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2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§3.2 一次函数
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这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§3.2 一次函数，共60页。
考点一 一次函数的图象与性质
1.(2019陕西,4,3分)若正比例函数y=-2x的图象经过点(a-1,4),则a的值为 ( )A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 A 把(a-1,4)代入y=-2x,得-2(a-1)=4,解得a=-1,故选A.
2.(2018辽宁沈阳,8,2分)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k和b的取值范围是 ( )A.k>0,b>0 B.k>0,b<0C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
答案 C 由图象得,y随x的增大而减小,所以k<0.因为直线与y轴交于正半轴,所以b>0.
3.(2020四川成都,12,4分)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x值的增大而增大,则常数m的取值范围为 .
4.(2020天津,16,3分)将直线y=-2x向上平移1个单位长度,平移后直线的解析式为 .
答案 y=-2x+1
解析 由“上加下减”的原则可知,将直线y=-2x向上平移1个单位长度所得直线的解析式为y=-2x+1.
解题技巧 本题考查了一次函数图象的平移变换:一次函数y=kx+b(k≠0)图象的平移遵循“上加下减, 左加右减”的原则:上下平移操作“b”,左右平移操作“x”.例如:对于一次函数y=kx+b(k≠0),若函数图 象向上平移m(m>0)个单位长度,则平移后得到的直线解析式为y=kx+b+m(k≠0);若函数图象向下平移m (m>0)个单位长度,则平移后得到的直线解析式为y=kx+b-m(k≠0);若函数图象向左平移m(m>0)个单位长 度,则平移后得到的直线解析式为y=k(x+m)+b(k≠0);若函数图象向右平移m(m>0)个单位长度,则平移后 得到的直线解析式为y=k(x-m)+b(k≠0).
5.(2019天津,16,3分)直线y=2x-1与x轴交点坐标为 .
6.(2019四川成都,13,4分)已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 .
解析 由题意得k-3<0,所以k<3.
7.(2019江西,17,6分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为 , ,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.(1)求点C的坐标;(2)求线段BC所在直线的解析式.
解析 (1)过点B作BD⊥x轴于点D,则∠ADB=90°. ∵A ,B ,∴DA= ,DB=1.∴AB=2.∴sin∠BAD= ,∴∠BAD=30°.∵△ABC为等边三角形,∴AC=AB=2,∠BAC=60°.∴∠CAD=90°.∴点C的坐标为 .
(2)设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,k≠0.将 , 代入,得 解得 ∴线段BC所在直线的解析式为y=- x+ .
考点二 一次函数与方程、不等式之间的联系
1.(2020浙江杭州,6,3分)在平面直角坐标系中,已知函数y=ax+a(a≠0)的图象经过点P(1,2),则该函数的图 象可能是 ( )
答案 A ∵函数y=ax+a(a≠0)的图象经过点P(1,2),∴2=a+a,解得a=1,∴y=x+1,∴直线交y轴于正半轴, 且经过点(1,2).故选A.
2.(2020陕西,7,3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B, 则△AOB的面积为 ( )A.2 B.3 C.4 D.6
3.(2020江苏苏州,12,3分)若一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点(m,0),则m= .
解析 由题意得,3m-6=0,解得m=2.
4.(2019贵州贵阳,12,4分)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的 方程组 的解是 .
5.(2019重庆A卷,23,10分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象 研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过描点或平移的方法画出了 所学的函数图象.同时,我们也学习了绝对值的意义:|a|= 结合上面经历的学习过程,现在来解决下面的问题:在函数y=|kx-3|+b中,当x=2时,y=-4;当x=0时,y=-1.(1)求这个函数的表达式;(2)在给出的平面直角坐标系中,请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质;(3)已知函数y= x-3的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式|kx-3|+b≤ x-3的解集.
解析 (1)将x=2,y=-4和x=0,y=-1分别代入y=|kx-3|+b中,得 解得 ∴这个函数的表达式是y= -4. (3分)(2)函数图象如图: (5分)
函数的性质(写出其中一条即可):①当x<2时,函数值y随x的增大而减小;当x>2时,函数值y随x的增大而增大;②当x=2时,函数有最小值,最小值是-4. (7分)(3)不等式的解集是1≤x≤4. (10分)
考点三 一次函数的应用问题
1.(2020吉林,23,8分)某种机器工作前先将空油箱加满,然后停止加油立即开始工作.当停止工作时,油箱 中油量为5 L.在整个过程中,油箱里的油量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示.(1)机器每分钟加油量为 L,机器工作的过程中每分钟耗油量为 L;(2)求机器工作时y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.
解析 (1)3;0.5. (2分)详解:机器每分钟加油量为 =3(L),机器工作的过程中每分钟耗油量为 =0.5(L).(2)设机器工作时y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).由题意,得 (3分)解得 (4分)∴机器工作时y关于x的函数解析式为y=- x+35(10≤x≤60). (6分)(3)5或40. (8分)详解:设机器加油过程中,y关于x的函数解析式为y=mx(m≠0),
将(10,30)代入得10m=30,解得m=3.则机器加油过程中,y关于x的函数解析式为y=3x(0≤x<10).油箱中油量为油箱容积的一半时,有以下两种情况:①在机器加油过程中,当y= =15时,3x=15,解得x=5;②在机器工作过程中,当y= =15时,- x+35=15,解得x=40.
解后反思 本题考查了一次函数图象的运用,求解时需要善于从抽象的函数图象中找出实际的量,然后 根据实际需要计算出相应的结果,同时还应明确每条线段所代表的实际含义.
2.(2020黑龙江齐齐哈尔,22,10分)团结奋战,众志成城,齐齐哈尔市组织援助医疗队,分别乘甲、乙两车同 时出发,沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800 km,在行驶过程中乙车速度始终保持80 km/h,甲车先以一定速度行驶了500 km,用时5 h,然后再以乙车的速度行驶,直至到达绥芬河(加油、休息 时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)的关系如图所示,请结合图象解答下 列问题:(1)甲车改变速度前的速度是 km/h,乙车行驶 h到达绥芬河;(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数解析式,不用写出自变量x的取 值范围;(3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程还有 km;出发 h时,甲、乙两车第一次相距 40 km.
解析 (1)甲车改变速度前的速度是 =100 km/h.乙车到达绥芬河所需要的时间是 =10 h.故答案为100;10.(2)∵乙车速度为80 km/h,∴甲车到达绥芬河的时间为5+ = (h).甲车改变速度后,到达绥芬河前,设所求函数解析式为y=kx+b(k≠0).将(5,500)和 代入,得 ∴k=80,b=100.∴y=80x+100.故甲车改变速度后,到达绥芬河前的函数解析式为y=80x+100.甲车到达绥芬河后,函数解析式为y=800.(3)由(2)知甲车用了 h到达绥芬河,此时乙车行驶的路程为 ×80=700 km,距绥芬河还有800-700=100
km,设出发t h后,甲、乙两车第一次相距40 km,∵甲、乙两车同时出发且甲车速度大于乙车速度,∴100t-80t=40,解得t=2.故答案为100;2.
3.(2020陕西,21,7分)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农 科所的温室中生长,长到大约20 cm时,移至该村的大棚内,沿插杆继续向上生长.研究表明,60天内,这种瓜 苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式;(2)当这种瓜苗长到大约80 cm时,开始开花结果,试求这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约多少天,开始开 花结果.
解析 (1)当0≤x≤15时,设y=kx(k≠0),则20=15k,∴k= .∴y= x. (2分)当15≤x≤60时,设y=k'x+b(k'≠0),则 解之,得 ∴y= x-30.∴y= (5分)(2)当y=80时,80= x-30.解之,得x=33. (6分)33-15=18(天).
∴这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约18天,开始开花结果. (7分)
疑难突破 (1)求y与x之间的函数关系式时要分类讨论,第15天是分界线.(2)将y=80代入(1)中的关系式进 行求值,同时要注意所求的是这种瓜苗移至大棚后生长的天数,记得要减去15.
4.(2019吉林长春,21,8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/ 时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止. 甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示. (1)乙车的速度为 千米/时,a= ,b= ;(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式;
(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的距离.
解析 (1)75;3.6;4.5.详解:在图上标注如图所示的四个点,点N表示两车相遇. 则2(v甲+v乙)=270,又v甲=60千米/时,所以v乙=75千米/时.点C表示乙车到达A地,用时t乙= =3.6(小时),
则a=3.6.点D表示甲车到达B地,用时t甲= =4.5(小时),则b=4.5.(2)易知点N(2,0).当乙车到达A地时,甲车走了60×3.6=216千米,所以C(3.6,216),设NC段函数解析式为y=kx+b(2≤x≤3.6),将N、C点坐标代入得 解得 所以y=135x-270(2≤x≤3.6).由(1)知D(4.5,270),设CD段函数解析式为y=mx+n(3.6≤x≤4.5),将C、D点坐标代入得 解得 所以y=60x(3.6≤x≤4.5).综上所述,甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式为y=
(3)当甲车到达距B地70千米处时,甲车走了270-70=200千米,用时 = (小时),同样时间乙车走了 ×75=250千米,所以两车相距250-70=180千米.
5.(2019黑龙江齐齐哈尔,22,10分)甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该 公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行.货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维 修,货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通 知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地.已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x (小时)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)货车的速度是 千米/小时;轿车的速度是 千米/小时;t值为 ;
(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.
解析 (1)由题图知,当x=0时,货车距乙地50千米.又∵货车比轿车早出发1小时,∴货车速度为50千米/小时.∵甲、乙两地相距400千米,∴货车需要 =8小时到达,则轿车行驶时间为8-1-1=6小时.∴t= =3,∴轿车速度为 =80千米/小时.故答案为50,80,3. (3分)(2)由题意可得A(3,240),B(4,240),C(7,0),设直线OA的解析式为y=k1x(k1≠0),将A点坐标代入可得k1=80,∴y=80x(0≤x<3). (5分)
当3≤x<4时,y=240. (6分)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将(4,240)和(7,0)代入可得 ∴ ∴y=-80x+560(4≤x≤7), (7分)∴y= (8分)(3)3小时或5小时. (10分) 详解:当货车与轿车相遇前相距90千米时,可得线段图如图,
∴80x+90+50x+50=400,解得x=2.此时货车出发3小时.当货车与轿车相遇后相距90千米时,可得线段图如图.
∴560-80x+50x+50=400+90,解得x=4.此时货车出发5小时.综上所述,货车出发3小时或5小时两车相距90千米.
6.(2019云南,22,9分)某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本 为6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y(千 克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示: (1)求y与x的函数解析式(也称关系式);(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值.
解析 (1)当6≤x≤10时,由题意设y=kx+b(k≠0),它的图象经过点(6,1 000)与点(10,200),∴ 解得 即y=-200x+2 200. (2分)当100,∴W=200x-1 200随着x的增大而增大.
又∵101 200,∴W的最大值为1 250.答:这一天销售西瓜获得的利润的最大值为1 250元. (9分)
1.(2020安徽,7,4分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是 ( )A.(-1,2) B.(1,-2) C.(2,3) D.(3,4)
答案 B ∵y随x的增大而减小,∴k<0,代入坐标验证只有选项B符合.
2.(2020广东广州,6,3分)一次函数y=-3x+1的图象过点(x1,y1),(x1+1,y2),(x1+2,y3),则 ( )A.y1
答案 B 将函数y=3x的图象向上平移6个单位长度得y=3x+6的图象,令3x+6=0,解得x=-2,所以平移后的 图象与x轴交点的坐标为(-2,0),故选B.
4.(2017内蒙古呼和浩特,6,3分)一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案 A 由“y随x的增大而减小”可知k<0,又kb>0,所以b<0,所以函数y=kx+b的图象过第二、三、四 象限.故选A.
5.(2018陕西,4,3分)如图,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为( ) A.-2 B.- C.2 D.
6.(2019山东潍坊,14,3分)当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,k的取值范围是 .
解析 ∵直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限,∴2-2k<0,k-3<0,∴k>1,k<3,∴1
1.(2019浙江杭州,8,3分)已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b).函数y1和y2的图象可能是 ( )
答案 A y1=ax+b的图象与y轴的交点为(0,b),与x轴的交点为 .y2=bx+a的图象与y轴的交点为(0,a),与x轴的交点为 .当x=1时,y1=y2,∴y1与y2的图象的交点的横坐标为1.①当a>0,b>0时,y1,y2的图象与y轴的交点均在y轴的正半轴上,与x轴的交点均在x轴的负半轴上,故A正确.②当a<0,b<0时,y1,y2的图象与y轴的交点均在y轴的负半轴上,与x轴的交点均在x轴的负半轴上,故C错误.③当a>0,b<0或a<0,b>0时,y1,y2的图象与x轴的交点均在x轴的正半轴上,故B,D错误.
2.(2019江苏苏州,7,3分)若一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)的图象经过点A(0,-1),B(1,1),则不等式kx +b>1的解集为 ( )A.x<0 B.x>0 C.x<1 D.x>1
方法指导 根据一次函数图象经过的点的坐标,描点画出图象,利用图象法求不等式的解集.
3.(2018陕西,7,3分)若直线l1经过点(0,4),l2经过点(3,2),且l1与l2关于x轴对称,则l1与l2的交点坐标为( )A.(2,0) B.(-2,0)C.(6,0) D.(-6,0)
4.(2017陕西,7,3分)如图,已知直线l1:y=-2x+4与直线l2:y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的 交点为A(-2,0),则k的取值范围是 ( ) A.-2
解析 (1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,∴k=1. (1分)∵一次函数y=x+b的图象过点(1,2),∴1+b=2,∴b=1. (2分)∴这个一次函数的解析式为y=x+1. (3分)(2)m≥2. (5分)详解:当x>1时,函数y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值,即函数y=mx(m≠0)的图象在直线y=x+1上方,临界 条件为当x=1时,两条直线都过点(1,2),此时m=2,当m>2时,两个函数图象的交点向左移动,也能满足当x>1时,y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值.∴m的取 值范围为m≥2.
6.(2020湖南常德,21,7分)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(3,18)和B(-2,8)两点.(1)求一次函数的解析式;(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象只有一个交点,求交点坐标.
解析 (1)把A(3,18)和B(-2,8)代入y=kx+b(k≠0),得 (1分)解得 ∴一次函数的解析式为y=2x+12. (3分)(2)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象只有一个交点,∴ 只有一组解,即2x2+12x-m=0有两个相等的实数根. (4分)∴Δ=122-4×2×(-m)=0,∴m=-18. (5分)把m=-18代入,求得该方程的解为x1=x2=-3. (6分)把x=-3代入y=2x+12得y=6,即所求交点的坐标为(-3,6). (7分)
7.(2019江苏南京,23,8分)已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)和y2=x-3.(1)当k=-2时,若y1>y2,求x的取值范围;(2)当x<1时,y1>y2.结合图象,直接写出k的取值范围.
解析 (1)当k=-2时,y1=-2x+2.根据题意,得-2x+2>x-3,解得x< . (4分)(2)当x=1时,y2=x-3=-2,把(1,-2)代入y1=kx+2,得k+2=-2,解得k=-4,画出图象,如图:
∵k≠0,∴当-4≤k≤1且k≠0时,y1>y2. (8分)
8.(2018重庆A卷,22,10分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B,把点A向左 平移2个单位,再向上平移4个单位,得到点C.过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D.(1)求直线CD的解析式;(2)直线AB与CD交于点E,将直线CD沿EB方向平移,平移到经过点B的位置结束,求直线CD在平移过程中 与x轴交点的横坐标的取值范围.
解析 (1)∵直线y=-x+3过点A(5,m),∴-5+3=m.解得m=-2. (1分)∴点A的坐标为(5,-2).由平移可得点C的坐标为(3,2). (2分)∵直线CD与直线y=2x平行,∴设直线CD的解析式为y=2x+b(b≠0). (3分)∵点C(3,2)在直线CD上,∴2×3+b=2.解得b=-4.∴直线CD的解析式为y=2x-4. (5分)(2)直线CD经过点E,此时直线的解析式为y=2x-4.令y=0,得x=2. (6分)∵直线y=-x+3与y轴交于点B,∴B(0,3).当直线CD平移到经过点B(0,3)时,设此时直线的解析式为y=2x+n(n≠-4),
把(0,3)代入y=2x+n,得n=3.∴此时直线的解析式为y=2x+3. (7分)令y=0,得x=- . (8分)∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为- ≤x≤2. (10分)
1.(2020宁夏,24,8分)“低碳生活,绿色出行”是一种环保、健康的生活方式,小丽从甲地匀速步行前往乙 地,同时,小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地,两人之间的距离y(m)与步行时间x(min) 之间的函数 关系如图中折线段AB—BC—CD所示.(1)小丽与小明出发 min相遇;(2)在步行过程中,若小明先到达甲地.①求小丽和小明步行的速度各是多少.②计算出点C的坐标,并解释点C的实际意义.
解析 (1)30. (1分)(2)①设小丽步行的速度为v1 m/min,小明步行的速度为v2 m/min.则 解得 答:小丽步行的速度为80 m/min,小明步行的速度为100 m/min. (4分)②设点C的坐标为(x,y).则(100+80)(x-30)+80(67.5-x)=5 400,解得x=54. (5分)y=180×(54-30)=4 320.所以点C(54,4 320). (6分)点C表示两人出发54 min时,小明到达甲地,此时两人相距4 320 m. (8分)
思路分析 (1)B点的横坐标即为所求.(2)①设小丽与小明的速度分别为v1 m/min和v2 m/min,由折线图找 到两个等量关系:两人相遇时共走了5 400 m;相遇后小丽到乙地的距离等于小明从乙地出发到相遇地的 距离,然后列方程组求解.②设点C的坐标为(x,y),由折线图可知小明到达甲地后,小丽继续向乙地步行,由 相遇后两人共走5 400 m可列方程求出x,问题解决.
2.(2020云南,21,8分)众志成城抗疫情,全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆,运送260吨物 资到A地和B地,支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资,这20辆货车恰好装 完这批物资.已知这两种货车的运费如下表:
现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地,其 余前往B地,设前往A地的大货车有x辆,这20辆货车的总运费为y元.(1)这20辆货车中,大货车、小货车各有多少辆?(2)求y与x的函数解析式,并直接写出x的取值范围;(3)若运往A地的物资不少于140吨,求总运费y的最小值.
解析 (1)设大货车有a辆,小货车有b辆,根据题意得 解得 答:这20辆货车中,大货车有12辆,小货车有8辆. (2分)(2)前往A地的货车共有10辆,其中大货车有x辆,则前往A地的小货车有(10-x)辆,前往B地的大货车有(12 -x)辆,前往B地的小货车有8-(10-x)=(x-2)辆,根据题意得y=900x+500(10-x)+1 000(12-x)+700·(x-2),化简得y=100x+15 600. (4分)x的取值范围为2≤x≤10,且x是正整数.答:y与x的函数解析式为y=100x+15 600,x的取值范围为2≤x≤10,且x是正整数. (5分)(3)根据题意得15x+10(10-x)≥140,解得x≥8.由(2)知2≤x≤10,∴8≤x≤10. (6分)又∵y=100x+15 600,100>0,∴y随x的增大而增大,∴当x=8时,y最小,且y最小=100×8+15 600=16 400.
答:若运往A地的物资不少于140吨,总运费y的最小值为16 400元.(8分)
思路分析 (1)根据所给的运输方案,列出二元一次方程组,求解即可;(2)用含x的代数式分别表示出运往 A、B两地大、小货车的费用,求和得出y与x的函数解析式,并由实际意义得出x的取值范围;(3)根据题意 列出一元一次不等式,求得满足条件的x的取值范围,运用一次函数的性质求出y的最小值.
3.(2020山东青岛,20,8分)为让更多的学生学会游泳,少年宫新建一个游泳池,其容积为480 m3,该游泳池有 甲、乙两个进水口,注水时每个进水口各自的注水速度保持不变,同时打开甲、乙两个进水口注水,游泳 池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)根据图象求游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式,并写出同时打开甲、乙两个进水 口的注水速度;(2)现将游泳池的水全部排空,对池内消毒后再重新注水.已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是 单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍,求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时.
解析 (1)设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据图象过点(0,100),(2,380),得 解得 ∴游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式为y=140x+100.同时打开甲、乙两个进水口的注水速度为 =140(m3/h).(2)设单独打开甲进水口注满游泳池需m小时,则单独打开乙进水口注满游泳池需m÷ = m(小时).由题意得 + =140,解得m=8,经检验,m=8是原方程的解,且符合题意.答:单独打开甲进水口注满游泳池需8小时.
一题多解 (2)∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍,∴甲进水口注水的速度是乙进水口注水速度的 .∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140 m3/h,∴甲进水口的注水速度为140÷ × =60(m3/h),则单独打开甲进水口注满游泳池需480÷60=8(h).
4.(2018河南,21,10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之 间满足一次函数关系.关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表:
(注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是 元.当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是 元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1) 中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超 过多少元?
解析 (1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k≠0,由题意得 解得 ∴y关于x的函数解析式为y=-5x+600. (3分)当x=115时,m=-5×115+600=25. (4分)(2)80;100;2 000. (7分)提示:设该产品的成本单价是a元,由875=175×(85-a)得a=80.w=y·(x-80)=(-5x+600)(x-80)=-5(x-100)2+2 000, 根据二次函数知识求w的最大值及相应x的值.(3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-5×90+600)·(90-a)≥3 750.解得a≤65.答:该产品的成本单价应不超过65元. (10分)
5.(2018云南,21,8分)某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题,带领大家致富.经过调查研究,他们决定利用 当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品.为科学决策,他们试生产A、B两种商品共100千克进行 深入研究.已知现有甲种原料293千克,乙种原料314千克.生产1千克A商品,1千克B商品所需要的甲、乙 两种原料及生产成本如下表所示:
设生产A种商品x千克,生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元,根据上述信息,解答下列问题:(1)求y与x的函数解析式(也称关系式),并直接写出x的取值范围;(2)x取何值时,总成本y最小?
解析 (1)由题意得y=120x+200(100-x)=-80x+20 000, (3分)x的取值范围为24≤x≤86. (6分)提示:由 解得24≤x≤86.(2)∵-80<0,∴y随x的增大而减小. (7分)∴当x取最大值86时,y的值最小.∴当x=86时,总成本y最小. (8分)
6.(2017上海,22,10分)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案.甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系,如图所示.乙公司方案:绿化面积不超过1 000平方米时,每月收取费用5 500元;绿化面积超过1 000平方米时,每月在 收取5 500元的基础上,超过部分每平方米收取4元.(1)求如图所示的y与x的函数解析式;(不要求写出定义域)(2)如果某学校目前的绿化面积是1 200平方米,试通过计算说明:选择哪家公司的服务,每月的绿化养护 费用较少.
解析 (1)设y=kx+b(k≠0).将(100,900),(0,400)代入上式,得 ∴ ∴所求函数的解析式为y=5x+400.(2)若选择甲公司,则费用为5×1 200+400=6 400(元),若选择乙公司,则费用为5 500+4×(1 200-1 000)=6 300(元),∵6 300<6 400,∴应选择乙公司,每月的绿化养护费用较少.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共15分)
1.(2020甘肃兰州一诊,8)一次函数y=3x-2的图象不经过( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案 B ∵一次函数y=3x-2中,k=3>0,b=-2<0,∴该函数的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象 限.故选B.
2.(2020内蒙古包头4月模拟,6)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,点(k-1,3k+5)是其图 象上的点,则k的值为 ( )A.3 B.5 C.-1 D.-3
答案 C 把x=k-1,y=3k+5代入y=kx中,可得3k+5=k(k-1),解得k1=-1,k2=5.因为正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,所以k<0,所以k=-1,故选C.
3.(2018贵州铜仁沿河4月模拟,9)已知直线y=kx+b,若k+b=-5,kb=6,那么该直线不经过 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案 A ∵k+b=-5,kb=6,∴k<0,b<0,∴直线y=kx+b经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故选A.
4.(2020云南红河州开远模拟,13)如图,点B、C分别在直线y=2x和y=kx上,点A,D是x轴上的两点,已知四边 形ABCD是正方形,则k的值为 ( ) A. B. C.1 D.
5.(2019上海松江二模,4)如图,一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,0)与(0,2),则关于x的不等式kx+b>0的解 集是 ( )A.x>-1 B.x<-1C.x>2 D.x<2
答案 A 由题意可得一次函数y=kx+b中,y>0时,图象在x轴上方,此时x>-1,则关于x的不等式kx+b>0的解 集是x>-1,故选A.
二、填空题(每小题3分,共12分)6.(2020天津河西3月模拟,16)直线y=x+2与x轴的交点坐标为 .
解析 在y=x+2中,令y=0,得x=-2,∴直线y=x+2与x轴的交点坐标为(-2,0).
7.(2020上海奉贤二模,12)如果函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,那么y的值随x值的增大而 .(填“增大”或“减小”)
解析 ∵函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,∴k<0,∴y的值随x值的增大而减小.
8.(2019天津西青一模,16)若一次函数y=3x+b的图象经过第一、三、四象限,则b的值可以是 (写 出一个即可).
答案 -1(答案不唯一)
解析 若一次函数y=3x+b的图象经过第一、三、四象限,则直线与y轴的交点在y轴负半轴上,所以b<0, 所以b的值是负数即可,答案不唯一,如-1等.
9.(2019辽宁沈阳铁西一模,15)甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后乙车 才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两 车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,则m= ;点H的坐标是 .
答案 160;(7,80)
三、解答题(共28分)10.(2020吉林长春一模,21)小明在练习操控航拍无人机,该型号无人机在上升和下落时的速度相同,设无 人机的飞行高度为y(米),小明操控无人机的时间为x(分),y与x之间的函数图象如图所示.(1)无人机上升的速度为 米/分,无人机在40米的高度上飞行了 分;(2)求无人机下落过程中,y与x之间的函数关系式;(3)求无人机距地面的高度为50米时x的值.
解析 (1)无人机上升的速度为 =20米/分,无人机在40米的高度上飞行了6- -2=3分.故答案为20,3.(2)∵无人机下降的时间为 =3分,∴无人机开始下降的时间在第9分.设无人机下落过程中,y=kx+b(k≠0),把(9,60)和(12,0)代入得 解得 ∴无人机下落过程中,y与x之间的函数关系式为y=-20x+240.(3)易知无人机从40米高度开始上升直到升到60米高度的过程中,y与x的函数关系式为y=20x-60(5≤x≤ 6).由20x-60=50解得x=5.5.由-20x+240=50解得x=9.5.综上所述,无人机距地面的高度为50米时,x的值为5.5和9.5.
11.(2020海南琼海一模,20)某学校有一批复印任务,原来由甲复印店承接,按每100页40元计费.现乙复印 店表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印店每月收费情况如图所 示.(1)乙复印店每月的承包费是多少元?(2)当每月复印多少页时两复印店实际收费相同?费用是多少元?(3)求甲、乙复印店费用的函数表达式;(4)如果每月复印页数在1 200页左右,那么应选择哪家复印店更合算?
解析 (1)由题图可知,当x=0时,y乙=200,∴乙复印店每月的承包费是200元.(2)设复印x页时两复印店实际收费相同,由题意得0.4x=200+0.15x,解得x=800.0.4×800=320(元).答:当每月复印800页时,两复印店实际收费相同,费用是320元.(3)设复印x页时,两复印店的收费分别为y甲元、y乙元. =0.4, =0.15,∴y甲=0.4x(x≥0),y乙=0.15x+200(x≥0).(4)当x=1 200时,y甲=0.4×1 200=480,y乙=0.15×1 200+200=380.∵480>380,∴如果每月复印页数在1 200页左右,那么应选择乙复印店更合算.
12.(2019云南昆明盘龙一模,21)某经销商从市场得知如下信息:
他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台,设该经销商购进A品牌计算器x台,这两种品 牌计算器全部销售完后获得的利润为y元.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元,该经销商有哪几种进货方案?(3)在(2)的条件下,选择哪种进货方案,该经销商可获利最大?最大利润是多少元?
解析 (1)y=(900-700)x+(160-100)×(100-x)=140x+6 000,由700x+100(100-x)≤40 000,得x≤50,∴y=140x+6 000(0
13.(2019上海金山二模,22)某演唱会购买门票的方式有两种.方式一:若单位赞助广告费10万元,则该单位所购门票的价格为每张0.02万元;方式二:如图所示. 设购买门票x张,总费用为y万元,方式一中:总费用=广告赞助费+门票费.(1)求方式一中y与x的函数关系式;(2)若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张,且乙单位购买门票超过10 0张,两单位共花费27.2万元,求甲、乙两单位各购买门票多少张.
解析 (1)若单位赞助广告费10万元,则该单位所购门票的价格为每张0.02万元,故y=10+0.02x(x≥0).(2)对于方式二,当x≥100时,设解析式为y=kx+b(k≠0).将(100,10),(200,16)代入,得 解得 所以y=0.06x+4(x≥100).设乙单位购买了a(a≥100)张门票,则甲单位购买了(400-a)张门票,根据题意得0.06a+4+[10+0.02(400-a)] =27.2,解得a=130,∴400-a=270.答:甲、乙两单位购买门票分别为270张和130张.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共15分)1.(2020陕西西安西北工大附中二模,7)将直线y= x-1向左平移4个单位长度得到直线l,则直线l的解析式为( )A.y= x+1 B.y= x+2C.y= x+3 D.y=- x+1
2.(2020上海宝山二模,6)如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角△ ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,下列能大致表示y与x的函数关系的图象是 ( )
答案 A 作AD∥x轴,作CD⊥AD于点D,如图所示.
由题意可得OB=x,OA=1,∠AOB=90°,∠BAC=90°,AB=AC.∵AD∥x轴,∴∠DAO+∠AOB=180°,∴∠DAO=90°,
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°,∴∠OAB=∠DAC.在△OAB和△DAC中, ∴△OAB≌△DAC(AAS),∴OB=CD=x.∵点C到x轴的距离为y,点D到x轴的距离等于OA的长,为1,∴y=x+1.又∵点B在x轴正半轴上,∴x>0,∴y=x +1(x>0).故选A.
3.(2020内蒙古包头4月模拟,12)下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是 ( )A.图象经过第一、二、四象限B.y随x的增大而减小C.图象与y轴交于点(0,b)D.当x>- 时,y>0
4.(2019云南昆明模拟,13)如图,经过点B(-1,0)的直线y=kx+b与直线y=-2x+2相交于点A ,则不等式-2x+21C.x<1 D.x>-
答案 D 把 代入y=-2x+2,得-2m+2= ,解得m=- ,所以A .观察图象可得,当x>- 时,-2x+2
答案 A 设线段AB的解析式为y=kx+b(k≠0,0≤x≤2),把(1.5,70)与(2,0)代入得 解得 ∴线段AB的解析式为y=-140x+280(0≤x≤2).在y=-140x+280中,令x=0,得y=280,故甲、乙两地相距280千米.设两车相遇时,慢车行驶了a千米,则快车行驶了(a+40)千米,根据题意得a+a+40=280,解得a=120,故两车相遇时,慢车行驶了120千米,快车行驶了160千米,∴快车的速度为80千米/时,慢车的速度为60千米/时,根据题意得(280-160)÷80=1.5(小时),1.5×60=90(千米),280-120-90=70(千米),则快车到达乙地时,慢车还有70千米到达甲地,故选A.
二、填空题(每小题3分,共9分)6.(2020上海虹口二模,14)某公司市场营销部的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(件)成一次函数关 系,其图象如图所示,根据图中给出的信息可知,当某位营销人员的月销售量为0件时,他的月收入是 元.
7.(2020江苏无锡锡北一模,16)若函数y=kx-b的图象如图所示,则关于x的不等式k(x-3)-b>0的解集是 .
解析 ∵一次函数y=kx-b的图象经过点(2,0),∴2k-b=0,即b=2k.由函数图象可知函数值y随x的增大而减小,∴k<0.解关于x的不等式k(x-3)-b>0,去括号、移项得kx>3k+b,即kx>5k,两边同时除以k,得x<5.
8.(2019辽宁辽阳模拟,17)如图,一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,点M在x轴上,要使△ ABM是以AB为腰的等腰三角形,那么点M的坐标是 .
解析 一次函数y=-x+1中,令y=0,得-x+1=0,解得x=1,∴点A的坐标为(1,0).令x=0,得y=1,∴点B的坐标为(0,1).设点M的坐标为(m,0),易知AB= ,AM=|m-1|,BM= .△ABM是以AB为腰的等腰三角形分两种情况:①AB=AM,即 =|m-1|,解得m= +1或m=- +1,此时点M的坐标为( +1,0)或(- +1,0);②AB=BM,即 = ,解得m=-1或m=1(舍去),此时点M的坐标为(-1,0).
综上可知,点M的坐标为( +1,0)或(- +1,0)或(-1,0).
三、解答题(共31分)9.(2020上海长宁二模,22)如图反映的是甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时各自 行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)之间关系的部分图象,根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)求乙的行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)(1≤x≤3)之间的函数解析式;(2)如果甲的速度一直保持不变,乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行,结果两人同时到达B地,求 A、B两地之间的距离.
解析 (1)设乙的行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)(1≤x≤3)之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0),将(1,30),(3,50)代入,得 解得 ∴乙的行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)(1≤x≤3)之间的函数解析式是y=10x+20(1≤x≤3).(2)设A、B两地之间的距离为s千米,甲的速度为60÷3=20(千米/时),乙在第1小时的速度为30÷1=30(千米/时),根据题意可得 = ,解得s=80.答:A、B两地之间的距离是80千米.
10.(2019天津西青一模,23)某教学网站策划了A,B两种上网学习的月收费方式如下表:
设每月上网学习的时间为x h.(1)根据题意,填写下表:
(2)设A,B两种方式的收费金额分别为y1元和y2元,分别写出y1,y2与x的函数解析式;(3)当x>60时,你认为哪种收费方式省钱?请说明理由.
解析 (1)当月上网时间为45 h时,A方式月超时费为(45-25)×0.6=12(元),总费用为7+12=19(元);B方式月超时费为0元,总费用为10元.故题表中A收费方式一行依次填12,19;B收费方式一行依次填0,10.(2)由题意可得,当0≤x≤25时,y1=7;当x>25时,y1=7+0.6(x-25)=0.6x-8,故y1与x的函数解析式为y1= 当0≤x≤50时,y2=10;当x>50时,y2=10+3(x-50)=3x-140,故y2与x的函数解析式为y2= (3)当x>60时,A种收费方式省钱.理由如下:
当0.6x-8>3x-140时,5055.∴当x>60时,A种收费方式省钱.
11.(2018江西南昌调研,19)某市风景区门票价格如图所示,现有甲、乙两个旅行团队,计划在“十一”黄 金周期间到该景点游玩.两团队游客人数之和为120,甲团队人数不超过50,乙团队人数为x,且x<100.如果 甲、乙两团队分别购买门票,两团队购票费用之和为W元.(1)求W与x的关系式,并说明两队联合购票比分别购票最多可节省多少元;(2)“十一”黄金周之后,该风景区对门票价格做了如下调整:人数不超过50时,门票价格不变;人数超过5 0但不超过100时,每张门票降价a元;人数超过100时,每张门票降价2a元.若甲、乙两个旅行团队“十 一”黄金周之后去游玩,两队联合购票比分别购买最多可节省3 400元,求a的值.
考点一 一次函数的图象与性质
1.(2019陕西,4,3分)若正比例函数y=-2x的图象经过点(a-1,4),则a的值为 ( )A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 A 把(a-1,4)代入y=-2x,得-2(a-1)=4,解得a=-1,故选A.
2.(2018辽宁沈阳,8,2分)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k和b的取值范围是 ( )A.k>0,b>0 B.k>0,b<0C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
答案 C 由图象得,y随x的增大而减小,所以k<0.因为直线与y轴交于正半轴,所以b>0.
3.(2020四川成都,12,4分)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x值的增大而增大,则常数m的取值范围为 .
4.(2020天津,16,3分)将直线y=-2x向上平移1个单位长度,平移后直线的解析式为 .
答案 y=-2x+1
解析 由“上加下减”的原则可知,将直线y=-2x向上平移1个单位长度所得直线的解析式为y=-2x+1.
解题技巧 本题考查了一次函数图象的平移变换:一次函数y=kx+b(k≠0)图象的平移遵循“上加下减, 左加右减”的原则:上下平移操作“b”,左右平移操作“x”.例如:对于一次函数y=kx+b(k≠0),若函数图 象向上平移m(m>0)个单位长度,则平移后得到的直线解析式为y=kx+b+m(k≠0);若函数图象向下平移m (m>0)个单位长度,则平移后得到的直线解析式为y=kx+b-m(k≠0);若函数图象向左平移m(m>0)个单位长 度,则平移后得到的直线解析式为y=k(x+m)+b(k≠0);若函数图象向右平移m(m>0)个单位长度,则平移后 得到的直线解析式为y=k(x-m)+b(k≠0).
5.(2019天津,16,3分)直线y=2x-1与x轴交点坐标为 .
6.(2019四川成都,13,4分)已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 .
解析 由题意得k-3<0,所以k<3.
7.(2019江西,17,6分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为 , ,连接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC.(1)求点C的坐标;(2)求线段BC所在直线的解析式.
解析 (1)过点B作BD⊥x轴于点D,则∠ADB=90°. ∵A ,B ,∴DA= ,DB=1.∴AB=2.∴sin∠BAD= ,∴∠BAD=30°.∵△ABC为等边三角形,∴AC=AB=2,∠BAC=60°.∴∠CAD=90°.∴点C的坐标为 .
(2)设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,k≠0.将 , 代入,得 解得 ∴线段BC所在直线的解析式为y=- x+ .
考点二 一次函数与方程、不等式之间的联系
1.(2020浙江杭州,6,3分)在平面直角坐标系中,已知函数y=ax+a(a≠0)的图象经过点P(1,2),则该函数的图 象可能是 ( )
答案 A ∵函数y=ax+a(a≠0)的图象经过点P(1,2),∴2=a+a,解得a=1,∴y=x+1,∴直线交y轴于正半轴, 且经过点(1,2).故选A.
2.(2020陕西,7,3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B, 则△AOB的面积为 ( )A.2 B.3 C.4 D.6
3.(2020江苏苏州,12,3分)若一次函数y=3x-6的图象与x轴交于点(m,0),则m= .
解析 由题意得,3m-6=0,解得m=2.
4.(2019贵州贵阳,12,4分)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的 方程组 的解是 .
5.(2019重庆A卷,23,10分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象 研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过描点或平移的方法画出了 所学的函数图象.同时,我们也学习了绝对值的意义:|a|= 结合上面经历的学习过程,现在来解决下面的问题:在函数y=|kx-3|+b中,当x=2时,y=-4;当x=0时,y=-1.(1)求这个函数的表达式;(2)在给出的平面直角坐标系中,请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质;(3)已知函数y= x-3的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式|kx-3|+b≤ x-3的解集.
解析 (1)将x=2,y=-4和x=0,y=-1分别代入y=|kx-3|+b中,得 解得 ∴这个函数的表达式是y= -4. (3分)(2)函数图象如图: (5分)
函数的性质(写出其中一条即可):①当x<2时,函数值y随x的增大而减小;当x>2时,函数值y随x的增大而增大;②当x=2时,函数有最小值,最小值是-4. (7分)(3)不等式的解集是1≤x≤4. (10分)
考点三 一次函数的应用问题
1.(2020吉林,23,8分)某种机器工作前先将空油箱加满,然后停止加油立即开始工作.当停止工作时,油箱 中油量为5 L.在整个过程中,油箱里的油量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示.(1)机器每分钟加油量为 L,机器工作的过程中每分钟耗油量为 L;(2)求机器工作时y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值.
解析 (1)3;0.5. (2分)详解:机器每分钟加油量为 =3(L),机器工作的过程中每分钟耗油量为 =0.5(L).(2)设机器工作时y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).由题意,得 (3分)解得 (4分)∴机器工作时y关于x的函数解析式为y=- x+35(10≤x≤60). (6分)(3)5或40. (8分)详解:设机器加油过程中,y关于x的函数解析式为y=mx(m≠0),
将(10,30)代入得10m=30,解得m=3.则机器加油过程中,y关于x的函数解析式为y=3x(0≤x<10).油箱中油量为油箱容积的一半时,有以下两种情况:①在机器加油过程中,当y= =15时,3x=15,解得x=5;②在机器工作过程中,当y= =15时,- x+35=15,解得x=40.
解后反思 本题考查了一次函数图象的运用,求解时需要善于从抽象的函数图象中找出实际的量,然后 根据实际需要计算出相应的结果,同时还应明确每条线段所代表的实际含义.
2.(2020黑龙江齐齐哈尔,22,10分)团结奋战,众志成城,齐齐哈尔市组织援助医疗队,分别乘甲、乙两车同 时出发,沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800 km,在行驶过程中乙车速度始终保持80 km/h,甲车先以一定速度行驶了500 km,用时5 h,然后再以乙车的速度行驶,直至到达绥芬河(加油、休息 时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)的关系如图所示,请结合图象解答下 列问题:(1)甲车改变速度前的速度是 km/h,乙车行驶 h到达绥芬河;(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数解析式,不用写出自变量x的取 值范围;(3)甲车到达绥芬河时,乙车距绥芬河的路程还有 km;出发 h时,甲、乙两车第一次相距 40 km.
解析 (1)甲车改变速度前的速度是 =100 km/h.乙车到达绥芬河所需要的时间是 =10 h.故答案为100;10.(2)∵乙车速度为80 km/h,∴甲车到达绥芬河的时间为5+ = (h).甲车改变速度后,到达绥芬河前,设所求函数解析式为y=kx+b(k≠0).将(5,500)和 代入,得 ∴k=80,b=100.∴y=80x+100.故甲车改变速度后,到达绥芬河前的函数解析式为y=80x+100.甲车到达绥芬河后,函数解析式为y=800.(3)由(2)知甲车用了 h到达绥芬河,此时乙车行驶的路程为 ×80=700 km,距绥芬河还有800-700=100
km,设出发t h后,甲、乙两车第一次相距40 km,∵甲、乙两车同时出发且甲车速度大于乙车速度,∴100t-80t=40,解得t=2.故答案为100;2.
3.(2020陕西,21,7分)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农 科所的温室中生长,长到大约20 cm时,移至该村的大棚内,沿插杆继续向上生长.研究表明,60天内,这种瓜 苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之间的关系大致如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式;(2)当这种瓜苗长到大约80 cm时,开始开花结果,试求这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约多少天,开始开 花结果.
解析 (1)当0≤x≤15时,设y=kx(k≠0),则20=15k,∴k= .∴y= x. (2分)当15≤x≤60时,设y=k'x+b(k'≠0),则 解之,得 ∴y= x-30.∴y= (5分)(2)当y=80时,80= x-30.解之,得x=33. (6分)33-15=18(天).
∴这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约18天,开始开花结果. (7分)
疑难突破 (1)求y与x之间的函数关系式时要分类讨论,第15天是分界线.(2)将y=80代入(1)中的关系式进 行求值,同时要注意所求的是这种瓜苗移至大棚后生长的天数,记得要减去15.
4.(2019吉林长春,21,8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/ 时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止. 甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示. (1)乙车的速度为 千米/时,a= ,b= ;(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式;
(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的距离.
解析 (1)75;3.6;4.5.详解:在图上标注如图所示的四个点,点N表示两车相遇. 则2(v甲+v乙)=270,又v甲=60千米/时,所以v乙=75千米/时.点C表示乙车到达A地,用时t乙= =3.6(小时),
则a=3.6.点D表示甲车到达B地,用时t甲= =4.5(小时),则b=4.5.(2)易知点N(2,0).当乙车到达A地时,甲车走了60×3.6=216千米,所以C(3.6,216),设NC段函数解析式为y=kx+b(2≤x≤3.6),将N、C点坐标代入得 解得 所以y=135x-270(2≤x≤3.6).由(1)知D(4.5,270),设CD段函数解析式为y=mx+n(3.6≤x≤4.5),将C、D点坐标代入得 解得 所以y=60x(3.6≤x≤4.5).综上所述,甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式为y=
(3)当甲车到达距B地70千米处时,甲车走了270-70=200千米,用时 = (小时),同样时间乙车走了 ×75=250千米,所以两车相距250-70=180千米.
5.(2019黑龙江齐齐哈尔,22,10分)甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该 公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行.货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维 修,货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通 知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地.已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x (小时)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)货车的速度是 千米/小时;轿车的速度是 千米/小时;t值为 ;
(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.
解析 (1)由题图知,当x=0时,货车距乙地50千米.又∵货车比轿车早出发1小时,∴货车速度为50千米/小时.∵甲、乙两地相距400千米,∴货车需要 =8小时到达,则轿车行驶时间为8-1-1=6小时.∴t= =3,∴轿车速度为 =80千米/小时.故答案为50,80,3. (3分)(2)由题意可得A(3,240),B(4,240),C(7,0),设直线OA的解析式为y=k1x(k1≠0),将A点坐标代入可得k1=80,∴y=80x(0≤x<3). (5分)
当3≤x<4时,y=240. (6分)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将(4,240)和(7,0)代入可得 ∴ ∴y=-80x+560(4≤x≤7), (7分)∴y= (8分)(3)3小时或5小时. (10分) 详解:当货车与轿车相遇前相距90千米时,可得线段图如图,
∴80x+90+50x+50=400,解得x=2.此时货车出发3小时.当货车与轿车相遇后相距90千米时,可得线段图如图.
∴560-80x+50x+50=400+90,解得x=4.此时货车出发5小时.综上所述,货车出发3小时或5小时两车相距90千米.
6.(2019云南,22,9分)某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本 为6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y(千 克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示: (1)求y与x的函数解析式(也称关系式);(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值.
解析 (1)当6≤x≤10时,由题意设y=kx+b(k≠0),它的图象经过点(6,1 000)与点(10,200),∴ 解得 即y=-200x+2 200. (2分)当10
又∵10
1.(2020安徽,7,4分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是 ( )A.(-1,2) B.(1,-2) C.(2,3) D.(3,4)
答案 B ∵y随x的增大而减小,∴k<0,代入坐标验证只有选项B符合.
2.(2020广东广州,6,3分)一次函数y=-3x+1的图象过点(x1,y1),(x1+1,y2),(x1+2,y3),则 ( )A.y1
答案 B 将函数y=3x的图象向上平移6个单位长度得y=3x+6的图象,令3x+6=0,解得x=-2,所以平移后的 图象与x轴交点的坐标为(-2,0),故选B.
4.(2017内蒙古呼和浩特,6,3分)一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案 A 由“y随x的增大而减小”可知k<0,又kb>0,所以b<0,所以函数y=kx+b的图象过第二、三、四 象限.故选A.
5.(2018陕西,4,3分)如图,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为( ) A.-2 B.- C.2 D.
6.(2019山东潍坊,14,3分)当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,k的取值范围是 .
解析 ∵直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限,∴2-2k<0,k-3<0,∴k>1,k<3,∴1
1.(2019浙江杭州,8,3分)已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b).函数y1和y2的图象可能是 ( )
答案 A y1=ax+b的图象与y轴的交点为(0,b),与x轴的交点为 .y2=bx+a的图象与y轴的交点为(0,a),与x轴的交点为 .当x=1时,y1=y2,∴y1与y2的图象的交点的横坐标为1.①当a>0,b>0时,y1,y2的图象与y轴的交点均在y轴的正半轴上,与x轴的交点均在x轴的负半轴上,故A正确.②当a<0,b<0时,y1,y2的图象与y轴的交点均在y轴的负半轴上,与x轴的交点均在x轴的负半轴上,故C错误.③当a>0,b<0或a<0,b>0时,y1,y2的图象与x轴的交点均在x轴的正半轴上,故B,D错误.
2.(2019江苏苏州,7,3分)若一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)的图象经过点A(0,-1),B(1,1),则不等式kx +b>1的解集为 ( )A.x<0 B.x>0 C.x<1 D.x>1
方法指导 根据一次函数图象经过的点的坐标,描点画出图象,利用图象法求不等式的解集.
3.(2018陕西,7,3分)若直线l1经过点(0,4),l2经过点(3,2),且l1与l2关于x轴对称,则l1与l2的交点坐标为( )A.(2,0) B.(-2,0)C.(6,0) D.(-6,0)
4.(2017陕西,7,3分)如图,已知直线l1:y=-2x+4与直线l2:y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的 交点为A(-2,0),则k的取值范围是 ( ) A.-2
解析 (1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,∴k=1. (1分)∵一次函数y=x+b的图象过点(1,2),∴1+b=2,∴b=1. (2分)∴这个一次函数的解析式为y=x+1. (3分)(2)m≥2. (5分)详解:当x>1时,函数y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值,即函数y=mx(m≠0)的图象在直线y=x+1上方,临界 条件为当x=1时,两条直线都过点(1,2),此时m=2,当m>2时,两个函数图象的交点向左移动,也能满足当x>1时,y=mx(m≠0)的值都大于y=x+1的值.∴m的取 值范围为m≥2.
6.(2020湖南常德,21,7分)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(3,18)和B(-2,8)两点.(1)求一次函数的解析式;(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象只有一个交点,求交点坐标.
解析 (1)把A(3,18)和B(-2,8)代入y=kx+b(k≠0),得 (1分)解得 ∴一次函数的解析式为y=2x+12. (3分)(2)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象只有一个交点,∴ 只有一组解,即2x2+12x-m=0有两个相等的实数根. (4分)∴Δ=122-4×2×(-m)=0,∴m=-18. (5分)把m=-18代入,求得该方程的解为x1=x2=-3. (6分)把x=-3代入y=2x+12得y=6,即所求交点的坐标为(-3,6). (7分)
7.(2019江苏南京,23,8分)已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)和y2=x-3.(1)当k=-2时,若y1>y2,求x的取值范围;(2)当x<1时,y1>y2.结合图象,直接写出k的取值范围.
解析 (1)当k=-2时,y1=-2x+2.根据题意,得-2x+2>x-3,解得x< . (4分)(2)当x=1时,y2=x-3=-2,把(1,-2)代入y1=kx+2,得k+2=-2,解得k=-4,画出图象,如图:
∵k≠0,∴当-4≤k≤1且k≠0时,y1>y2. (8分)
8.(2018重庆A卷,22,10分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B,把点A向左 平移2个单位,再向上平移4个单位,得到点C.过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D.(1)求直线CD的解析式;(2)直线AB与CD交于点E,将直线CD沿EB方向平移,平移到经过点B的位置结束,求直线CD在平移过程中 与x轴交点的横坐标的取值范围.
解析 (1)∵直线y=-x+3过点A(5,m),∴-5+3=m.解得m=-2. (1分)∴点A的坐标为(5,-2).由平移可得点C的坐标为(3,2). (2分)∵直线CD与直线y=2x平行,∴设直线CD的解析式为y=2x+b(b≠0). (3分)∵点C(3,2)在直线CD上,∴2×3+b=2.解得b=-4.∴直线CD的解析式为y=2x-4. (5分)(2)直线CD经过点E,此时直线的解析式为y=2x-4.令y=0,得x=2. (6分)∵直线y=-x+3与y轴交于点B,∴B(0,3).当直线CD平移到经过点B(0,3)时,设此时直线的解析式为y=2x+n(n≠-4),
把(0,3)代入y=2x+n,得n=3.∴此时直线的解析式为y=2x+3. (7分)令y=0,得x=- . (8分)∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为- ≤x≤2. (10分)
1.(2020宁夏,24,8分)“低碳生活,绿色出行”是一种环保、健康的生活方式,小丽从甲地匀速步行前往乙 地,同时,小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地,两人之间的距离y(m)与步行时间x(min) 之间的函数 关系如图中折线段AB—BC—CD所示.(1)小丽与小明出发 min相遇;(2)在步行过程中,若小明先到达甲地.①求小丽和小明步行的速度各是多少.②计算出点C的坐标,并解释点C的实际意义.
解析 (1)30. (1分)(2)①设小丽步行的速度为v1 m/min,小明步行的速度为v2 m/min.则 解得 答:小丽步行的速度为80 m/min,小明步行的速度为100 m/min. (4分)②设点C的坐标为(x,y).则(100+80)(x-30)+80(67.5-x)=5 400,解得x=54. (5分)y=180×(54-30)=4 320.所以点C(54,4 320). (6分)点C表示两人出发54 min时,小明到达甲地,此时两人相距4 320 m. (8分)
思路分析 (1)B点的横坐标即为所求.(2)①设小丽与小明的速度分别为v1 m/min和v2 m/min,由折线图找 到两个等量关系:两人相遇时共走了5 400 m;相遇后小丽到乙地的距离等于小明从乙地出发到相遇地的 距离,然后列方程组求解.②设点C的坐标为(x,y),由折线图可知小明到达甲地后,小丽继续向乙地步行,由 相遇后两人共走5 400 m可列方程求出x,问题解决.
2.(2020云南,21,8分)众志成城抗疫情,全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆,运送260吨物 资到A地和B地,支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资,这20辆货车恰好装 完这批物资.已知这两种货车的运费如下表:
现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地,其 余前往B地,设前往A地的大货车有x辆,这20辆货车的总运费为y元.(1)这20辆货车中,大货车、小货车各有多少辆?(2)求y与x的函数解析式,并直接写出x的取值范围;(3)若运往A地的物资不少于140吨,求总运费y的最小值.
解析 (1)设大货车有a辆,小货车有b辆,根据题意得 解得 答:这20辆货车中,大货车有12辆,小货车有8辆. (2分)(2)前往A地的货车共有10辆,其中大货车有x辆,则前往A地的小货车有(10-x)辆,前往B地的大货车有(12 -x)辆,前往B地的小货车有8-(10-x)=(x-2)辆,根据题意得y=900x+500(10-x)+1 000(12-x)+700·(x-2),化简得y=100x+15 600. (4分)x的取值范围为2≤x≤10,且x是正整数.答:y与x的函数解析式为y=100x+15 600,x的取值范围为2≤x≤10,且x是正整数. (5分)(3)根据题意得15x+10(10-x)≥140,解得x≥8.由(2)知2≤x≤10,∴8≤x≤10. (6分)又∵y=100x+15 600,100>0,∴y随x的增大而增大,∴当x=8时,y最小,且y最小=100×8+15 600=16 400.
答:若运往A地的物资不少于140吨,总运费y的最小值为16 400元.(8分)
思路分析 (1)根据所给的运输方案,列出二元一次方程组,求解即可;(2)用含x的代数式分别表示出运往 A、B两地大、小货车的费用,求和得出y与x的函数解析式,并由实际意义得出x的取值范围;(3)根据题意 列出一元一次不等式,求得满足条件的x的取值范围,运用一次函数的性质求出y的最小值.
3.(2020山东青岛,20,8分)为让更多的学生学会游泳,少年宫新建一个游泳池,其容积为480 m3,该游泳池有 甲、乙两个进水口,注水时每个进水口各自的注水速度保持不变,同时打开甲、乙两个进水口注水,游泳 池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)根据图象求游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式,并写出同时打开甲、乙两个进水 口的注水速度;(2)现将游泳池的水全部排空,对池内消毒后再重新注水.已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是 单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍,求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时.
解析 (1)设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据图象过点(0,100),(2,380),得 解得 ∴游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式为y=140x+100.同时打开甲、乙两个进水口的注水速度为 =140(m3/h).(2)设单独打开甲进水口注满游泳池需m小时,则单独打开乙进水口注满游泳池需m÷ = m(小时).由题意得 + =140,解得m=8,经检验,m=8是原方程的解,且符合题意.答:单独打开甲进水口注满游泳池需8小时.
一题多解 (2)∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍,∴甲进水口注水的速度是乙进水口注水速度的 .∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140 m3/h,∴甲进水口的注水速度为140÷ × =60(m3/h),则单独打开甲进水口注满游泳池需480÷60=8(h).
4.(2018河南,21,10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之 间满足一次函数关系.关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表:
(注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价))(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是 元.当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是 元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1) 中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超 过多少元?
解析 (1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k≠0,由题意得 解得 ∴y关于x的函数解析式为y=-5x+600. (3分)当x=115时,m=-5×115+600=25. (4分)(2)80;100;2 000. (7分)提示:设该产品的成本单价是a元,由875=175×(85-a)得a=80.w=y·(x-80)=(-5x+600)(x-80)=-5(x-100)2+2 000, 根据二次函数知识求w的最大值及相应x的值.(3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-5×90+600)·(90-a)≥3 750.解得a≤65.答:该产品的成本单价应不超过65元. (10分)
5.(2018云南,21,8分)某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题,带领大家致富.经过调查研究,他们决定利用 当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品.为科学决策,他们试生产A、B两种商品共100千克进行 深入研究.已知现有甲种原料293千克,乙种原料314千克.生产1千克A商品,1千克B商品所需要的甲、乙 两种原料及生产成本如下表所示:
设生产A种商品x千克,生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元,根据上述信息,解答下列问题:(1)求y与x的函数解析式(也称关系式),并直接写出x的取值范围;(2)x取何值时,总成本y最小?
解析 (1)由题意得y=120x+200(100-x)=-80x+20 000, (3分)x的取值范围为24≤x≤86. (6分)提示:由 解得24≤x≤86.(2)∵-80<0,∴y随x的增大而减小. (7分)∴当x取最大值86时,y的值最小.∴当x=86时,总成本y最小. (8分)
6.(2017上海,22,10分)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案.甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系,如图所示.乙公司方案:绿化面积不超过1 000平方米时,每月收取费用5 500元;绿化面积超过1 000平方米时,每月在 收取5 500元的基础上,超过部分每平方米收取4元.(1)求如图所示的y与x的函数解析式;(不要求写出定义域)(2)如果某学校目前的绿化面积是1 200平方米,试通过计算说明:选择哪家公司的服务,每月的绿化养护 费用较少.
解析 (1)设y=kx+b(k≠0).将(100,900),(0,400)代入上式,得 ∴ ∴所求函数的解析式为y=5x+400.(2)若选择甲公司,则费用为5×1 200+400=6 400(元),若选择乙公司,则费用为5 500+4×(1 200-1 000)=6 300(元),∵6 300<6 400,∴应选择乙公司,每月的绿化养护费用较少.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共15分)
1.(2020甘肃兰州一诊,8)一次函数y=3x-2的图象不经过( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案 B ∵一次函数y=3x-2中,k=3>0,b=-2<0,∴该函数的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象 限.故选B.
2.(2020内蒙古包头4月模拟,6)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,点(k-1,3k+5)是其图 象上的点,则k的值为 ( )A.3 B.5 C.-1 D.-3
答案 C 把x=k-1,y=3k+5代入y=kx中,可得3k+5=k(k-1),解得k1=-1,k2=5.因为正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,所以k<0,所以k=-1,故选C.
3.(2018贵州铜仁沿河4月模拟,9)已知直线y=kx+b,若k+b=-5,kb=6,那么该直线不经过 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案 A ∵k+b=-5,kb=6,∴k<0,b<0,∴直线y=kx+b经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故选A.
4.(2020云南红河州开远模拟,13)如图,点B、C分别在直线y=2x和y=kx上,点A,D是x轴上的两点,已知四边 形ABCD是正方形,则k的值为 ( ) A. B. C.1 D.
5.(2019上海松江二模,4)如图,一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,0)与(0,2),则关于x的不等式kx+b>0的解 集是 ( )A.x>-1 B.x<-1C.x>2 D.x<2
答案 A 由题意可得一次函数y=kx+b中,y>0时,图象在x轴上方,此时x>-1,则关于x的不等式kx+b>0的解 集是x>-1,故选A.
二、填空题(每小题3分,共12分)6.(2020天津河西3月模拟,16)直线y=x+2与x轴的交点坐标为 .
解析 在y=x+2中,令y=0,得x=-2,∴直线y=x+2与x轴的交点坐标为(-2,0).
7.(2020上海奉贤二模,12)如果函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,那么y的值随x值的增大而 .(填“增大”或“减小”)
解析 ∵函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,∴k<0,∴y的值随x值的增大而减小.
8.(2019天津西青一模,16)若一次函数y=3x+b的图象经过第一、三、四象限,则b的值可以是 (写 出一个即可).
答案 -1(答案不唯一)
解析 若一次函数y=3x+b的图象经过第一、三、四象限,则直线与y轴的交点在y轴负半轴上,所以b<0, 所以b的值是负数即可,答案不唯一,如-1等.
9.(2019辽宁沈阳铁西一模,15)甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后乙车 才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两 车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,则m= ;点H的坐标是 .
答案 160;(7,80)
三、解答题(共28分)10.(2020吉林长春一模,21)小明在练习操控航拍无人机,该型号无人机在上升和下落时的速度相同,设无 人机的飞行高度为y(米),小明操控无人机的时间为x(分),y与x之间的函数图象如图所示.(1)无人机上升的速度为 米/分,无人机在40米的高度上飞行了 分;(2)求无人机下落过程中,y与x之间的函数关系式;(3)求无人机距地面的高度为50米时x的值.
解析 (1)无人机上升的速度为 =20米/分,无人机在40米的高度上飞行了6- -2=3分.故答案为20,3.(2)∵无人机下降的时间为 =3分,∴无人机开始下降的时间在第9分.设无人机下落过程中,y=kx+b(k≠0),把(9,60)和(12,0)代入得 解得 ∴无人机下落过程中,y与x之间的函数关系式为y=-20x+240.(3)易知无人机从40米高度开始上升直到升到60米高度的过程中,y与x的函数关系式为y=20x-60(5≤x≤ 6).由20x-60=50解得x=5.5.由-20x+240=50解得x=9.5.综上所述,无人机距地面的高度为50米时,x的值为5.5和9.5.
11.(2020海南琼海一模,20)某学校有一批复印任务,原来由甲复印店承接,按每100页40元计费.现乙复印 店表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印店每月收费情况如图所 示.(1)乙复印店每月的承包费是多少元?(2)当每月复印多少页时两复印店实际收费相同?费用是多少元?(3)求甲、乙复印店费用的函数表达式;(4)如果每月复印页数在1 200页左右,那么应选择哪家复印店更合算?
解析 (1)由题图可知,当x=0时,y乙=200,∴乙复印店每月的承包费是200元.(2)设复印x页时两复印店实际收费相同,由题意得0.4x=200+0.15x,解得x=800.0.4×800=320(元).答:当每月复印800页时,两复印店实际收费相同,费用是320元.(3)设复印x页时,两复印店的收费分别为y甲元、y乙元. =0.4, =0.15,∴y甲=0.4x(x≥0),y乙=0.15x+200(x≥0).(4)当x=1 200时,y甲=0.4×1 200=480,y乙=0.15×1 200+200=380.∵480>380,∴如果每月复印页数在1 200页左右,那么应选择乙复印店更合算.
12.(2019云南昆明盘龙一模,21)某经销商从市场得知如下信息:
他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台,设该经销商购进A品牌计算器x台,这两种品 牌计算器全部销售完后获得的利润为y元.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元,该经销商有哪几种进货方案?(3)在(2)的条件下,选择哪种进货方案,该经销商可获利最大?最大利润是多少元?
解析 (1)y=(900-700)x+(160-100)×(100-x)=140x+6 000,由700x+100(100-x)≤40 000,得x≤50,∴y=140x+6 000(0
13.(2019上海金山二模,22)某演唱会购买门票的方式有两种.方式一:若单位赞助广告费10万元,则该单位所购门票的价格为每张0.02万元;方式二:如图所示. 设购买门票x张,总费用为y万元,方式一中:总费用=广告赞助费+门票费.(1)求方式一中y与x的函数关系式;(2)若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张,且乙单位购买门票超过10 0张,两单位共花费27.2万元,求甲、乙两单位各购买门票多少张.
解析 (1)若单位赞助广告费10万元,则该单位所购门票的价格为每张0.02万元,故y=10+0.02x(x≥0).(2)对于方式二,当x≥100时,设解析式为y=kx+b(k≠0).将(100,10),(200,16)代入,得 解得 所以y=0.06x+4(x≥100).设乙单位购买了a(a≥100)张门票,则甲单位购买了(400-a)张门票,根据题意得0.06a+4+[10+0.02(400-a)] =27.2,解得a=130,∴400-a=270.答:甲、乙两单位购买门票分别为270张和130张.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共15分)1.(2020陕西西安西北工大附中二模,7)将直线y= x-1向左平移4个单位长度得到直线l,则直线l的解析式为( )A.y= x+1 B.y= x+2C.y= x+3 D.y=- x+1
2.(2020上海宝山二模,6)如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰直角△ ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,下列能大致表示y与x的函数关系的图象是 ( )
答案 A 作AD∥x轴,作CD⊥AD于点D,如图所示.
由题意可得OB=x,OA=1,∠AOB=90°,∠BAC=90°,AB=AC.∵AD∥x轴,∴∠DAO+∠AOB=180°,∴∠DAO=90°,
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°,∴∠OAB=∠DAC.在△OAB和△DAC中, ∴△OAB≌△DAC(AAS),∴OB=CD=x.∵点C到x轴的距离为y,点D到x轴的距离等于OA的长,为1,∴y=x+1.又∵点B在x轴正半轴上,∴x>0,∴y=x +1(x>0).故选A.
3.(2020内蒙古包头4月模拟,12)下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是 ( )A.图象经过第一、二、四象限B.y随x的增大而减小C.图象与y轴交于点(0,b)D.当x>- 时,y>0
4.(2019云南昆明模拟,13)如图,经过点B(-1,0)的直线y=kx+b与直线y=-2x+2相交于点A ,则不等式-2x+2
答案 D 把 代入y=-2x+2,得-2m+2= ,解得m=- ,所以A .观察图象可得,当x>- 时,-2x+2
答案 A 设线段AB的解析式为y=kx+b(k≠0,0≤x≤2),把(1.5,70)与(2,0)代入得 解得 ∴线段AB的解析式为y=-140x+280(0≤x≤2).在y=-140x+280中,令x=0,得y=280,故甲、乙两地相距280千米.设两车相遇时,慢车行驶了a千米,则快车行驶了(a+40)千米,根据题意得a+a+40=280,解得a=120,故两车相遇时,慢车行驶了120千米,快车行驶了160千米,∴快车的速度为80千米/时,慢车的速度为60千米/时,根据题意得(280-160)÷80=1.5(小时),1.5×60=90(千米),280-120-90=70(千米),则快车到达乙地时,慢车还有70千米到达甲地,故选A.
二、填空题(每小题3分,共9分)6.(2020上海虹口二模,14)某公司市场营销部的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(件)成一次函数关 系,其图象如图所示,根据图中给出的信息可知,当某位营销人员的月销售量为0件时,他的月收入是 元.
7.(2020江苏无锡锡北一模,16)若函数y=kx-b的图象如图所示,则关于x的不等式k(x-3)-b>0的解集是 .
解析 ∵一次函数y=kx-b的图象经过点(2,0),∴2k-b=0,即b=2k.由函数图象可知函数值y随x的增大而减小,∴k<0.解关于x的不等式k(x-3)-b>0,去括号、移项得kx>3k+b,即kx>5k,两边同时除以k,得x<5.
8.(2019辽宁辽阳模拟,17)如图,一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,点M在x轴上,要使△ ABM是以AB为腰的等腰三角形,那么点M的坐标是 .
解析 一次函数y=-x+1中,令y=0,得-x+1=0,解得x=1,∴点A的坐标为(1,0).令x=0,得y=1,∴点B的坐标为(0,1).设点M的坐标为(m,0),易知AB= ,AM=|m-1|,BM= .△ABM是以AB为腰的等腰三角形分两种情况:①AB=AM,即 =|m-1|,解得m= +1或m=- +1,此时点M的坐标为( +1,0)或(- +1,0);②AB=BM,即 = ,解得m=-1或m=1(舍去),此时点M的坐标为(-1,0).
综上可知,点M的坐标为( +1,0)或(- +1,0)或(-1,0).
三、解答题(共31分)9.(2020上海长宁二模,22)如图反映的是甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时各自 行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)之间关系的部分图象,根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)求乙的行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)(1≤x≤3)之间的函数解析式;(2)如果甲的速度一直保持不变,乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行,结果两人同时到达B地,求 A、B两地之间的距离.
解析 (1)设乙的行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)(1≤x≤3)之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0),将(1,30),(3,50)代入,得 解得 ∴乙的行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)(1≤x≤3)之间的函数解析式是y=10x+20(1≤x≤3).(2)设A、B两地之间的距离为s千米,甲的速度为60÷3=20(千米/时),乙在第1小时的速度为30÷1=30(千米/时),根据题意可得 = ,解得s=80.答:A、B两地之间的距离是80千米.
10.(2019天津西青一模,23)某教学网站策划了A,B两种上网学习的月收费方式如下表:
设每月上网学习的时间为x h.(1)根据题意,填写下表:
(2)设A,B两种方式的收费金额分别为y1元和y2元,分别写出y1,y2与x的函数解析式;(3)当x>60时,你认为哪种收费方式省钱?请说明理由.
解析 (1)当月上网时间为45 h时,A方式月超时费为(45-25)×0.6=12(元),总费用为7+12=19(元);B方式月超时费为0元,总费用为10元.故题表中A收费方式一行依次填12,19;B收费方式一行依次填0,10.(2)由题意可得,当0≤x≤25时,y1=7;当x>25时,y1=7+0.6(x-25)=0.6x-8,故y1与x的函数解析式为y1= 当0≤x≤50时,y2=10;当x>50时,y2=10+3(x-50)=3x-140,故y2与x的函数解析式为y2= (3)当x>60时,A种收费方式省钱.理由如下:
当0.6x-8>3x-140时,50
11.(2018江西南昌调研,19)某市风景区门票价格如图所示,现有甲、乙两个旅行团队,计划在“十一”黄 金周期间到该景点游玩.两团队游客人数之和为120,甲团队人数不超过50,乙团队人数为x,且x<100.如果 甲、乙两团队分别购买门票,两团队购票费用之和为W元.(1)求W与x的关系式,并说明两队联合购票比分别购票最多可节省多少元;(2)“十一”黄金周之后,该风景区对门票价格做了如下调整:人数不超过50时,门票价格不变;人数超过5 0但不超过100时,每张门票降价a元;人数超过100时,每张门票降价2a元.若甲、乙两个旅行团队“十 一”黄金周之后去游玩,两队联合购票比分别购买最多可节省3 400元,求a的值.
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