2019年江苏省盐城市东台市3月中考数学模拟试卷（含答案解析）

这是一份2019年江苏省盐城市东台市3月中考数学模拟试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
1．抛物线y＝2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（0，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（0，1）
2．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数与方差S2：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
563
560
563
560
方差S2（cm2）
6.5
6.5
17.5
14.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．50°
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
6．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．6 D．4
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
7．已知一组数据：4，2，5，0，3．这组数据的中位数是　 　．
8．已知线段c是线段a和b的比例中项，且a、b的长度分别为2cm和8cm，则c的长度为　 　cm．
9．一元二次方程2x2+3x+1＝0的两个根之和为　 　．
10．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面积等于　 　cm2．
11．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为　 　．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
当x＝﹣1时，y＝　 　．
13．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为　 　cm．（结果保留π）

14．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝　 　．

15．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为　 　．

16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共有11小题，共102分）
17．计算： sin45°+2cos30°﹣tan60°
18．雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民．并对调查结果进行了整理．绘制了如图不完整的统计图表．观察分析并回答下列问题．

（1）本次被调查的市民共有多少人？
（2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图2中区域B所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该市有100万人口，请估计持有A、B两组主要成因的市民有多少人？
组别
雾霾天气的主要成因
百分比
A
工业污染
45%
B
汽车尾气排放
m
C
炉烟气排放
15%
D
其他（滥砍滥伐等）
n
19．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．
（1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；
（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

21．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．

22．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（结果精确到0.1米，≈1.732）．

23．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）已知AB＝4，AE＝3．求BF的长．

25．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．

26．（1）问题提出：苏科版《数学》九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明　 　．
（2）初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．（请你根据小敏的思路完成证明过程．）
（3）推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心．
27．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP．
（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；
（2）若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标；
（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．


2019年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
1．抛物线y＝2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（0，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（0，1）
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴y＝2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
2．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数与方差S2：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
563
560
563
560
方差S2（cm2）
6.5
6.5
17.5
14.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案．
【解答】解：∵S甲2＝6.5，S乙2＝6.5，S丙2＝17.5，S丁2＝14.5，
∴S甲2＝S乙2＜S丁2＜S丙2，
∵＝563，＝560，
∴＞，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；
故选：A．
【点评】此题考查了平均数和方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
3．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：可能出现的结果
甲
打扫社区卫生
打扫社区卫生
参加社会调查
参加社会调查
乙
打扫社区卫生
参加社会调查
参加社会调查
打扫社区卫生
由上表可知，可能的结果共有4种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有1种，
则两人同时选择“参加社会调查”的概率为，
故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
4．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．50°
【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．
【解答】解：∵的度数为50°，
∴∠BOC＝50°，
∵半径OC⊥AB，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BOC＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
6．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．6 D．4
【分析】根据AD是中线，得出CD＝4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出＝，求出AC即可．
【解答】解：∵BC＝8，
∴CD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴＝，
∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质，关键是根据AA证出△CBA∽△CAD，是一道基础题．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
7．已知一组数据：4，2，5，0，3．这组数据的中位数是　3　．
【分析】要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数）即可．
【解答】解：从小到大排列此数据为：0，2，3，4，5，第3位是3，则这组数据的中位数是3．
故答案为：3．
【点评】考查了中位数的知识，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
8．已知线段c是线段a和b的比例中项，且a、b的长度分别为2cm和8cm，则c的长度为　4　cm．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2＝2×8，解得c＝±4（线段是正数，负值舍去），
故答案为：4．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
9．一元二次方程2x2+3x+1＝0的两个根之和为　﹣　．
【分析】设方程的两根分别为x1、x2，根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣＝﹣，此题得解．
【解答】解：设方程的两根分别为x1、x2，
∵a＝2，b＝3，c＝1，
∴x1+x2＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
10．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面积等于　24π　cm2．
【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×6＝24π，
故答案为：24π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
11．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为　2019　．
【分析】把x＝m代入方程，求出2m2﹣3m＝1，再变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴代入得：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m+2016＝3（2m2﹣3m）+2016＝3×1+2016＝2019，
故答案为：2019．
【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出2m2﹣3m＝1是解此题的关键．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
当x＝﹣1时，y＝　3　．
【分析】先确定出抛物线的对称轴，然后利用对称性求解即可．
【解答】解：依据表格可知抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝﹣1时与x＝3时函数值相同，
∴当x＝﹣1时，y＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的对称性求解是解题的关键．
13．已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为　8π　cm．（结果保留π）

【分析】先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．
【解答】解：方法一：
先求出正六边形的每一个内角＝＝120°，
所得到的三条弧的长度之和＝3×＝8π（cm）；

方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，
得正六边形的每一个内角120°，
每条弧的度数为120°，
三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm．
故答案为：8π．
【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆．与圆有关的计算，注意圆与多边形的结合．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝　　．

【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出＝，进而可得出＝，此题得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）＝，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为　1　．

【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：
如图：长方形AEFM，连接AC，
∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
即∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为　2﹣2　．

【分析】取BC中点G，连接HG，AG，由直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，由勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．
【解答】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，

∵CH⊥DB，点G是BC中点
∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，
在Rt△ACG中，AG＝＝2
在△AHG中，AH≥AG﹣HG，
即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，
故答案为：2﹣2
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使AH值最小时点H的位置是本题的关键．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分）
17．计算： sin45°+2cos30°﹣tan60°
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝×+2×﹣＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民．并对调查结果进行了整理．绘制了如图不完整的统计图表．观察分析并回答下列问题．

（1）本次被调查的市民共有多少人？
（2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图2中区域B所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该市有100万人口，请估计持有A、B两组主要成因的市民有多少人？
组别
雾霾天气的主要成因
百分比
A
工业污染
45%
B
汽车尾气排放
m
C
炉烟气排放
15%
D
其他（滥砍滥伐等）
n
【分析】（1）根据条形图和扇形图信息，得到A组人数和所占百分比，求出调查的市民的人数；
（2）根据B组人数求出B组百分比，得到D组百分比，根据扇形圆心角的度数＝百分比×360°求出扇形圆心角的度数，根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图；
（3）根据持有A、B两组主要成因的市民百分比之和求出答案．
【解答】解：（1）从条形图和扇形图可知，A组人数为90人，占45%，
∴本次被调查的市民共有：90÷45%＝200人；
（2）60÷200＝30%，
30%×360°＝108°，
区域B所对应的扇形圆心角的度数为：108°，
1﹣45%﹣30%﹣15%＝10%，
D组人数为：200×10%＝20人，
（3）100万×（45%+30%）＝75万，
∴若该市有100万人口，持有A、B两组主要成因的市民有75万人．


【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，正确获取图中信息并准确进行计算是解题的关键．
19．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．
（1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；
（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【分析】（1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率；
（2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
，
由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种．
∴P（取出的两张卡片数字之和为奇数）＝．
（2）不公平，理由如下：
由（1）可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为：．
∵＜，
∴这个游戏不公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

【分析】由BC∥DE，可得＝，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝17（m），
经检验：AB＝17是分式方程的解，
答：河宽AB的长为17米．
【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．
（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；
（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．

【分析】（1）根据四点共圆进行画图即可；
（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径进行画图即可．
【解答】解：（1）如图1，∠P即为所求：

（2）如图2，∠CBQ即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．熟练掌握圆周角定理是解决此题的关键．
22．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（结果精确到0.1米，≈1.732）．

【分析】根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出CD的长．
【解答】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，
∴∠CDA＝∠EBA＝90°，
∵∠E＝30°，
∴AB＝AE＝8米，
∵BC＝2米，
∴AC＝AB﹣BC＝6米，
∵∠DCA＝90°﹣∠DAC＝30°，
∴CD＝AC×cos∠DCA＝6×≈6.9米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角的概念、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y＝15即可解答本题；
（2）令y＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）当y＝15时，
15＝﹣5x2+20x，
解得，x1＝1，x2＝3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y＝0时，
0═﹣5x2+20x，
解得，x1＝0，x2＝4，
∵4﹣0＝4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）已知AB＝4，AE＝3．求BF的长．

【分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∵AB＝4，AE＝3，
∴，
∴BF＝2．

【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
25．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．

【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2＝AB•AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE＝AB＝AE，继而可证得∠DAC＝∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB•AD；

（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；

（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE＝AF：CF，
∵CE＝AB，
∴CE＝×6＝3，
∵AD＝4，
∴，
∴．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
26．（1）问题提出：苏科版《数学》九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明　ME＝MD＝MB＝MC　．
（2）初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．（请你根据小敏的思路完成证明过程．）
（3）推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心．
【分析】（1）要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．
（2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补．
（3）根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据（2）易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．
【解答】解：（1）根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上
故答案为：ME＝MD＝MB＝MC

（2）证明：连接MD、ME
∵BD、CE是△ABC的高
∴BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDC＝∠CEB＝90°
∵M为BC的中点
∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上
∴∠ABC＝∠CDE＝180°
∵∠ADE+∠CDE＝180°
∴∠ADE＝∠ABC


（3）证明：取BG中点N，连接EN、FN
∵CE、AF是△ABC的高
∴∠BEG＝∠BFG＝90°
∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG
∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上
∴∠FBG＝∠FEG
∵由（2）证得点B、C、D、E在同一个圆上
∴∠FBG＝∠CED
∴∠FEG＝∠CED
同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG
∴点G是△DEF的内心

【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第（3）题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等
27．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP．
（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；
（2）若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标；
（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标；
（2）利用△AQP∽△AOC得到AQ＝4PQ，设P（m，﹣m2+3m+4），所以m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4|，然后解方程4（m2﹣3m）＝m和方程4（m2﹣3m）＝﹣m得P点坐标；
（3）设P（m，﹣m2+3m+4）（m＞），当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQ＝m2﹣3m，证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B＝4m﹣12，则OQ′＝12﹣3m，在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+（12﹣3m）2＝m2，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q′落在y轴上，易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，利用PQ＝PQ′得到|m2﹣3m|＝m，然后解方程m2﹣3m＝m和方程m2﹣3m＝﹣m得此时P点坐标．
【解答】解：（1）把A（0，4），B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4，
当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴C（﹣1，0）；
故答案为y＝﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；
（2）∵△AQP∽△AOC，
∴＝，
∴＝＝＝4，即AQ＝4PQ，
设P（m，﹣m2+3m+4），
∴m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4|，即4|m2﹣3m|＝m，
解方程4（m2﹣3m）＝m得m1＝0（舍去），m2＝，此时P点坐标为（，）；
解方程4（m2﹣3m）＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝，此时P点坐标为（，）；
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）；
（3）设P（m，﹣m2+3m+4）（m＞），
当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，
则PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m，
∵△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，
∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m，
∵∠AQ′O＝∠Q′PH，
∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，
∴＝，即＝，解得Q′B＝4m﹣12，
∴OQ′＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m，
在Rt△AOQ′中，42+（12﹣3m）2＝m2，
整理得m2﹣9m+20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此时P点坐标为（4，0）或（5，﹣6）；
当点Q′落在y轴上，则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，
∴PQ＝AQ′，
即|m2﹣3m|＝m，
解方程m2﹣3m＝m得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；
解方程m2﹣3m＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝2，此时P点坐标为（2，6），
综上所述，点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和折叠的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用相似三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．会运用分类讨论的思想解决数学问题．