2023年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷(含答案)

2023年江苏省盐城市东台市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  中国传统文化博大精深下面四个图形其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  小红连续天的体温数据如下单位：：，，，，关于这组数据，下列说法正确的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是

5.  如图，、、分别是三边的中点，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若是分式方程的根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，直线平行于轴，点坐标为，点坐标可能为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  的立方根为______．

10.  因式分解：____________．

11.  “我的盐城”是盐城市统一的城市综合移动应用服务端，一年来，实名注册用户超过人，数据用科学记数法表示为______ ．

12.  不透明袋子中装有个黑球、个白球，这些球除了颜色外无其他差别从袋子中随机摸出个球，“摸出黑球”的概率是______ ．

13.  已知关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______ ．

14.  如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳和的长相等去测量零件的内孔直径如果，且量得的长是，那么零件的厚度是______ ．

15.  如图，四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为______ ．

16.  如图，在四边形中，，且，，，则边的长是______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共110.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
如图，有、、三个相邻的座位，甲、乙、丙三名同学等可能地坐到这个座位上．
甲同学坐在座位的概率为______ ；
用画树状图或列表的方法求出乙、丙两同学恰好相邻而坐的概率．

20.  本小题分
某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：

此次调查中样本容量为______ ；
在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为______ ；
补全条形统计图；
根据此次数据调查情况，请对该校学生提出一条合理建议．

21.  本小题分
如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点、．
求证：四边形是平行四边形；
当时，求的长．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，的面积为．
求和的值；
当时，求函数值的取值范围．

23.  本小题分
图是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图是其俯视图简化示意图，已知轨道，两扇活页门的宽，点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变所有结果保留小数点后一位．
若，求的长；
当点从点向右运动时，求点在此过程中运动的路径长．
参考数据：，，，取
 

24.  本小题分
定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“分式”．
例如分式与互为“三分式”．
分式与______ 互为“六分式”；
若分式与互为“一分式”其中，为正数，求的值；
若正数，互为倒数，求证：分式与互为“五分式”．

25.  本小题分
如图，是的直径，已知点是弧的中点，连接并延长，在延长线上有一点，连接，且．
求证：是的切线；
连接，若，，求的长．

26.  本小题分
【问题提出】如图，用“圆规和无刻度的直尺”，作两条以为圆心的圆弧将已知扇形的面积三等分．

【问题联思】如图，已知线段，请你用“圆规和无刻度的直尺”作一个以为底边，底角为的等腰三角形，井写出与的数量关系；

【问题再现】如图，已知扇形，请你用“圆规和无刻度的直尺”作两条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被两条圆弧三等分友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深
 

27.  本小题分
如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为．

求该二次函数解析式；
已知点为抛物线与轴的交点．
若点在抛物线上，且，求点的坐标；
设点在抛物线上，若时，直接写出点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，平方差公式计算，即可求解．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不轴对称图形，是中心对称图形，不符符合题意；
C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：把小红连续天的体温从小到大排列得，，，，，，
处在中间位置的一个数是，因此中位数是；
出现次数最多的是，因此众数是；
平均数为：，
极差为：，
故选：．
根据中位数、众数、平均数、极差的计算方法，分别求出结果即可．
本题考查中位数、众数、平均数、极差的计算方法，掌握中位数、众数、平均数、极差的计算方法是正确计算的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
、、分别是三边的中点，
，，
四边形是平行四边形，
．
故选：．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由、、分别是三边的中点得出，，从而可得四边形是平行四边形，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将代入分式方程可得，
，
解得：，
故选：．
将代入分式方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得答案．
本题主要考查分式方程及其算法，关键在于正确运算解答答案．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线平行于轴，
点，的横坐标相同，
点坐标为，
点坐标的横坐标为，
所以，，，不符合题意，，符合题意；
故选：．
根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，进行判断即可．
本题考查坐标系下点的规律探究．熟练掌握平行于轴的直线上的点的横坐标相同，是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程，
，
它的根可视为和的交点的横坐标，

当时，，，在交点的左边，
当时，，，在交点的右边，
，
故选：．
所给方程不是常见的方程，两边都除以可转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数图象即可得到实根所在的范围．
本题主要考查函数图象交点的问题，注意方程与函数的转化．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是关键．
找到立方等于的数即可．
【解答】
解：因为，
所以的立方根是．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
观察原式，找到公因式，提出后再对括号内运用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】
解：
．
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：不透明袋子中装有个黑球、个白球，这些球除了颜色外无其他差别．
从袋子中随机摸出个球，则摸到黑球的概率为．
故答案为：．
用黑球的个数除以球的总个数即可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为．
故答案为：．
设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
：，
．
．
某零件的外径为，
零件的厚度为：，
故答案为：．
根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得的值．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
四边形面积为，则，
则：，
当时，；
所以时，四边形的面积最大，且为，
故答案为：．
直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值．
本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，

将绕点逆时针旋转，得到，，交于点，则，
，
点旋转后与点重合，
则≌，
，，，
是等腰直角三角形，则，，
设，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
设，则，
，
解得：，
，
在中，，
，
在中，，
故答案为：．
将绕点逆时针旋转，得到，，交于点，则，得出≌，进而证明，勾股定理求得，，进而求得，在中，勾股定理即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质化简，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：甲同学坐在座位的概率为，
故答案为：；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，乙、丙两同学恰好相邻而坐的结果有种，
乙、丙两同学恰好相邻而坐的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，乙、丙两同学恰好相邻而坐的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】   

【解析】解：此次调查中样本容量为人，
故答案为：．
在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为，
故答案为：．
重视的人数为人，
补全统计图如图所示，

根据此次数据调查情况，可知有的学生不重视对白己视力保护，建议该校学生要重视对自己视力的保护合理即可．
根据“不重视”的人数除以占比即可求解；
根据“非常重视”的占比乘以，即可求解；
根据重视的人数占比乘以样本的容量求得人数，进而补全统计图；
根据题意提出合理的建议，即可求解．
本题考查了条形统计图与扇形统计图综合，求扇形统计图圆心角度数，补全条形统计图，从统计图获取信息熟练掌握是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
又因为，，
≌，
，
又因为，
四边形是平行四边形；
解：，四边形是平行四边形
四边形是菱形，
，，，
设，则
在中，根据勾股定理，有
，
解之得：，
，
在中，根据勾股定理，有
，
 ，
在中，根据勾股定理，有，
，
． 

【解析】根据矩形的性质得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
推出四边形是菱形，得到，，，设，则根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，，
，
，
点的坐标为，
把代入，得；
反比例函数在时，随的增大而减小，
当时，的取值范围为． 

【解析】根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值；
求出时，的值，再根据反比例函数的性质求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力，正确记忆相关知识点是解题关键．
 

23.【答案】解：如图，作于，

，
，
在中，
，
，
，
的长约为；
，
，
，
，
是等边三角形，
半径为，圆心角为度的弧长，
点在此过程中运动的路径长约为． 

【解析】作于，利用锐角三角函数即可求出的长；
根据题意证明是等边三角形，可得点在此过程中运动的路径长即为半径为，圆心角为度的弧长．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形．
 

24.【答案】 

【解析】解：依题意，，
分式  与互为“六分式”，
故答案为：；
分式 与互为“一分式”，
，
即，
，
即，
，为正数，
，
正数，互为倒数，
，
，
分式 与  互为“五分式．
根据新定义，用即可求解；
根据定义可得，根据分式的加减进行计算，即可求解；
根据题意首先利用倒数关系，将、进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判断．
本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．
 

25.【答案】证明：点是弧的中点，
，
，
，
，，
，
，
是的直径，
是的切线；
解：如图，连接，

，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据垂径定理逆定理推出，根据对顶角相等及三角形内角和定理推出，根据切线的判定定理即可得解；
连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据锐角三角函数求解即可．
此题考查了切线的判定、垂径定理，熟练掌握切线的判定、垂径定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：问题联思如图所示，分别以，为圆心，为半径作圆，交于点，则三角形为等边三角形，然后作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点，则即为所求；

；

问题再现同上方法作以为底边，底角为的等腰三角形，延长交于点，则，

则，设，则，
以为圆心为半径，作弧，则，
连接，则，
以为圆心为半径，作弧，则，
设，
扇形的面积为，
扇形的面积为，
扇形的面积为，
弧，，即为所求． 

【解析】问题联思如图所示，分别以，为圆心，为半径作圆，交于点，则三角形为等边三角形，然后作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点，则即为所求；
问题再现分别作出半径为的弧，即可求解．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，作等腰三角形，垂直平分线的性质，作垂线，扇形面积公式，熟练掌握基本作图以及扇形面积公式是解题的关键．
 

27.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入解析式得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
由，当时，，
即，
设直线的解析式为，将点代入得，
解得：，
直线的解析式为，
过点与直线平行的直线为，
向下平移个单位得到，
向下平移个单位得到，
，
点在直线或上，
点在抛物线上，
或，
由解得：或，方程组无实根，
或；
当在轴下方时，
如图，取点，连接，过点作于点，连接交轴于点，连接，

，
，
，
，
，，，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
设直线解析式为，将点代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
解得：或，
，
当在轴上方时，可得直线解析式为，
则，
解得：或，
，
综上所述，或 

【解析】由点与点关于直线对称可求得点的坐标；
根据平行线间的距离相等，由，可知点在直线或上，联立抛物线，解方程即可求解；
分点在轴下方与轴上方，分别讨论，根据已知得出，进而得出直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．