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    2019年江苏省盐城市东台市3月中考数学模拟试卷(含答案解析)

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    这是一份2019年江苏省盐城市东台市3月中考数学模拟试卷(含答案解析),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2019年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷(3月份)
    一、选择题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分)
    1.抛物线y=2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(  )
    A.(0,﹣1) B.(﹣2,﹣1) C.(2,﹣1) D.(0,1)
    2.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数与方差S2:





    平均数(cm)
    563
    560
    563
    560
    方差S2(cm2)
    6.5
    6.5
    17.5
    14.5
    根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择(  )
    A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
    3.甲、乙两人参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项,那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为(  )
    A. B. C. D.
    4.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB,D为圆周上一点,若的度数为50°,则∠ADC的度数为(  )

    A.20° B.25° C.30° D.50°
    5.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(  )
    A.k>﹣1 B.k<1且k≠0 C.k≥﹣1且k≠0 D.k>﹣1且k≠0
    6.如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为(  )

    A.4 B.4 C.6 D.4
    二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分)
    7.已知一组数据:4,2,5,0,3.这组数据的中位数是   .
    8.已知线段c是线段a和b的比例中项,且a、b的长度分别为2cm和8cm,则c的长度为   cm.
    9.一元二次方程2x2+3x+1=0的两个根之和为   .
    10.已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则它的侧面积等于   cm2.
    11.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2016的值为   .
    12.已知二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的部分对应值如下表:
    x

    ﹣2
    0
    2
    3

    y

    8
    0
    0
    3

    当x=﹣1时,y=   .
    13.已知正六边形的边长为4cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心,边长为半径画弧(如图),则所得到的三条弧的长度之和为   cm.(结果保留π)

    14.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则=   .

    15.如图,每个小正方形的边长都为1,点A、B、C都在小正方形的顶点上,则∠ABC的正切值为   .

    16.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为   .

    三、解答题(本大题共有11小题,共102分)
    17.计算: sin45°+2cos30°﹣tan60°
    18.雾霾天气严重影响市民的生活质量.在今年寒假期间,某校八年级一班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民.并对调查结果进行了整理.绘制了如图不完整的统计图表.观察分析并回答下列问题.

    (1)本次被调查的市民共有多少人?
    (2)分别补全条形统计图和扇形统计图,并计算图2中区域B所对应的扇形圆心角的度数;
    (3)若该市有100万人口,请估计持有A、B两组主要成因的市民有多少人?
    组别
    雾霾天气的主要成因
    百分比
    A
    工业污染
    45%
    B
    汽车尾气排放
    m
    C
    炉烟气排放
    15%
    D
    其他(滥砍滥伐等)
    n
    19.把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组,每组3张,分别标上1、2、3,将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀,再从中随机抽取一张.
    (1)请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率;
    (2)若取出的两张卡片数字之和为奇数,则甲胜;取出的两张卡片数字之和为偶数,则乙胜;试分析这个游戏是否公平?请说明理由.
    20.周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.
    已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.

    21.如图,点A、B、C在⊙O上,用无刻度的直尺画图.
    (1)在图①中,画一个与∠B互补的圆周角;
    (2)在图②中,画一个与∠B互余的圆周角.

    22.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD,在课外活动时间测得下列数据:如图,从地面E点测得地下停车场的俯角为30°,斜坡AE的长为16米,地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米.试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米,≈1.732).

    23.如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=﹣5x2+20x,请根据要求解答下列问题:
    (1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少?
    (2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
    (3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?

    24.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D.过点D作EF⊥AC,垂足为E,且交AB的延长线于点F.
    (1)求证:EF是⊙O的切线;
    (2)已知AB=4,AE=3.求BF的长.

    25.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
    (1)求证:AC2=AB•AD;
    (2)求证:CE∥AD;
    (3)若AD=4,AB=6,求的值.

    26.(1)问题提出:苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题:如图①,BD、CE是△ABC的高,M是BC的中点,点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上?为什么?
    在解决此题时,若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”,在连接MD、ME的基础上,只需证明   .
    (2)初步思考:如图②,BD、CE是锐角△ABC的高,连接DE.求证:∠ADE=∠ABC,小敏在解答此题时,利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明.(请你根据小敏的思路完成证明过程.)
    (3)推广运用:如图③,BD、CE、AF是锐角△ABC的高,三条高的交点G叫做△ABC的垂心,连接DE、EF、FD,求证:点G是△DEF的内心.
    27.如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0),点P是抛物线上一动点,试过点P作x轴的垂线1,再过点A作1的垂线,垂足为Q,连接AP.
    (1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标;
    (2)若△AQP∽△AOC,求点P的横坐标;
    (3)如图2,当点P位于抛物线的对称轴的右侧时,若将△APQ沿AP对折,点Q的对应点为点Q′,请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标.


    2019年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷(3月份)
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共有6小题,每小题3分,共18分)
    1.抛物线y=2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(  )
    A.(0,﹣1) B.(﹣2,﹣1) C.(2,﹣1) D.(0,1)
    【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标.
    【解答】解:∵顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),
    ∴y=2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2,﹣1).
    故选:C.
    【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).
    2.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数与方差S2:





    平均数(cm)
    563
    560
    563
    560
    方差S2(cm2)
    6.5
    6.5
    17.5
    14.5
    根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择(  )
    A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
    【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小,再根据平均数的意义即可求出答案.
    【解答】解:∵S甲2=6.5,S乙2=6.5,S丙2=17.5,S丁2=14.5,
    ∴S甲2=S乙2<S丁2<S丙2,
    ∵=563,=560,
    ∴>,
    ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择甲;
    故选:A.
    【点评】此题考查了平均数和方差,它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.
    3.甲、乙两人参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项,那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为(  )
    A. B. C. D.
    【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的情况数,即可求出所求的概率.
    【解答】解:可能出现的结果

    打扫社区卫生
    打扫社区卫生
    参加社会调查
    参加社会调查

    打扫社区卫生
    参加社会调查
    参加社会调查
    打扫社区卫生
    由上表可知,可能的结果共有4种,且他们都是等可能的,其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有1种,
    则两人同时选择“参加社会调查”的概率为,
    故选:B.
    【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.
    4.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB,D为圆周上一点,若的度数为50°,则∠ADC的度数为(  )

    A.20° B.25° C.30° D.50°
    【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°,利用垂径定理得到=,然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数.
    【解答】解:∵的度数为50°,
    ∴∠BOC=50°,
    ∵半径OC⊥AB,
    ∴=,
    ∴∠ADC=∠BOC=25°.
    故选:B.
    【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理和圆周角定理.
    5.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(  )
    A.k>﹣1 B.k<1且k≠0 C.k≥﹣1且k≠0 D.k>﹣1且k≠0
    【分析】根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于0列出不等式,且二次项系数不为0,即可求出k的范围.
    【解答】解:∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
    ∴△=b2﹣4ac=4+4k>0,且k≠0,
    解得:k>﹣1且k≠0.
    故选:D.
    【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0,方程没有实数根.
    6.如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为(  )

    A.4 B.4 C.6 D.4
    【分析】根据AD是中线,得出CD=4,再根据AA证出△CBA∽△CAD,得出=,求出AC即可.
    【解答】解:∵BC=8,
    ∴CD=4,
    在△CBA和△CAD中,
    ∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,
    ∴△CBA∽△CAD,
    ∴=,
    ∴AC2=CD•BC=4×8=32,
    ∴AC=4;
    故选:B.
    【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质,关键是根据AA证出△CBA∽△CAD,是一道基础题.
    二、填空题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分)
    7.已知一组数据:4,2,5,0,3.这组数据的中位数是 3 .
    【分析】要求中位数,按从小到大的顺序排列后,找出最中间的一个数(或最中间的两个数的平均数)即可.
    【解答】解:从小到大排列此数据为:0,2,3,4,5,第3位是3,则这组数据的中位数是3.
    故答案为:3.
    【点评】考查了中位数的知识,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求;如果是偶数个,则找中间两位数的平均数.
    8.已知线段c是线段a和b的比例中项,且a、b的长度分别为2cm和8cm,则c的长度为 4 cm.
    【分析】根据比例中项的定义,列出比例式即可得出中项,注意线段不能为负.
    【解答】解:根据比例中项的概念结合比例的基本性质,得:比例中项的平方等于两条线段的乘积.
    所以c2=2×8,解得c=±4(线段是正数,负值舍去),
    故答案为:4.
    【点评】此题考查了比例线段;理解比例中项的概念,这里注意线段不能是负数.
    9.一元二次方程2x2+3x+1=0的两个根之和为 ﹣ .
    【分析】设方程的两根分别为x1、x2,根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣=﹣,此题得解.
    【解答】解:设方程的两根分别为x1、x2,
    ∵a=2,b=3,c=1,
    ∴x1+x2=﹣=﹣.
    故答案为:﹣
    【点评】本题考查了根与系数的关系,牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键.
    10.已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则它的侧面积等于 24π cm2.
    【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算.
    【解答】解:圆锥的侧面积=×2π×4×6=24π,
    故答案为:24π.
    【点评】本题考查的是圆锥的计算,圆锥的侧面积:S侧=•2πr•l=πrl.
    11.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2016的值为 2019 .
    【分析】把x=m代入方程,求出2m2﹣3m=1,再变形后代入,即可求出答案.
    【解答】解:∵m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,
    ∴代入得:2m2﹣3m﹣1=0,
    ∴2m2﹣3m=1,
    ∴6m2﹣9m+2016=3(2m2﹣3m)+2016=3×1+2016=2019,
    故答案为:2019.
    【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解,能求出2m2﹣3m=1是解此题的关键.
    12.已知二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的部分对应值如下表:
    x

    ﹣2
    0
    2
    3

    y

    8
    0
    0
    3

    当x=﹣1时,y= 3 .
    【分析】先确定出抛物线的对称轴,然后利用对称性求解即可.
    【解答】解:依据表格可知抛物线的对称轴为x=1,
    ∴当x=﹣1时与x=3时函数值相同,
    ∴当x=﹣1时,y=3.
    故答案为:3.
    【点评】本题主要考查的是二次函数的性质,利用二次函数的对称性求解是解题的关键.
    13.已知正六边形的边长为4cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心,边长为半径画弧(如图),则所得到的三条弧的长度之和为 8π cm.(结果保留π)

    【分析】先求得正多边形的每一个内角,然后由弧长计算公式.
    【解答】解:方法一:
    先求出正六边形的每一个内角==120°,
    所得到的三条弧的长度之和=3×=8π(cm);

    方法二:先求出正六边形的每一个外角为60°,
    得正六边形的每一个内角120°,
    每条弧的度数为120°,
    三条弧可拼成一整圆,其三条弧的长度之和为8πcm.
    故答案为:8π.
    【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆.与圆有关的计算,注意圆与多边形的结合.
    14.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则=  .

    【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠B,∠AED=∠C,进而可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质可得出=,进而可得出=,此题得解.
    【解答】解:∵DE∥BC,
    ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴=()2=()=,
    ∴===.
    故答案为:.
    【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
    15.如图,每个小正方形的边长都为1,点A、B、C都在小正方形的顶点上,则∠ABC的正切值为 1 .

    【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度,根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°,再解直角三角形求出即可.
    【解答】解:
    如图:长方形AEFM,连接AC,
    ∵由勾股定理得:AB2=32+12=10,BC2=22+12=5,AC2=22+12=5,
    ∴AC2+BC2=AB2,AC=BC,
    即∠ACB=90°,
    ∴tan∠ABC==1,
    故答案为:1.
    【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点,能求出∠ACB=90°是解此题的关键.
    16.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为 2﹣2 .

    【分析】取BC中点G,连接HG,AG,由直角三角形的性质可得HG=CG=BG=BC=2,由勾股定理可求AG=2,由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG,当点H在线段AG上时,可求AH的最小值.
    【解答】解:如图,取BC中点G,连接HG,AG,

    ∵CH⊥DB,点G是BC中点
    ∴HG=CG=BG=BC=2,
    在Rt△ACG中,AG==2
    在△AHG中,AH≥AG﹣HG,
    即当点H在线段AG上时,AH最小值为2﹣2,
    故答案为:2﹣2
    【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质,三角形三边关系,勾股定理,确定使AH值最小时点H的位置是本题的关键.
    三、解答题(本大题共有11小题,共102分)
    17.计算: sin45°+2cos30°﹣tan60°
    【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值.
    【解答】解:原式=×+2×﹣=1.
    【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
    18.雾霾天气严重影响市民的生活质量.在今年寒假期间,某校八年级一班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民.并对调查结果进行了整理.绘制了如图不完整的统计图表.观察分析并回答下列问题.

    (1)本次被调查的市民共有多少人?
    (2)分别补全条形统计图和扇形统计图,并计算图2中区域B所对应的扇形圆心角的度数;
    (3)若该市有100万人口,请估计持有A、B两组主要成因的市民有多少人?
    组别
    雾霾天气的主要成因
    百分比
    A
    工业污染
    45%
    B
    汽车尾气排放
    m
    C
    炉烟气排放
    15%
    D
    其他(滥砍滥伐等)
    n
    【分析】(1)根据条形图和扇形图信息,得到A组人数和所占百分比,求出调查的市民的人数;
    (2)根据B组人数求出B组百分比,得到D组百分比,根据扇形圆心角的度数=百分比×360°求出扇形圆心角的度数,根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图;
    (3)根据持有A、B两组主要成因的市民百分比之和求出答案.
    【解答】解:(1)从条形图和扇形图可知,A组人数为90人,占45%,
    ∴本次被调查的市民共有:90÷45%=200人;
    (2)60÷200=30%,
    30%×360°=108°,
    区域B所对应的扇形圆心角的度数为:108°,
    1﹣45%﹣30%﹣15%=10%,
    D组人数为:200×10%=20人,
    (3)100万×(45%+30%)=75万,
    ∴若该市有100万人口,持有A、B两组主要成因的市民有75万人.


    【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识,正确获取图中信息并准确进行计算是解题的关键.
    19.把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组,每组3张,分别标上1、2、3,将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀,再从中随机抽取一张.
    (1)请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率;
    (2)若取出的两张卡片数字之和为奇数,则甲胜;取出的两张卡片数字之和为偶数,则乙胜;试分析这个游戏是否公平?请说明理由.
    【分析】(1)依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能,然后根据概率公式求出该事件的概率;
    (2)根据(1)中所求,进而求出两人获胜的概率,即可得出答案.
    【解答】解:(1)画树状图得:

    由上图可知,所有等可能结果共有9种,其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种.
    ∴P(取出的两张卡片数字之和为奇数)=.
    (2)不公平,理由如下:
    由(1)可得出:取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为:.
    ∵<,
    ∴这个游戏不公平.
    【点评】此题主要考查了游戏公平性,用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
    20.周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.
    已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.

    【分析】由BC∥DE,可得=,构建方程即可解决问题.
    【解答】解:∵BC∥DE,
    ∴△ABC∽△ADE,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴AB=17(m),
    经检验:AB=17是分式方程的解,
    答:河宽AB的长为17米.
    【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
    21.如图,点A、B、C在⊙O上,用无刻度的直尺画图.
    (1)在图①中,画一个与∠B互补的圆周角;
    (2)在图②中,画一个与∠B互余的圆周角.

    【分析】(1)根据四点共圆进行画图即可;
    (2)根据90°的圆周角所对的弦是直径进行画图即可.
    【解答】解:(1)如图1,∠P即为所求:

    (2)如图2,∠CBQ即为所求.
    【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.熟练掌握圆周角定理是解决此题的关键.
    22.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD,在课外活动时间测得下列数据:如图,从地面E点测得地下停车场的俯角为30°,斜坡AE的长为16米,地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米.试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米,≈1.732).

    【分析】根据题意和正弦的定义求出AB的长,根据余弦的定义求出CD的长.
    【解答】解:由题意得,AB⊥EB,CD⊥AE,
    ∴∠CDA=∠EBA=90°,
    ∵∠E=30°,
    ∴AB=AE=8米,
    ∵BC=2米,
    ∴AC=AB﹣BC=6米,
    ∵∠DCA=90°﹣∠DAC=30°,
    ∴CD=AC×cos∠DCA=6×≈6.9米.

    【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,理解仰角的概念、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键.
    23.如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=﹣5x2+20x,请根据要求解答下列问题:
    (1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是多少?
    (2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
    (3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?

    【分析】(1)根据题目中的函数解析式,令y=15即可解答本题;
    (2)令y=0,代入题目中的函数解析式即可解答本题;
    (3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题.
    【解答】解:(1)当y=15时,
    15=﹣5x2+20x,
    解得,x1=1,x2=3,
    答:在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是1s或3s;
    (2)当y=0时,
    0═﹣5x2+20x,
    解得,x1=0,x2=4,
    ∵4﹣0=4,
    ∴在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是4s;
    (3)y=﹣5x2+20x=﹣5(x﹣2)2+20,
    ∴当x=2时,y取得最大值,此时,y=20,
    答:在飞行过程中,小球飞行高度第2s时最大,最大高度是20m.
    【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
    24.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D.过点D作EF⊥AC,垂足为E,且交AB的延长线于点F.
    (1)求证:EF是⊙O的切线;
    (2)已知AB=4,AE=3.求BF的长.

    【分析】(1)作辅助线,根据等腰三角形三线合一得BD=CD,根据三角形的中位线可得OD∥AC,所以得OD⊥EF,从而得结论;
    (2)证明△ODF∽△AEF,列比例式可得结论.
    【解答】(1)证明:连接OD,AD,
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴AD⊥BC,
    ∵AB=AC,
    ∴BD=CD,
    ∵OA=OB,
    ∴OD∥AC,
    ∵EF⊥AC,
    ∴OD⊥EF,
    ∴EF是⊙O的切线;
    (2)解:∵OD∥AE,
    ∴△ODF∽△AEF,
    ∴,
    ∵AB=4,AE=3,
    ∴,
    ∴BF=2.

    【点评】本题主要考查的是圆的综合应用,解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定,圆的切线的判定,掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.
    25.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
    (1)求证:AC2=AB•AD;
    (2)求证:CE∥AD;
    (3)若AD=4,AB=6,求的值.

    【分析】(1)由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得AC2=AB•AD;
    (2)由E为AB的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得CE=AB=AE,继而可证得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD;
    (3)易证得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得的值.
    【解答】(1)证明:∵AC平分∠DAB,
    ∴∠DAC=∠CAB,
    ∵∠ADC=∠ACB=90°,
    ∴△ADC∽△ACB,
    ∴AD:AC=AC:AB,
    ∴AC2=AB•AD;

    (2)证明:∵E为AB的中点,
    ∴CE=AB=AE,
    ∴∠EAC=∠ECA,
    ∵∠DAC=∠CAB,
    ∴∠DAC=∠ECA,
    ∴CE∥AD;

    (3)解:∵CE∥AD,
    ∴△AFD∽△CFE,
    ∴AD:CE=AF:CF,
    ∵CE=AB,
    ∴CE=×6=3,
    ∵AD=4,
    ∴,
    ∴.
    【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
    26.(1)问题提出:苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题:如图①,BD、CE是△ABC的高,M是BC的中点,点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上?为什么?
    在解决此题时,若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”,在连接MD、ME的基础上,只需证明 ME=MD=MB=MC .
    (2)初步思考:如图②,BD、CE是锐角△ABC的高,连接DE.求证:∠ADE=∠ABC,小敏在解答此题时,利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明.(请你根据小敏的思路完成证明过程.)
    (3)推广运用:如图③,BD、CE、AF是锐角△ABC的高,三条高的交点G叫做△ABC的垂心,连接DE、EF、FD,求证:点G是△DEF的内心.
    【分析】(1)要证四个点在同一圆上,即证明四个点到定点距离相等.
    (2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,即能证ME=MD=MB=MC,得到四边形BCDE为圆内接四边形,故有对角互补.
    (3)根据内心定义,需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE.由点B、C、D、E四点共圆,可得同弧所对的圆周角∠CBD=∠CED.又因为∠BEG=∠BFG=90°,根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆,有同弧所对的圆周角∠FBG=∠FEG,等量代换有∠CED=∠FEG,同理可证其余两个内角的平分线.
    【解答】解:(1)根据圆的定义可知,当点B、C、D、E到点M距离相等时,即他们在圆M上
    故答案为:ME=MD=MB=MC

    (2)证明:连接MD、ME
    ∵BD、CE是△ABC的高
    ∴BD⊥AC,CE⊥AB
    ∴∠BDC=∠CEB=90°
    ∵M为BC的中点
    ∴ME=MD=BC=MB=MC
    ∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上
    ∴∠ABC=∠CDE=180°
    ∵∠ADE+∠CDE=180°
    ∴∠ADE=∠ABC


    (3)证明:取BG中点N,连接EN、FN
    ∵CE、AF是△ABC的高
    ∴∠BEG=∠BFG=90°
    ∴EN=FN=BG=BN=NG
    ∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上
    ∴∠FBG=∠FEG
    ∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上
    ∴∠FBG=∠CED
    ∴∠FEG=∠CED
    同理可证:∠EFG=∠AFD,∠EDG=∠FDG
    ∴点G是△DEF的内心

    【点评】本题考查了圆的定义,直角三角形斜边上的中线等于斜边一半,圆内接四边形对角互补,圆周角定理,内心的定义.第(3)题解题关键是选取适当的四点证明共圆,再利用圆周角定理证明角相等
    27.如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0),点P是抛物线上一动点,试过点P作x轴的垂线1,再过点A作1的垂线,垂足为Q,连接AP.
    (1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标;
    (2)若△AQP∽△AOC,求点P的横坐标;
    (3)如图2,当点P位于抛物线的对称轴的右侧时,若将△APQ沿AP对折,点Q的对应点为点Q′,请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标.

    【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式,然后利用抛物线解析式得到一元二次方程,通过解一元二次方程得到C点坐标;
    (2)利用△AQP∽△AOC得到AQ=4PQ,设P(m,﹣m2+3m+4),所以m=4|4﹣(﹣m2+3m+4|,然后解方程4(m2﹣3m)=m和方程4(m2﹣3m)=﹣m得P点坐标;
    (3)设P(m,﹣m2+3m+4)(m>),当点Q′落在x轴上,延长QP交x轴于H,如图2,则PQ=m2﹣3m,证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP,利用相似比得到Q′B=4m﹣12,则OQ′=12﹣3m,在Rt△AOQ′中,利用勾股定理得到方程42+(12﹣3m)2=m2,然后解方程求出m得到此时P点坐标;当点Q′落在y轴上,易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形,利用PQ=PQ′得到|m2﹣3m|=m,然后解方程m2﹣3m=m和方程m2﹣3m=﹣m得此时P点坐标.
    【解答】解:(1)把A(0,4),B(4,0)分别代入y=﹣x2+bx+c得,解得,
    ∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4,
    当y=0时,﹣x2+3x+4=0,解得x1=﹣1,x2=4,
    ∴C(﹣1,0);
    故答案为y=﹣x2+3x+4;(﹣1,0);
    (2)∵△AQP∽△AOC,
    ∴=,
    ∴===4,即AQ=4PQ,
    设P(m,﹣m2+3m+4),
    ∴m=4|4﹣(﹣m2+3m+4|,即4|m2﹣3m|=m,
    解方程4(m2﹣3m)=m得m1=0(舍去),m2=,此时P点坐标为(,);
    解方程4(m2﹣3m)=﹣m得m1=0(舍去),m2=,此时P点坐标为(,);
    综上所述,点P的坐标为(,)或(,);
    (3)设P(m,﹣m2+3m+4)(m>),
    当点Q′落在x轴上,延长QP交x轴于H,如图2,
    则PQ=4﹣(﹣m2+3m+4)=m2﹣3m,
    ∵△APQ沿AP对折,点Q的对应点为点Q',
    ∴∠AQ′P=∠AQP=90°,AQ′=AQ=m,PQ′=PQ=m2﹣3m,
    ∵∠AQ′O=∠Q′PH,
    ∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP,
    ∴=,即=,解得Q′B=4m﹣12,
    ∴OQ′=m﹣(4m﹣12)=12﹣3m,
    在Rt△AOQ′中,42+(12﹣3m)2=m2,
    整理得m2﹣9m+20=0,解得m1=4,m2=5,此时P点坐标为(4,0)或(5,﹣6);
    当点Q′落在y轴上,则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形,
    ∴PQ=AQ′,
    即|m2﹣3m|=m,
    解方程m2﹣3m=m得m1=0(舍去),m2=4,此时P点坐标为(4,0);
    解方程m2﹣3m=﹣m得m1=0(舍去),m2=2,此时P点坐标为(2,6),
    综上所述,点P的坐标为(4,0)或(5,﹣6)或(2,6)

    【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和折叠的性质;会利用待定系数法求函数解析式;会运用相似三角形的性质进行几何计算;理解坐标与图形性质.会运用分类讨论的思想解决数学问题.


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