x=3 500时,y1=3 500,y2=300+0.8x=300+3 500×0.8=3 100,∴y1-y2=3 500-3 100=400.答:小张买卡(按方式二购物)合算,能节省400元钱.(4)设这台冰箱的进价为a元,
根据题意得3 100-a=25%a,解得a=2 480.答:这台冰箱的进价是2 480元.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2020天津河西3月模拟,10)在平面直角坐标系中,将点A(x,-y)向上平移2个单位长度,再向左平移3个单 位长度,得到点A',则点A'的坐标是 ( )A.(x+3,2-y) B.(x+3,-y-2)C.(x-3,2-y) D.(x-3,-y-2)
答案 C 将点A(x,-y)向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到点A'的坐标为(x-3,-y+2).故 选C.
2.(2020黑龙江绥化一模,8)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点P从A出发,以每秒2个单位沿A→B→C→D 运动,同时点Q也从A出发,以每秒1个单位沿A→D运动,△APQ的面积为y,运动的时间为x秒,则y关于x的 函数图象为 ( )
答案 A 当0≤x≤2时,y= ·x·2x=x2;当2
答案 A 延长DC交y轴于F,过C作CG⊥OA于G,CE⊥AB于E,过D作DH⊥OA于H. ∵CD∥x轴,∴DF⊥OB.∵∠BAO,∠ABO的平分线相交于点C,CF⊥BO,CE⊥BA,CG⊥AO,∴CF=CE,CE=CG,∴FC=CG=CE.∵OA=8,OB=6,∴tan∠OAB= = = ,∴设DH=3x,AH=4x,x>0,∴AD=5x.
∵CD∥OA,∴∠DCA=∠CAG.∵∠DAC=∠GAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=5x,由作图知四边形OGCF,四边形GHDC均为矩形,∴OG=CF,GH=CD,DH=CG,∴OA=3x+5x+4x=8,∴x= ,∴DH=2,OH= ,∴D .故选A.
4.(2018湖北孝感孝南一模,7)如图,在正方形ABCD中,点P从点A出发,沿着正方形的边顺时针运动一周, 则△APC的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系图象大致是( )
5.(2019贵州毕节模拟,14)如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为 (0,3 ),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线翻折后,点C落在点D处,则点D的坐标为 ( ) A. B. C. D.
答案 A ∵四边形AOBC是矩形,∠ABO=30°,点B的坐标为(0,3 ),∴AC=OB=3 ,∠CAB=30°,∴BC=AC·tan 30°=3 × =3.∵将△ABC沿AB所在直线翻折后,点C落在点D处,∴∠BAD=30°,AD=3 ,
过点D作DM⊥x轴于点M,∵∠CAB=∠BAD=30°,∠CAO=90°,∴∠DAM=30°,∴DM= AD= ,AM=3 ×cs 30°= ,∴MO= -3= ,∴点D的坐标为 .故选A.
6.(2018黑龙江哈尔滨模拟,10)快车与慢车分别从相距420千米的甲、乙两地同时相向出发,匀速而行,快 车到达乙地后停留1小时,然后按原路原速返回,快车比慢车晚1小时到达甲地.快、慢两车距各自出发地 的路程y(千米)与所用的时间x(小时)的关系如图所示,下列说法正确的有 ( )①快车返回的速度为140千米/时;②慢车的速度为70千米/时;
③出发 小时时,快、慢两车距各自出发地的路程相等;④快、慢两车出发 小时时相距150千米.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 D ∵快车到达乙地后停留1小时,快车比慢车晚1小时到达甲地,∴快车往返行驶的时间与慢车 驶往甲地的时间相同,∴快车的速度= =140(千米/时),故①正确;慢车的速度= =70(千米/时),故②正确;出发 小时时,快车在返回的途中,则快车行驶的路程= ×140= 千米,又此时慢车行驶的路程= ×70= 千米,且420×2- = 千米,∴快、慢两车距各自出发地的路程相等,故③正确;由已知易得,出发 小时时,快、慢两车还没有相遇,两车相距420- ×(140+70)=420-270=150(千米),故④正确.综上所述,说法正确的有①②③④,共4个.故选D.
二、填空题(每小题3分,共9分)7.(2020辽宁大连金州一模,16)五一期间李师傅一家开车去旅游,出发前油箱里有50升油,下面的两幅图 分别描述了行驶里程及耗油情况,行驶130千米时,油箱里剩余油量为 升.
8.(2019云南曲靖一模,14)如图所示,在平面直角坐标系中,A(0,0),B(2,0),△AP1B是等腰直角三角形且∠P1 =90°,把△AP1B绕点B顺时针旋转180°,得到△CP2B,把△CP2B绕点C顺时针旋转180°,得到△DP3C,依此类 推,得到的等腰直角三角形的直角顶点P2 019的坐标为 .
答案 (4 037,1)
解析 作P1H⊥x轴于H, ∵△AP1B是等腰直角三角形,A(0,0),B(2,0),∴P1H= AB=1,AH=BH=1,∴P1(1,1).∵把△AP1B绕点B顺时针旋转180°,得到△CP2B;把△CP2B绕点C顺时针旋转180°,得到△DP3C,……,∴P2(3,-1),P3(5,1),P4(7,-1),P5(9,1),……,
∴P2 019的纵坐标为1,横坐标为2 019×2-1=4 037,∴P2 019(4 037,1).
9.(2018吉林长春德惠一模,14)如图,边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合,AF∥x轴,将 正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次,每次旋转60°.当n=2 017时,顶点A的坐标为 .
解析 ∵2 017×60°÷360°=336……1,∴当n=2 017时,点A的坐标与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋 转1次时点A对应点的坐标是一样的.当n=1时,点A对应点与原F点重合.
如图,连接OF,过点F作FH⊥x轴,垂足为H.∵EF=4,∠FOE=60°,OF=OE(正六边形的性质),
三、解答题(共28分)10.(2020湖北荆州4月模拟,21)参照学习函数的过程与方法,探究函数y= (x≠0)的图象与性质.因为y= =1- ,即y=- +1,所以我们对比函数y=- 来探究.列表:
描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以y= 相应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图所示.(1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来;(2)观察图象并分析表格,回答下列问题:①当x<0时,y随x的增大而 ;(填“增大”或“减小”)②y= 的图象是由y=- 的图象向 平移 个单位得到的;③图象关于点 中心对称;(填点的坐标)(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y= 的图象上的两点,且x1+x2=0,试求y1+y2+3的值.
解析 (1)函数图象如图所示: (2)①当x<0时,y随x的增大而增大;②y= 的图象是由y=- 的图象向上平移1个单位得到的;③图象关于点(0,1)中心对称.(3)∵x1+x2=0,∴x1=-x2,∴A(x1,y1),B(x2,y2)关于点(0,1)对称,
∴y1+y2=2,∴y1+y2+3=5.
11.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,23)周末,小明从家步行去书店看书,出发 小时距家1.8千米时,爸爸驾车从家沿相同路线追赶小明,在A地追上小明后,二人驾车继续前行到达书店,小明在书店(B地)看书,爸爸去 单位(C地)办事.如图是小明与爸爸两人之间的距离s(千米)与小明出发的时间t(小时)之间的函数图象(小 明步行速度与爸爸驾车速度始终保持不变,彼此交流时间忽略不计),请根据图象回答下列问题.(1)小明步行速度是 千米/小时,爸爸驾车速度是 千米/小时;(2)图中点A的坐标是 ;(3)求书店与家的距离;(4)求爸爸出发多长时间,两人相距3千米.
解析 (1)小明步行速度为 =7.2千米/小时;爸爸驾车速度为 =48千米/小时.故答案为7.2;48.(2)设点A的横坐标为x,根据题意得,7.2x=48 ,解得x= ,故点A的坐标是 ,故答案为 .(3)书店与家的距离为48× =12千米.(4)由题图知B ,C ,故直线BC的解析式为y=48x-24,
当48x-24=3时,x= , - = (小时).答:爸爸出发 小时后,两人相距3千米.
12.(2019江西上饶广丰一模,22)某数学兴趣小组在探究函数y=|x2-4x+3|的图象和性质时,经历以下几个学 习过程:(1)列表(完成以下表格):
(2)描点并画出函数y=|x2-4x+3|的图象(在备用图1中描点并画图);
(3)根据图象完成以下问题:(i)观察图象,函数y=|x2-4x+3|的图象可由函数y1=x2-4x+3的图象如何变化得到?答: ;(ii)数学小组探究发现直线y=8与函数y=|x2-4x+3|的图象交于点E、F,E(-1,8),F(5,8),则不等式|x2-4x+3|>8 的解集是 ;(iii)设函数y=|x2-4x+3|的图象与x轴交于A、B两点(B位于A的右侧),与y轴交于点C.
①求直线BC的解析式;②探究应用:将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y=|x2-4x+3|的图象恰好有3个交点,求此时m的值.
解析 (1)表格中x=0时,对应两数为3,3;x=2时,对应两数为-1,1;x=5时,对应两数为8,8.(2)函数y=|x2-4x+3|的图象如图1所示. (3)(i)y=|x2-4x+3|的图象可由函数y1=x2-4x+3的图象将x轴下方的部分翻折到x轴上方而得到.(ii)结合图象,|x2-4x+3|>8时,y=|x2-4x+3|的图象在直线y=8的上方,∴解集是x>5或x<-1.(iii)①由(2)中图象知A(1,0),B(3,0),C(0,3),如图2,
∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),则 ∴ ∴y=-x+3. ②由图2可知,直线y=-x+3与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点,∴m=0时满足.设平移后的直线为y=-x+3+m,
考点一 平面直角坐标系内点的坐标特征
1.(2020四川成都,4,3分)在平面直角坐标系中,将点P(3,2)向下平移2个单位长度得到的点的坐标是 ( )A.(3,0) B.(1,2) C.(5,2) D.(3,4)
答案 A 将点P(3,2)向下平移2个单位长度,横坐标不变,纵坐标减2,∴平移点P后得到的点的坐标为(3, 0).故选A.
方法指导 将点向左平移n个单位长度,纵坐标不变,横坐标减n;将点向右平移n个单位长度,纵坐标不变, 横坐标加n;将点向上平移n个单位长度,横坐标不变,纵坐标加n;将点向下平移n个单位长度,横坐标不变, 纵坐标减n.
2.(2019甘肃兰州,10,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,将四边形ABCD先向下平移,再向右平移得到四 边形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),则点B1坐标为 ( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,4) D.(4,1)
答案 B ∵3=-3+6,3=5-2,∴将四边形ABCD先向下平移2个单位长度,再向右平移6个单位长度,得到四 边形A1B1C1D1,∴B1的坐标是(2,1),故选B.
3.(2019内蒙古呼和浩特,9,3分)已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A、B、C、D按逆时针依次排 列,若A点的坐标为(2, ),则B点与D点的坐标分别为 ( )A.(-2, ),(2,- )B.(- ,2),( ,-2)C.(- ,2),(2,- )D. ,
答案 B 如图所示,连接AO,DO,作AE⊥x轴,DF⊥y轴,∵四边形ABCD为正方形,O为对称中心,∴AO= DO,∠AOD=∠EOF=90°,∴∠1=∠2,∵∠AEO=∠DFO=90°,∴△AOE≌△DOF.∴OF=OE=2,DF=AE= ,∴D( ,-2),∵点B与点D关于原点对称,∴B(- ,2),故选B.
思路分析 根据题意画出图形,分别过点A,D作AE⊥x轴,DF⊥y轴,垂足分别为E,F,证△AOE≌△DOF,根 据点A的坐标求出点D的坐标,再由中心对称求出点B的坐标.
4.(2020新疆,13,5分)如图,在x轴,y轴上分别截取OA,OB,使OA=OB,再分别以点A,B为圆心,以大于 AB长为半径画弧,两弧交于点P.若点P的坐标为(a,2a-3),则a的值为 .
解析 由作图可知点P在∠BOA的平分线上,∴点P到x轴和y轴的距离相等,又∵点P在第一象限,点P的坐标为(a,2a-3),∴a=2a-3,∴a=3.故答案为3.
5.(2020广西北部湾经济区,17,3分)以原点为中心,把点M(3,4)逆时针旋转90°得到点N,则点N的坐标为 .
6.(2019江西,12,3分)在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直 线AB上,若DA=1,CP⊥DP于点P,则点P的坐标为 .
解析 (1)当点D在第一象限时,如图1. 图1∵CP⊥PD,∴∠CPD=90°,易证△COP∽△PAD.∴ = ,∴ = .∴(4-OP)OP=4,即OP2-4OP+4=0,即(OP-2)2=0,∴OP=2,∴点P的坐标为(2,0).(2)当点D在第四象限时,
①当点P在点A左侧时,如图2,∵CP⊥PD,∴∠CPD=90°,易证△COP∽△PAD,∴ = ,∴ = .∴OP2+4OP=4,∴(OP+2)2=8,∴OP+2=±2 .∴OP=2 -2或OP=-2 -2(舍).∴点P的坐标为(2-2 ,0). 图2
图3②当点P在点A右侧时,如图3,∵CP⊥PD,∴∠CPD=90°,易证△COP∽△PAD,∴ = ,∴ = .∴OP2-4OP=4.∴(OP-2)2=8,∴OP-2=±2 .∴OP=2+2 或OP=2-2 (舍).∴点P的坐标为(2+2 ,0).
综上,点P的坐标为(2,0),(2+2 ,0),(2-2 ,0).
7.(2018吉林,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负 半轴于点C,则点C的坐标为 .
考点二 函数的概念及三种表示方法
1.(2019内蒙古包头,5,3分)在函数y= - 中,自变量x的取值范围是 ( )A.x>-1 B.x≥-1C.x>-1且x≠2 D.x≥-1且x≠2
2.(2020湖北武汉,8,3分)一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开 始4 min内只进水不出水,从第4 min到第24 min内既进水又出水,从第24 min开始只出水不进水,容器内水 量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则图中a的值是 ( ) A.32 B.34 C.36 D.38
思路分析 由点(4,20)、(16,35)及题意可求每分钟的进水量和出水量,再求第24 min时容器内水量y,然 后求出第24 min后容器内水流完所用的时间即可求出a.
3.(2019黑龙江齐齐哈尔,7,3分)“六一”儿童节前夕,某部队战士到福利院慰问儿童.战士们从营地出发, 匀速步行前往文具店选购礼物,停留一段时间后,继续按原速步行到达福利院(营地、文具店、福利院三 地依次在同一直线上).到达后因接到紧急任务,立即按原路匀速跑步返回营地(赠送礼物的时间忽略不 计).下列图象能大致反映战士们离营地的距离s与时间t之间函数关系的是 ( )
答案 B 由题中的条件可知,该问题应分为远离,静止,远离,返回四段来考虑.①远离时,s随t的增加而缓慢增大;②静止时,s随t的增加不变;③再次远离时,s随t的增加而增大;④返回时,s随t的增加快速减小.结合图象,可得B正确.
4.(2020内蒙古包头,13,3分)函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
解析 根据题意得,x-3≠0,解得x≠3.
5.(2020重庆A卷,17,4分)A,B两地相距240 km,甲货车从A地以40 km/h的速度匀速前往B地,到达B地后停 止.在甲出发的同时,乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地,到达A地后停止.两车之间的路程y(km)与甲 货车出发时间x(h)之间的函数关系如图中的折线CD-DE-EF所示.其中点C的坐标是(0,240),点D的坐标 是(2.4,0),则点E的坐标是 .
思路分析 本题主要是理解两个转折点的意义.点D说明出发2.4小时后两车相遇,从而可求得乙的速度. 点E说明此时乙到达了A地,从而通过乙车行驶时间,确定了甲车的行驶时间和路程,从而可求得点E的坐 标.
6.(2020重庆A卷,22,10分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合 图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y= 性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.(1)请把下表补充完整,并在图中补全该函数图象;
(2)根据函数图象,判断下列关于该函数性质的说法是否正确,正确的在相应的括号内打“√”,错误的在 相应的括号内打“×”;①该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y轴. ( )②该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值.当x=1时,函数取得最大值3;当x=-1时,函数取得最 小值-3. ( )③当x<-1或x>1时,y随x的增大而减小;当-1
解析 (1)补充表格如下,补全的函数图象如图所示.
(4分)(2)①×.②√.③√. (7分)
(3)x<-1,-0.3
7.(2019江西,21,9分)数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:如图1,将长为12 cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上,一端A固定在桌面上,图2是 示意图.活动一如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转,AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点C与点O重 合.
数学思考(1)设CD=x cm,点B到OF的距离GB=y cm.①用含x的代数式表示:AD的长是 cm,BD的长是 cm;②y与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 .活动二
(2)①列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格;
②描点:根据表中数值,继续描出①中剩余的两个点(x,y);③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.数学思考(3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.
解析 (1)①(6+x);(6-x).②y= ,0≤x≤6.(2)①补全表格:
②③描点与连线: (3)①y随着x的增大而减小;②图象关于直线y=x对称;③函数y的取值范围是0≤y≤6.(写出两条即可)
思路分析 (1)①由于CD=x,所以AD=AC+CD=6+x,DB=CB-CD=6-x.②由题易证△GDB∽△ODA,得到 = ,即 = ,通过变形得到y= .由0≤CD≤ AB可得x的取值范围.(2)①将x=3,x=0分别代入y= 中,就可得到相应的y值.②根据①中的结果在平面直角坐标系中描点.③利用平滑的曲线连接各点.(3)根据图象,从变化趋势、对称性和取值范围等角度进行分析.
考点三 与函数有关的应用型问题
1.(2019辽宁大连,16,3分)甲、乙两人沿同一条直路走步,如果两人分别从这条路上的A,B两处同时出发, 都以不变的速度相向而行,图1是甲离开A处后行走的路程y(单位:m)与行走时间x(单位:min)的函数图象, 图2是甲、乙两人之间的距离s(单位:m)与甲行走时间x(单位:min)的函数图象,则a-b= .
解题关键 本题解题关键是能结合函数图象,得出甲、乙的速度.
2.(2019新疆,21,10分)某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克,销售了部分苹果后,余下的苹果每 千克降价4元销售,全部售完.销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示.请根据图象提供的信 息完成下列问题:(1)降价前苹果的销售单价是 元/千克;(2)求降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元?
解析 (1)16. (2分)(2)由题意得y=640+(16-4)(x-40)=12x+160. (6分)当y=760时,x=50.∴自变量的取值范围是40≤x≤50. (8分)(3)760-50×8=360(元),∴该水果店这次销售苹果盈利了360元. (10分)
3.(2020天津,23,10分)在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境. 已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上,食堂离宿舍0.7 km,图书馆离宿舍1 km. 周末,小亮从宿舍出发,匀速走了7 min到食堂;在食堂停留16 min吃早餐后,匀速走了5 min到图书馆;在图 书馆停留30 min借书后,匀速走了10 min返回宿舍.给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离y km与离开宿舍的时间x min之间的对应关系.
请根据相关信息,解答下列问题:(1)填表:
(2)填空: ①食堂到图书馆的距离为 km;②小亮从食堂到图书馆的速度为 km/min;③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 km/min;④当小亮离宿舍的距离为0.6 km时,他离开宿舍的时间为 min.(3)当0≤x≤28时,请直接写出y关于x的函数解析式.
解析 (1)由题意,食堂距宿舍0.7 km,用时7 min,所以0~7 min时速度为0.1 km/min,所以第5 min时,离宿舍 的距离为5×0.1=0.5 km;由图象可知,23 min时离宿舍的距离为0.7 km,30 min时离宿舍的距离为1 km.故 答案为0.5;0.7;1.(2)①由题意知,食堂距宿舍0.7 km,图书馆距宿舍1 km,因为宿舍、食堂、图书馆依次在一条直线上,所以 食堂距图书馆1-0.7=0.3 km.故答案为0.3.②由图象可知,从食堂到图书馆用时28-23=5 min,所以小亮从食堂到图书馆的速度为 =0.06 km/min.故答案为0.06.③由图象知,小亮从图书馆返回宿舍用时68-58=10 min,所以小亮从图书馆返回宿舍的速度为 =0.1 km/min.故答案为0.1.④由图象分析,小亮距宿舍0.6 km时是在去食堂的路上或从图书馆回宿舍的路上,当在去食堂的路上时, =6 min,当在从图书馆回宿舍的路上时,68- =62 min,故当6 min或62 min时,小亮距宿舍0.6 km.故答案为6或62.(3)由图象知,当0≤x≤7时,小亮的速度为0.1 km/min,故离宿舍的距离为y=0.1x;当7
答案 D ∵O(0,0),D(0,6),∴OD=6.∵四边形OBCD是正方形,∴BC=CD=OD=6,CD⊥OD,CB⊥OB,∴点 C的坐标是(6,6),故选D.
2.(2019山东青岛,6,3分)如图,将线段AB先向右平移5个单位,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°, 得到线段A'B',则点B的对应点B'的坐标是 ( ) A.(-4,1) B.(-1,2)C.(4,-1) D.(1,-2)
答案 D 将线段AB先向右平移5个单位,此时点B的对应点坐标为(2,1),再将所得线段绕原点顺时针旋 转90°,得线段A'B',则B'的坐标为(1,-2).
方法规律 在平面直角坐标系内,把一个图形的各点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,对应的新图形 就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把一个图形的各个点的纵坐标都加上(或减去)一个 正数a,对应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度;图形或点旋转之后要结合旋转的角 度和图形的特殊性质来求旋转后的对应点的坐标.
3.(2019浙江杭州,2,3分)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则 ( )A.m=3,n=2 B.m=-3,n=2C.m=2,n=3 D.m=-2,n=3
答案 B ∵点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),∴m=-3,n=2,故选B.
4.(2018湖北武汉,6,3分)点A(2,-5)关于x轴对称的点的坐标是 ( )A.(2,5) B.(-2,5)C.(-2,-5) D.(-5,2)
答案 A 关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以点A(2,-5)关于x轴对称的点的坐标为 (2,5).故选A.
5.(2018新疆,10,5分)点(-1,2)所在的象限是第 象限.
解析 因为-1<0,2>0,所以点(-1,2)所在的象限是第二象限.
1.(2018内蒙古包头,3,3分)函数y= 中,自变量x的取值范围是 ( )A.x≠1 B.x>0 C.x≥1 D.x>1
答案 D 根据题意得,x-1>0,则x>1.故选D.
2.(2020黑龙江齐齐哈尔,5,3分)李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山 的速度小于下山的速度,在登山的过程中,他行走的路程s随时间t的变化规律的大致图象是 ( )
答案 B 李强在登山过程中,可大致分为三个过程:①先匀速登上山顶;②在原地休息一段时间;③匀速下山,且下山速度比上山速度快.可采取排除法解决. 过程②中,李强原地休息,因此s随着时间t的变化不发生改变,即图象为平行于x轴的线段,故可排除A、C 选项;过程①和③中,上山和下山的速度均为匀速,但上山速度小于下山速度,因此,从图象上看,下山时对 应的图象应比上山时对应的图象更陡,故可排除D.因此选B.
3.(2020安徽,10,4分)如图,△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,它们的边BC,EF在同一条直线l上, 点C,E重合.现将△ABC沿着直线l向右移动,直至点B与F重合时停止移动.在此过程中,设点C移动的距离 为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图象大致为 ( )
答案 A ∵△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形,∴BC=EF=2,0≤x≤4.当0
4.(2019山东潍坊,9,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D.设运 动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是 ( )
5.(2019重庆A卷,8,4分)按如图所示的运算程序,能使输出y值为1的是 ( ) A.m=1,n=1 B.m=1,n=0C.m=1,n=2 D.m=2,n=1
答案 D 当m=1,n=1时,m=n,所以y=2m+1=2×1+1=3≠1,故A选项不符合题意;当m=1,n=0时,m>n,所以y=2n-1=2×0-1=-1≠1,故B选项不符合题意;当m=1,n=2时,m
6.(2017内蒙古呼和浩特,10,3分)函数y= 的大致图象是 ( )
答案 B 由解析式可知,当x取互为相反数的两个数(x≠0)时,y的值相等,所以函数的图象关于y轴对称, 故排除D选项;当x无限接近于0时,y的值接近于+∞,故排除A选项;当x=1时,y取最小值,最小值为2,故排除 C选项.故选B.
7.(2020黑龙江齐齐哈尔,12,3分)在函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
答案 x≥-3且x≠2
8.(2019河南,21,10分)模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用 “代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:(1)建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得xy=4,即y= ;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=-x+ ,满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标.(2)画出函数图象函数y= (x>0)的图象如图所示,而函数y=-x+ 的图象可由直线y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.
(3)平移直线y=-x,观察函数图象①当直线平移到与函数y= (x>0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为 ;②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.(4)得出结论若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为 .
解析 (1)一. (1分)(2)如图. (3分) (3)①8. (4分)把(2,2)代入y=-x+ 得2=-2+ ,解得m=8.②在直线平移过程中,交点个数还有0个,2个两种情况.
当有0个交点时,周长m的取值范围是0
解题关键 本题为运用函数图象解决实际问题型题目,理解函数图象的意义以及图象的性质是根本,根 据直线与双曲线的交点以及交点的个数确定m的值或其取值范围是解题关键.
9.(2018北京,24,6分)如图,Q是 与弦AB所围成的图形的内部的一定点,P是弦AB上一动点,连接PQ并延长交 于点C,连接AC.已知AB=6 cm,设A,P两点间的距离为x cm,P,C两点间的距离为y1 cm,A,C两点间的距离为y2 cm. 小腾根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的 图象; (3)结合函数图象,解决问题:当△APC为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.
解析 (1)通过画图观察可得当x=3时,y1=3.00.(2)如图所示. (3)3.00或4.83或5.86.在坐标系中画出直线y=x,则三个图象中,两两图象交点的横坐标即为△APC为等腰 三角形时线段AP的长度,则AP的长度约为3.00 cm 或4.83 cm或5.86 cm.
1.(2018内蒙古呼和浩特,2,3分)二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶,它与白昼时长密 切相关.当春分、秋分时,昼夜时长大致相等;当夏至时,白昼时长最长.根据下图,在下列选项中指出白昼 时长低于11小时的节气 ( ) A.惊蛰 B.小满 C.立秋 D.大寒
答案 D 由题图可知白昼时长低于11小时的节气有立春、立冬、冬至、大寒.故选D.
2.(2018重庆A卷,17,4分)A,B两地相距的路程为240千米,甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地,分别以 一定的速度匀速行驶.甲车先出发40分钟后,乙车才出发.途中乙车发生故障,修车耗时20分钟,随后,乙车 车速比发生故障前减少了10千米/时(仍保持匀速前行),甲、乙两车同时到达B地.甲、乙两车相距的路 程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示,则乙车修好时,甲车距B地还有 千米.
解析 甲车先出发40分钟 ,由题图可知,所行驶的路程为30千米,故甲车的速度为 =45千米/时.设乙车发生故障前的速度为v乙千米/时,可得45×2=10+ v乙,所以v乙=60,因此乙车发生故障后的速度为60-10=50千米/时.甲车走完全程所用时间为240÷45= 小时.设乙车发生故障时,已经行驶了a小时,可得60a+50× =240,解得a= ,所以乙车修好时,甲车行驶的时间为 + + = 小时,所以乙车修好时,甲车距B地还有45× =90千米.
解题关键 解决此类问题的关键是能够将实际问题情境与函数图象相互转换,能够从图象的横、纵两 个方向分别获取信息,判断相应的实际意义,运用数形结合的思想,找到解题的途径.
3.(2020内蒙古包头,23,10分)某商店销售A,B两种商品,A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40 元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元.(1)求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元;(2)该商店计划购进A,B两种商品共60件,且A,B两种商品的进价总额不超过7 800元,已知A种商品和B种 商品的每件进价分别为110元和140元,应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多?
思路分析 (1)设A种商品的销售单价是x元,B种商品的销售单价是y元,根据A种商品的销售单价比B种 商品的销售单价少40元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元,可列二元一次方程组,进而得解;(2)设总获利为w元,购进A种商品a件,则购进B种商品(60-a)件.由A,B两种商品的进价总额不超过7 800 元,得110a+140(60-a)≤7 800,求得a的取值范围.由A,B的利润和件数,可得总利润w关于a的一次函数,利 用一次函数的性质得解.
4.(2020贵州贵阳,22,10分)第33个国际禁毒日到来之际,贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题 的禁毒宣传月活动,某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下: (1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下,为什么说学习委员搞错了;(2)学习委员连忙拿出发票,发现的确错了,因为他还买了一本笔记本,但笔记本的单价已模糊不清,只能 辨认出单价是小于10元的整数,那么笔记本的单价可能是多少元?
解析 (1)设单价为6元的钢笔买了x支,则单价为10元的钢笔买了(100-x)支,根据题意,得6x+10(100-x)=1 300-378,解得x=19.5.因为钢笔的数量不可能是小数,所以学习委员搞错了.(2)设笔记本的单价为a元,根据题意,得6x+10(100-x)+a=1 300-378,整理,得x= a+ ,因为0
②当甲赶到排头位置时,求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m),求S甲与t 的函数关系式(不写t的取值范围);(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中 行进的路程.
解析 (1)①排头走的路程为2t m,则S头=2t+300. (2分)②甲从排尾赶到排头时,有4t=2t+300,得t=150.此时,S头=2×150+300=600. (5分)甲从排头返回的时间为(t-150)s,则S甲=600-4(t-150)=-4t+1 200. (7分)(2)设甲从排尾赶到排头用时为t1s,则2vt1=vt1+300,∴t1= .设甲返回到排尾用时为t2s,则300=2vt2+vt2,∴t2= .∴T=t1+t2= . (9分)队伍在此过程中行进的路程是Tv= ·v=400(m). (10分)
思路分析 (1)当v=2时,①排头走的路程为2t m,则有S头=2t+300;②甲赶到排头位置,即甲走的路程等于S 头,则4t=2t+300,求得t值,代入得出S头的值,甲从排头返回的时间为(t-150)s,最后得出S甲=600-4(t-150)=-4t+1 200;(2)分析得出甲从排尾赶到排头时有2vt1=vt1+300,解得t1= ,当甲从排头返回到排尾时,有300=2vt2+vt2,解得t2= ,可得T=t1+t2= ,最后得出队伍在此过程中行进的路程.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020甘肃兰州一诊,6)若点P(a-1,2a)在第二象限,则a的取值范围是 ( )A.-1
2.(2019云南昆明模拟,7)在平面直角坐标系中,点P(- ,6)在 ( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(2018湖北武汉武昌一模,6)点P关于x轴的对称点P1的坐标是(4,-8),则P点关于y轴的对称点P2的坐标是 ( )A.(-4,-8) B.(-4,8)C.(4,8) D.(4,-8)
答案 B 根据题意,得点P的坐标是(4,8),则P点关于y轴的对称点P2的坐标是(-4,8).故选B.
4.(2018四川宜宾二模,8)如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B 运动,到点B时停止运动;同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,点E、F的运动速度相同.设点E的运动 路程为x,△AEF的面积为y,则y与x之间函数关系的图象是 ( )
答案 A 当点F在PD上运动时,△AEF的面积y= AE·AD=2x(0≤x≤2);
当点F在DQ上运动时,△AEF的面积y= AE·AF= x(6-x)=- x2+3x(2
5.(2020辽宁鞍山铁东一模,12)在函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
答案 x≥-1且x≠0
解析 根据题意得x+1≥0且x≠0,解得x≥-1且x≠0.
6.(2020内蒙古包头4月模拟,15)在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1的对称点的坐标是 .
解析 ∵点P到直线x=1的距离为4-1=3,∴点P关于直线x=1的对称点P'到直线x=1的距离为3,∴点P'的横坐标为1-3=-2,又知点P与点P'的纵坐标相同,∴对称点P'的坐标为(-2,2).
7.(2020四川成都青白江一诊,12)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为 .
解析 过B作BD⊥OA于D,则∠BDO=90°,∵△OAB是等边三角形,∴OD=AD= OA=1.在Rt△BDO中,由勾股定理得BD= = = ,∴点B的坐标为(1, ).
8.(2018黑龙江哈尔滨南岗一模,12)函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
解析 由题意得,x+3≠0,解得x≠-3.
三、解答题(共31分)9.(2020上海青浦二模,22)某湖边健身步道全长1 500米,甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行.甲 先到达终点后立刻返回,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(米)与出发的时间x(分)之间的关系如 图中折线OA-AB所示.(1)用文字语言描述点A的实际意义;(2)求甲、乙两人的速度及两人相遇时x的值.
解析 (1)点A的实际意义为出发20分钟时,甲到达终点,此时甲、乙两人相距500米.(2)根据题意得,v甲= =75(米/分),v乙= =50(米/分).依题意,可列方程得75(x-20)+50(x-20)=500,解这个方程,得x=24.答:甲的速度是75米/分,乙的速度是50米/分,两人相遇时x的值为24.
10.(2019新疆乌鲁木齐高新区一模,21)“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选 择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红与同学相约到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,玩一 段时间后按原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路 程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示.(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为 km/h;(2)当1.5≤x≤2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式,并求乙地离小红家多少千米.
解析 (1)在OA段,小红骑车的速度为 =20 km/h,故答案为20.(2)当1.5≤x≤2.5时,设y=20x+b,把(1.5,10)代入得,10=20×1.5+b,解得b=-20,∴y=20x-20,当x=2.5时,y=20×2.5-20=30,∴乙地离小红家30千米.
11.(2020江西南昌一模,21)数学活动课上,小明同学根据学习函数的经验,对函数的图象、性质进行了探 究.下面是小明同学的探究过程,请补充完整:如图1,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm,点P为AB边上的一个动点,连接PC,设BP=x cm, CP=y cm.【初步感知】(1)当CP⊥AB时,x= ,y= ;【深入思考】(2)试求y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围;(3)通过取点测量,得到了x与y的几组值,如下表:
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)(i)建立平面直角坐标系,如图2,根据补全后的表格中各组对应值,画出该函数的图象;(ii)结合画出的函数图象,写出该函数的两条性质:① ;② .
解析 (1)当CP⊥AB时,∵∠CPB=∠ACB=90°,∴∠BCP=∠A=30°,∴BP= BC=1 cm,CP=BC·cs 30°= cm,∴x=1,y= .故答案为1; .(2)过点C作CD⊥AB于点D.∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm,∴由(1)知BD=1 cm,CD= cm.①当0≤x≤1时,如图1,PD=(1-x)cm,∴PC= = = ,∴y= .
②当1
方法总结 在利用函数图象判断函数性质时,一般从下面几个方面观察:1.图象位置,如在哪个象限;2.图 象的对称性,如轴对称性,中心对称性;3.图象的最高(低)点,即函数的最值;4.图象上升或下降的变化趋势, 即函数的增减性;5.图象与坐标轴的交点.
12.(2019天津南开一模,23)某商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:此卡只作为购物优恵凭证,不 能顶替货款),花300元买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的8折购物.将不购卡购物和使用优惠卡购 物分别视为方式一购物和方式二购物,设顾客购买商品的金额为x元.(1)根据题意,填写下表:
(2)顾客购买多少元的商品时,买卡与不买卡花钱相等? (3)小张要买一台标价为3 500元的冰箱,如何购买合算?小张能节省多少元钱?(4)小张按合算的方案把这台冰箱买下,如果该商场还能盈利25%,那么这台冰箱的进价是多少元?
解析 (1)当商品金额为x元时,按方式一购物的总费用为x元.当商品金额为600元时,按方式二购物的总费用为600×0.8+300=780(元);当商品金额为1 000元时,按方式二购物的总费用为1 000×0.8+300=1 100(元);当商品金额为x元时,按方式二购物的总费用为(300+0.8x)元,故从第一行起,从左往右依次填x,780,1 100,300+0.8x.(2)根据题意得300+0.8x=x,解得x=1 500.答:顾客购买1 500元的商品时,买卡与不买卡花钱相等.(3)按方式一购物的总费用(单位:元)为y1=x,按方式二购物的总费用(单位:元)为y2=300+0.8x,当x=3 500时,y1=3 500,y2=300+0.8x=300+3 500×0.8=3 100,∴y1-y2=3 500-3 100=400.答:小张买卡(按方式二购物)合算,能节省400元钱.(4)设这台冰箱的进价为a元,
根据题意得3 100-a=25%a,解得a=2 480.答:这台冰箱的进价是2 480元.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2020天津河西3月模拟,10)在平面直角坐标系中,将点A(x,-y)向上平移2个单位长度,再向左平移3个单 位长度,得到点A',则点A'的坐标是 ( )A.(x+3,2-y) B.(x+3,-y-2)C.(x-3,2-y) D.(x-3,-y-2)
答案 C 将点A(x,-y)向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到点A'的坐标为(x-3,-y+2).故 选C.
2.(2020黑龙江绥化一模,8)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,点P从A出发,以每秒2个单位沿A→B→C→D 运动,同时点Q也从A出发,以每秒1个单位沿A→D运动,△APQ的面积为y,运动的时间为x秒,则y关于x的 函数图象为 ( )
答案 A 当0≤x≤2时,y= ·x·2x=x2;当2
答案 A 延长DC交y轴于F,过C作CG⊥OA于G,CE⊥AB于E,过D作DH⊥OA于H. ∵CD∥x轴,∴DF⊥OB.∵∠BAO,∠ABO的平分线相交于点C,CF⊥BO,CE⊥BA,CG⊥AO,∴CF=CE,CE=CG,∴FC=CG=CE.∵OA=8,OB=6,∴tan∠OAB= = = ,∴设DH=3x,AH=4x,x>0,∴AD=5x.
∵CD∥OA,∴∠DCA=∠CAG.∵∠DAC=∠GAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=5x,由作图知四边形OGCF,四边形GHDC均为矩形,∴OG=CF,GH=CD,DH=CG,∴OA=3x+5x+4x=8,∴x= ,∴DH=2,OH= ,∴D .故选A.
4.(2018湖北孝感孝南一模,7)如图,在正方形ABCD中,点P从点A出发,沿着正方形的边顺时针运动一周, 则△APC的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系图象大致是( )
5.(2019贵州毕节模拟,14)如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为 (0,3 ),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线翻折后,点C落在点D处,则点D的坐标为 ( ) A. B. C. D.
答案 A ∵四边形AOBC是矩形,∠ABO=30°,点B的坐标为(0,3 ),∴AC=OB=3 ,∠CAB=30°,∴BC=AC·tan 30°=3 × =3.∵将△ABC沿AB所在直线翻折后,点C落在点D处,∴∠BAD=30°,AD=3 ,
过点D作DM⊥x轴于点M,∵∠CAB=∠BAD=30°,∠CAO=90°,∴∠DAM=30°,∴DM= AD= ,AM=3 ×cs 30°= ,∴MO= -3= ,∴点D的坐标为 .故选A.
6.(2018黑龙江哈尔滨模拟,10)快车与慢车分别从相距420千米的甲、乙两地同时相向出发,匀速而行,快 车到达乙地后停留1小时,然后按原路原速返回,快车比慢车晚1小时到达甲地.快、慢两车距各自出发地 的路程y(千米)与所用的时间x(小时)的关系如图所示,下列说法正确的有 ( )①快车返回的速度为140千米/时;②慢车的速度为70千米/时;
③出发 小时时,快、慢两车距各自出发地的路程相等;④快、慢两车出发 小时时相距150千米.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 D ∵快车到达乙地后停留1小时,快车比慢车晚1小时到达甲地,∴快车往返行驶的时间与慢车 驶往甲地的时间相同,∴快车的速度= =140(千米/时),故①正确;慢车的速度= =70(千米/时),故②正确;出发 小时时,快车在返回的途中,则快车行驶的路程= ×140= 千米,又此时慢车行驶的路程= ×70= 千米,且420×2- = 千米,∴快、慢两车距各自出发地的路程相等,故③正确;由已知易得,出发 小时时,快、慢两车还没有相遇,两车相距420- ×(140+70)=420-270=150(千米),故④正确.综上所述,说法正确的有①②③④,共4个.故选D.
二、填空题(每小题3分,共9分)7.(2020辽宁大连金州一模,16)五一期间李师傅一家开车去旅游,出发前油箱里有50升油,下面的两幅图 分别描述了行驶里程及耗油情况,行驶130千米时,油箱里剩余油量为 升.
8.(2019云南曲靖一模,14)如图所示,在平面直角坐标系中,A(0,0),B(2,0),△AP1B是等腰直角三角形且∠P1 =90°,把△AP1B绕点B顺时针旋转180°,得到△CP2B,把△CP2B绕点C顺时针旋转180°,得到△DP3C,依此类 推,得到的等腰直角三角形的直角顶点P2 019的坐标为 .
答案 (4 037,1)
解析 作P1H⊥x轴于H, ∵△AP1B是等腰直角三角形,A(0,0),B(2,0),∴P1H= AB=1,AH=BH=1,∴P1(1,1).∵把△AP1B绕点B顺时针旋转180°,得到△CP2B;把△CP2B绕点C顺时针旋转180°,得到△DP3C,……,∴P2(3,-1),P3(5,1),P4(7,-1),P5(9,1),……,
∴P2 019的纵坐标为1,横坐标为2 019×2-1=4 037,∴P2 019(4 037,1).
9.(2018吉林长春德惠一模,14)如图,边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合,AF∥x轴,将 正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次,每次旋转60°.当n=2 017时,顶点A的坐标为 .
解析 ∵2 017×60°÷360°=336……1,∴当n=2 017时,点A的坐标与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋 转1次时点A对应点的坐标是一样的.当n=1时,点A对应点与原F点重合.
如图,连接OF,过点F作FH⊥x轴,垂足为H.∵EF=4,∠FOE=60°,OF=OE(正六边形的性质),
三、解答题(共28分)10.(2020湖北荆州4月模拟,21)参照学习函数的过程与方法,探究函数y= (x≠0)的图象与性质.因为y= =1- ,即y=- +1,所以我们对比函数y=- 来探究.列表:
描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以y= 相应的函数值为纵坐标,描出相应的点,如图所示.(1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来;(2)观察图象并分析表格,回答下列问题:①当x<0时,y随x的增大而 ;(填“增大”或“减小”)②y= 的图象是由y=- 的图象向 平移 个单位得到的;③图象关于点 中心对称;(填点的坐标)(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y= 的图象上的两点,且x1+x2=0,试求y1+y2+3的值.
解析 (1)函数图象如图所示: (2)①当x<0时,y随x的增大而增大;②y= 的图象是由y=- 的图象向上平移1个单位得到的;③图象关于点(0,1)中心对称.(3)∵x1+x2=0,∴x1=-x2,∴A(x1,y1),B(x2,y2)关于点(0,1)对称,
∴y1+y2=2,∴y1+y2+3=5.
11.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,23)周末,小明从家步行去书店看书,出发 小时距家1.8千米时,爸爸驾车从家沿相同路线追赶小明,在A地追上小明后,二人驾车继续前行到达书店,小明在书店(B地)看书,爸爸去 单位(C地)办事.如图是小明与爸爸两人之间的距离s(千米)与小明出发的时间t(小时)之间的函数图象(小 明步行速度与爸爸驾车速度始终保持不变,彼此交流时间忽略不计),请根据图象回答下列问题.(1)小明步行速度是 千米/小时,爸爸驾车速度是 千米/小时;(2)图中点A的坐标是 ;(3)求书店与家的距离;(4)求爸爸出发多长时间,两人相距3千米.
解析 (1)小明步行速度为 =7.2千米/小时;爸爸驾车速度为 =48千米/小时.故答案为7.2;48.(2)设点A的横坐标为x,根据题意得,7.2x=48 ,解得x= ,故点A的坐标是 ,故答案为 .(3)书店与家的距离为48× =12千米.(4)由题图知B ,C ,故直线BC的解析式为y=48x-24,
当48x-24=3时,x= , - = (小时).答:爸爸出发 小时后,两人相距3千米.
12.(2019江西上饶广丰一模,22)某数学兴趣小组在探究函数y=|x2-4x+3|的图象和性质时,经历以下几个学 习过程:(1)列表(完成以下表格):
(2)描点并画出函数y=|x2-4x+3|的图象(在备用图1中描点并画图);
(3)根据图象完成以下问题:(i)观察图象,函数y=|x2-4x+3|的图象可由函数y1=x2-4x+3的图象如何变化得到?答: ;(ii)数学小组探究发现直线y=8与函数y=|x2-4x+3|的图象交于点E、F,E(-1,8),F(5,8),则不等式|x2-4x+3|>8 的解集是 ;(iii)设函数y=|x2-4x+3|的图象与x轴交于A、B两点(B位于A的右侧),与y轴交于点C.
①求直线BC的解析式;②探究应用:将直线BC沿y轴平移m个单位后与函数y=|x2-4x+3|的图象恰好有3个交点,求此时m的值.
解析 (1)表格中x=0时,对应两数为3,3;x=2时,对应两数为-1,1;x=5时,对应两数为8,8.(2)函数y=|x2-4x+3|的图象如图1所示. (3)(i)y=|x2-4x+3|的图象可由函数y1=x2-4x+3的图象将x轴下方的部分翻折到x轴上方而得到.(ii)结合图象,|x2-4x+3|>8时,y=|x2-4x+3|的图象在直线y=8的上方,∴解集是x>5或x<-1.(iii)①由(2)中图象知A(1,0),B(3,0),C(0,3),如图2,
∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),则 ∴ ∴y=-x+3. ②由图2可知,直线y=-x+3与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点,∴m=0时满足.设平移后的直线为y=-x+3+m,
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