高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题04 三角函数与解三角形（第02期）（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版）专题04 三角函数与解三角形（第02期）（解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题04　三角函数与解三角形
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角函数的诱导公式，可得，即，
又由.
2. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知定义在上的偶函数对任意都有，当取最小值时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为函数为偶函数，
所以，即，
又因为都有，
可得：
所以，解得
所以，且取最小值，
所以
综上可得，
，
故选：A
3. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可以为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图像可知即，，，.
又 图像过点即，，
，
当时，.则.
故选：D.
4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】在中，，则的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理可知，

两式相加，得到
所以，当且仅当时，等号成立，
而
所以，
因为，所以
所以，即，又，
所以是等边三角形，
故选D项.
5. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】函数的图象可看作是将函数的图象向右平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，而，即.
故选：D.
6. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】函数的图象可看作是将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍而得到的，若，，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，若，，则为的最大值，
令，得.
令，得，即的一个可能取值为.
故选：D.
7. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】根据已知函数
其中，的图象过点，，
可得，，
解得：．
再根据五点法作图可得，
可得：，
可得函数解析式为：
故把的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
故选B．
8. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，

．
故选D．
9. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图像可知，函数图像最低点为，故，所以，将点代入解析式得，解得，故，所以，故选C.
10. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】函数向右平移个单位后得到函数，若在上单调递增，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,
令
解得 ，
若在上单调递增，
,解得：

时，.
故选D.
11. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为α、β都为锐角，且、，
所以， ，
由，
且α、β都为锐角， 所以
故选：C
12. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】，，
又，，
注意到，只有这两组．故选B．
13. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意
,
，
，，
，
的最小值为，
故选C．
14. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知⊙O的半径为1，A，B为圆上两点，且劣弧AB的长为1，则弦AB与劣弧AB所围成图形的面积为（ ）
A．sin1 B．cos1 C．sin D．cos
【答案】A
【解析】设的半径为，劣弧所对的圆心角为，弧长为，

由弧长公式得，
∴弦与劣弧所围成图形的面积，
故选：A．
15. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】下列关于函数的说法，正确的是（ ）
A．是函数f（x）的一个极值点
B．f（x）在区间[0，]上是增函数
C．函数f（x）在区间（0，π）上有且只有一个零点
D．函数f（x）的图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到
【答案】D
【解析】函数，
当时，，所以不是函数的一个极值点，所以A不正确；
当时，函数取得最大值，所以函数在区间上不是增函数，所以B不正确；
由得，则，所以在区间上有两个零点，，所以C不正确；
由函数的图象向左平移个单位长度得到，所以正确．
故选：D．
16. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知函数的部分图象如图所示，其中，且，则函数在下列区间中一定具有单调性的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，及，可得且，即．
当周期无限接近且小于时，
图中最高点的横坐标无限接近于0且大于0，
所以在区间上不单调，故A错；
图中最低点的横坐标大于小于，
所以在区间上不单调，故C错；
当周期无限接近时，图中的最低点自左向右无限接近，
所以在区间上不单调，故D错，
故选：B．
17. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故选：B.
18. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
即，即，
因为，所以，
由余弦定理，所以，
由的面积公式得
故选：A
19. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】函数的部分图象如图所示．若对任意，恒成立，则实数的最大负值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象可知：，，解得：.
，
，解得：，
又，，.
，关于直线对称，
，解得：，
则当时，取得最大负数，此时.
故选：.
20. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值为( )


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得.
根据题意可知)，所以，
可知，.
所以.
.
故选C.
21. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知函数，若集合含有4个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】f（x）=2sin（ωx﹣），
作出f（x）的函数图象如图所示：

令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，
∴x=+，或x=+，k∈Z，
设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，
则xA=，xB=，
∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，
∴xA＜π≤xB，
即＜π≤，解得．
故选B．
22. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】，且，可得：
，

，
．
故选：B．
23. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】在中，分别为角的对边，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
∴由余弦定理可得：
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选：D．
24. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】已知函数，则下述结论中错误的是（ ）
A．若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点
B．若在有且仅有个零点，则在上单调递增
C．若在有且仅有个零点，则的范围是
D．若图像关于对称，且在单调，则的最大值为
【答案】B
【解析】因为,因为在有且仅有个零点，所以，所以.所以选项C正确；

此时，在有且仅有个极小值点，故选项A正确；
因为，
因为，所以当时，所以，此时函数不是单调函数，所以选项B错误；
因为图像关于对称，所以.
如果函数在单调递增，
令，所以，
令时，函数的增区间为，
所以此时不满足题意，所以该情况不存在.
若在，单调递减，
则，且，，
即，且，，
由上面两式可得，，故奇数的最大值为11．
当时，，，，．
此时在，上不单调，不满足题意．
当时，，，，，
此时在，上单调递减，满足题意；
故的最大值为9．故选项D正确.
故选：B
25. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，因为是奇函数，所以，.解得，.因为，所以的最小值为.
故选：D
二、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知的内角，，的对边分别是，，，且满足，则__________．若为边上的一点，且满足，，锐角三角形的面积为，则_________．
【答案】
【解析】①的内角，，的对边分别是，，，
由题：，由正弦定理可得：，
所以，，
，，，
所以，

②锐角三角形的面积为，，，
所以，
所以，所以，
锐角三角形中，由余弦定理：，
由正弦定理，，
在中由正弦定理可得：，
解得：.
故答案为：①；②
2. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知，则的结果为____.
【答案】
【解析】，即，
即，
.
故答案为：.
3. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若，且，2，成等差数列，则面积S的最大值为____
【答案】
【解析】，∴，因此
∵，2，成等差数列，∴，
因此，
当，即时，S取得最大值，
即面积S的最大值为，故答案为.
4. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】在中，为的中点，与互为余角，，，则的值为__________．
【答案】或
【解析】设,则由+可知, 为的中点，,即,由正弦定理得或,当A=B时,AC=BC, ,当时, ,在△ACD中, ,综上可得,的值为或.
5. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】在中，角的对边分别是，，，点在线段上，且，则的最小值为________.
【答案】
【解析】由正弦定理得，.
又，，
由，得，
，两边平方得
，当且仅当时取等号.即.
故答案为：
6. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（文)】在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】由及正弦定理得，
∴.又，∴，
由得.
设的外接圆半径为，则
.∴
，（其中，），
当时，，即的最大值为.
故答案为：.
7. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则的值为____________．
【答案】
【解析】由正弦定理可得：，
即，∴．
故答案为：
8. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由的三边分别为，，可得：
，

可知：

，
，

，





可知


可知当时，

则的最大值的取值范围为
9. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试文科】已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，且，则b+c的取值范围为_____．
【答案】
【解析】，且，
，即，
又由余弦定理可得，
可得，即，
，，又为锐角，，
，，
设，由余弦定理知，
，
，，，
故，
故答案为：．
10. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知分别是的内角的对边，，且，则周长的最小值为_____．
【答案】
【解析】由得，故.由三角形面积公式得.所以三角形的周长，当且仅当时，等号成立.故周长的最小值为.
11. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期七调（理)】已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由正弦定理可知．，又，则，，从而，又，知，所以，则，换元可令，则，故本题应填．
12. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为，则在区间上的所有零点的和为_____．
【答案】
【解析】∵，
∴变换后得,
令，则，
所以，，
所以在上的零点为，
所以，
故答案为：．
13. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】已知函数（，），若点是函数图象的对称中心，直线是函数的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时的值为______.
【答案】
【解析】函数（，），且在区间上单调，
，
，
点是函数图象的对称中心，直线是函数的对称轴，
，即，.
实数的最大值为，
此时，
点是函数图象的对称中心，
，
又，即，
，即，
，，
此时在区间上单调递减，点和直线分别是函数图象的对称中心和对称轴，符合题意.
故答案为：.
三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知向量，，设函.在中，角的对边分别是，.
（1）求的大小；
（2）若，，求的大小.
【答案】（1）（2）
【解析】根据题意得
.
（1）因为，且，所以
（2）因为.
所以，
所以.
因为，所以.
根据正弦定理得.
又由余弦定理，得，
即，解得.
2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，，分别为线段上的点，且，．

（1）求线段的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，，所以．
由余弦定理得，
所以，即，
在中，，，
所以，所以．
（2）因为是的平分线，
所以，
又，所以，
所以，，
又因为，所以，
所以．
3. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】已知的面积为，且且.
(1)求角的大小；
(2)设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
又，即，
∴，
又，∴.
（2）如下图所示：

在中，为中线，∴，
∴
∴.
由（1）知：，
又， ∴，，
由余弦定理可得：，
，
，
又，
∴，又，∴，
在中，有：
，
所以.
4. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若E是的中点，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题设及余弦定理得：，
BD2＝AB2+DA2﹣2AB•DAcosA＝5+4cosC，
所以cosC，
；
（2）由，得所以.

5. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】如图,在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=2，AD=
(1)求的值;
(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2,求的最大值,

【答案】（1）；(2).
【解析】（1）在∆ABD中：
在∆BCD中：
所以，整理得：；
（2）由题意
所以：



，
，解之得：
所以当时，.
6. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；
单调递减区间是
（Ⅱ）面积的最大值为
【解析】（Ⅰ）由题意知

由可得
由可得
所以函数的单调递增区间是；
单调递减区间是
（Ⅱ）由得
由题意知为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即：当且仅当时等号成立.
因此
所以面积的最大值为
7. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】在中，角,,所对的边分别是,,. 若，，的面积为36.
（1）求的值；
（2）若点分别在边,上，且，，求的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知，则，
化简，得，由正弦定理得
因为，所以.因为，所以.
因为，，所以，
解得.
（2）由（1）知，，故为等腰直角三角形， ,所以 ,
在中，，
则， 且 ,
从而，
所以.
8. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】已知在中，角对应的边分别为，．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由及正弦定理
可得
由余弦定理可得

又因为，所以 .
（2）因为 ,
所以.
又因为，
所以是等边三角形，所以