高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题07 圆锥曲线（解析版）

这是一份高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版（2020版第1期）专题07 圆锥曲线（解析版），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)
专题07　圆锥曲线
一、选择题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆定义可知：，，

则，
所以，
因为，即，
，即.
.
2. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，点在直线上的射影为，且当取最小值5时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】A
【解析】由双曲线的定义可知，
所以，
当，，三点共线时，最小，
所以，
所以．
由题意得．
方法一：由的面积是（为原点）的面积的2倍，，，
得，
所以的面积为．
又由知，
因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以最大为．
故选A．
方法二：因为直线为双曲线的一条渐近线，
所以方程为．过左焦点与渐近线垂直的直线方程为，
由，解得，所以，
所以．
又由知，
因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以最大为．
故选A．
3. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
设双曲线的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】AF2垂直于x轴，则|F2A|为双曲线的通径的一半，
|F2A|＝，A的坐标为，
|AF1|＝.
Q，∴|F2Q|＝.
又|F2Q|＞|F2A|⇒＞，
故有|AQ|＝ ；
A在第一象限上即在右支上，则有|AF1|＋|AQ|＞|F1F2|，
即＋－＞×2c⇒＞3c⇒7a＞6c⇒e＝＜.∵e＞1，∴1＜e＜.
答案：B
4. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试】
已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点，则①．
又，
②．
由①②得，
即，
，
故选B．
5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】
已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线 ,设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为,由,解得 ,又 ,又,,双曲线C的方程为 ,即,又,解得或,所以点P的横坐标m的取值范围为,故选A.
6. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】
已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与双曲线C的右支交于P点，且的外接圆面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，由已知得A（-1.0），B（1，0），（2，0），且，所以，在三角形ABP中，由正弦定理得.，所以三角形APB的外接圆的面积为.故选C.
7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】
已知椭圆两个焦点之间的距离为2，单位圆O与的正半轴分别交于M，N点，过点N作圆O的切线交椭圆于P，Q两点，且，设椭圆的离心率为e，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为两个焦点之间的距离为2，所以，所以t=1，由得，由已知得，，所以，所以，故选A.
8. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
已知的准线交轴于点，焦点为，过且斜率大于0的直线交于，，则（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】B
【解析】设，，因为，即，整理化简得，
，，，代入余弦定理整理化简得：，又因为，所以，，
，选B.
9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
如图，设椭圆： 的右顶点为，右焦点为， 为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，

则OM为△ABC的中位线，
于是△OFM∽△AFB，且，即=可得e==．故答案为： ．
10. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
已知直线： ，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：
①；②；③；④.
其中直线的“绝对曲线”的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．
对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；
对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，
所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．
所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，
得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x2=, x1x2=．
若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，则
化简得．令f（a）=．f（1），f（3）．
所以函数f（a）在（1，3）上存在零点，即方程有根．
而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．
故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．对于④将y=ax+1﹣a代入.
把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，
∴x1+x2=，x1x2=．若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，
则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2）
化为a6-16a2+16a-16=0，令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．
∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选：C．
11. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解析】若，则可设，因为是的一个四等分点；
若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；
若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,所以 是直角三角形，且 ,
所以由勾股定理，得，得,
故选B.
12.【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】
焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】
过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时， 必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．
13.【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】
定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
设双曲线的渐近线与 轴的夹角为 ，
双曲线的渐近线为 ，则 ，
结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.
本题选择D选项.
14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】
已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则
A． B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】
由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①
由抛物线的性质可知,， ，则，
∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，
由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即
，
代入整理得： ②，
由①②，解得：x0=2，p=2，
∴ ，
故选：B．

15. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】
已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，
故选A.
16. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点在双曲线上.所以.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.
故选A.
17. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】
若圆和圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圆x2+y2﹣ax+2y+1=0的圆心（），因为圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线
y=x﹣1对称，设圆心（）和（0,0）的中点为（），
所以（）满足直线y=x﹣1方程，解得a=2，
过点C（﹣2，2）的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为（x，y）
所以 解得：y2+4x﹣4y+8=0，
所以圆心的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8=0，
故答案为：C
18. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】
已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|,∴=，
设PA的倾斜角为α，则=，
当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），
即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），
∴双曲线的离心率为=+1．
故答案为：C

19. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】
抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设外接圆的圆心为，则到准线的距离与到的距离相等，故在抛物线上，又，故，所以，，所以周长为.故选B.
20.【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】
已知圆F1：（x+2）2+y2＝36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
连结，则 =PA，
∵ + =PA+ ==6＞，由椭圆的定义可得点的轨迹为以点、为焦点，长轴为6的椭圆
∴2a=6，即a=3，又∵焦点为（2，0），即c=2，
∴b2=a2﹣c2=9﹣4=5，
故点P的轨迹C的方程为：
故选：B
二、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
已知F为抛物线的焦点，点A、B在抛物线上位于x轴的两侧，且＝12(其中O为坐标原点)，若的面积是，则的面积是______
【答案】
【解析】设，且.由抛物线得，而.由①，由于在抛物线上，故②，由①②解得，所以.
2. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】
已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为________.
【答案】
【解析】设椭圆C的左焦点为，由椭圆定义得，
即（*）.∵O为线段的中点，
N为线段MF的中点，由中位线的性质得，
代入（*）式，解得，故其离心率.
故答案为:.
3. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。
【答案】2
【解析】由题意，焦点，设直线，不妨设为左交点，，则过的切线为，则，所以，解得，则，根据抛物线的定义可得.
4. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试】
已知，分别为椭圆的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M的坐标为，若为的角平分线，则___________.
【答案】
【解析】由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设A在y轴左侧，
∴3，
由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，
A在y轴右侧时，|AF2|，
故答案为：．

5.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】
已知圆为圆外任意一点．过点P作圆C的一条切线，切点为N，设点P满足时的轨迹为E，若点A在圆C上运动，B在轨迹E上运动，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】设点，所以.
.由得.化简得，所以点B在直线E上运动，点A在圆C上运动，所以圆心C到直线E的距离为，所以的最小值为，故答案为：
6.【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
已知点是抛物线： （）上一点， 为坐标原点，若是以点为圆心， 的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是_______.
【答案】
【解析】由题意，可知，所以，所以。
7.【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】
在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意可设： ，则： ，
则：当 时，面积由最大值 ；
当 时，面积由最大值 ；
结合二次函数的性质可得：的取值范围为.
8. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】
已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.
【答案】
【解析】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,
∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，
，
由柯西不等式得（1+）（）≥（）2

故答案为：
9. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】
已知双曲线 ，圆.若双曲线的一条渐近线与圆相切，则当取得最大值时，的实轴长为__________．
【答案】
【解析】双曲线的一条渐近线方程为：，
圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：，
据此可知：，则，
故 ，
令，
则 ，
由导函数与原函数的单调性的关于可知：
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，取得最大值时，此时的实轴长为.
三、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】
已知椭圆C：过点，且离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆C交于P、Q两点，且在直线上存在点M，使得为等边三角形，求直线的方程。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=0或y=
【解析】
（Ⅰ）由题解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意；
当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,设P（）,则Q（）,,又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,, ∵为等边三角形即解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=
综上可知，直线的方程为y=0或y=
2. 【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】
在平面直角坐标系中，点满足方程.
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）作曲线C关于轴对称的曲线，记为，在曲线C上任取一点，过点P作曲线C的切线l，若切线l与曲线交于A，B两点，过点A，B分别作曲线的切线，证明的交点必在曲线C上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由，
两边平方并化简，得，
即，
所以点M的轨迹C的方程为.
（2）由（1）及题意可知曲线：，
又由知，
所以点处的切线方程为，
即，
又因为点在曲线C上，
所以，
所以切线方程为，
联立消去整理得，，
设，，
所以，，（*）
又由，得，
所以曲线上点处的切线的方程为，
即，
同理可知，曲线上点处的切线的方程为，
联立方程组，
又由（*）式得，
所以，的交点为，此点在曲线C上，
故，的交点必在曲线C上.
3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】
已知为坐标原点，抛物线：与直线：交于点，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）线段的中点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若直线，分别与直线交于，两点，当时，求斜率的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由消去整理得，
∵直线与抛物线交于两点，
∴，解得或（舍去）．
设，，则，
∴，
∵，
∴，解得，符合题意．
∴抛物线方程为：．
（2）由（1）得，
∴，，
∴，
∴，中点为．
设过点斜率为的直线方程为，即，
由消去整理得，
其中，故．
设，，
则，，
直线的方程为，令，得，
∴，
同理得，
∴，
解得，满足题意．
∴斜率的值为．
4. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】
在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最大值时切点的横坐标．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，，.因为，，
所以，，，所以.
（2）切线：，将代入得，
直线：，将代入得，
，
因为在抛物线上且在第一象限，
所以，所以，
设，
，
，，.
5. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试】
设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．
【答案】（1）；(2)．
【解析】（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．
所以，椭圆的方程为．
（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，
点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，
从而，即．
易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．
当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．
所以，的值为．
6．【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】
已知椭圆的上顶点为点，右焦点为.延长交椭圆于点，且满足.
（1）试求椭圆的标准方程；
（2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于两点，设椭圆的左顶点为点，且直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.
【答案】(1) (2) 与之积为定值，且该定值是
【解析】（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为.
∵，可得，
又，，
∴代入可得，
又，解得，，
即椭圆的标准方程为.
（2）设，，，，.
由题意可设直线的方程为，
联立消去，
得，
∴
根据三点共线，可得，
∴.
同理可得，
∴的坐标分别为，，
∴




.
∴与之积为定值，且该定值是.
7. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，，设 .

（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）求的取值范围.
【答案】（I） ，；（II） ．
【解析】（Ⅰ）由抛物线定义可得，
∵点M在抛物线上，
∴，即 ①
又由，得
将上式代入①，得
解得
∴
，
所以曲线的方程为，曲线的方程为。
（Ⅱ）设直线的方程为，
由消去y整理得，
设，.
则，
设，，
则，
所以， ②
设直线的方程为 ，
由，解得，
所以，
由②可知，用代替，
可得，
由，解得，
所以，
用代替，可得
所以

，当且仅当时等号成立。
所以的取值范围为.
8.【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】
在平面直角坐标平面中， 的两个顶点为，平面内两点、同时满足：①；②；③．
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，设弦的中点分别为．
①求四边形的面积的最小值；
②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点．
【解析】
（1）∵
∴由①知
∴为的重心
设，则，由②知是的外心
∴在轴上由③知，由，得，化简整理得： ．
（2）解： 恰为的右焦点，
①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，
由，
设则，
①根据焦半径公式得，
又，
所以，同理，
则，
当，即时取等号．
②根据中点坐标公式得，同理可求得，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为，
整理化简得，
令，解得
∴直线恒过定点，
②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线即为轴，过点，
综上， 的最小值的，直线恒过定点．
9. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】
如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点， 为上一动点，且在之间移动.

（1）当取最小值时，求和的方程；
（2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程．
【答案】（1）（2）的面积最大值为．此时．
【解析】
（1）因为，则，所以取最小值时，
此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；
（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，
由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，
于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以．此时抛物线方程为， ，则直线的方程为．联立，得或（舍去），于是．所以，
设到直线的距离为，则，当时， ，所以的面积最大值为．此时．
10.【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】
已知椭圆的长轴长为，且椭圆与圆的公共弦长为
（1）求椭圆的方程.
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆： 的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.
（2）直线的解析式为，设， 的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以， .因为，所以，即，所以.当时， ，所以；当时， ，所以.
综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.
11.【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】
中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且.
（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；
（2）若是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）以所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆.

所以，
所以，
所以，
所以点的轨迹方程为.
设，点在线段上，且，
所以，代入，整理可得点的轨迹的方程是.
（2）证明：设，由得.由题意，直线不与坐标轴平行，，直线的方程为.与椭圆方程联立，消去，得.
所以，
同理，
所以，或.
当时，轴，
当时，轴，
所以，
所以是等腰三角形.
12. 【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】
如图，抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，为半径作圆，设圆C与准线交于不同的两点M，N.

（I）若点C的纵坐标为2，求；
（II）若，求圆C的半径.
【答案】（I）（II）
【解析】（Ⅰ）抛物线的准线的方程为，
由点的纵坐标为，得点的坐标为
所以点到准线的距离，又．
所以.
（Ⅱ）设，则圆的方程为，
即.
由，得
设，，则：

由，得
所以，解得，此时
所以圆心的坐标为或
从而，，即圆的半径为
13. 【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】
已知椭圆的离心率为是它的一个顶点，过点作圆的切线为切点，且.
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与椭圆的另一交点为， 与圆交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1），椭圆方程为;（2）的面积最大值为.
【解析】
（1）由 ，得 ，故所求椭圆方程为
由已知有 , 圆的方程为： .
（2）设直线方程为 ，由 得 ， ,又 .
直线的方程为，即 ，

，当且仅当 时取等号.因此的面积最大值为.
14. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】
已知圆经过原点且与直线相切于点
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）在圆上是否存在两点关于直线对称，且以线段为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程；若不存在，请说明理由
【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点且与垂直的直线上，它又在线段的中垂线上，所以求得圆心，半径为.
所以圆的方程为.
(细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分)
法二：设圆的方程为，
可得
解得,
所以圆的方程为
(细则：方程组中一个方程1分)
（Ⅱ）假设存在两点关于直线对称，则通过圆心，求得，
所以设直线为
代入圆的方程得，
设，，则
解得或
这时，符合题意，所以存在直线为或符合条件
(细则：未判断的扣1分).
15. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】
已知椭圆的离心率，原点到过点，的直线的距离是.
(1)求椭圆的方程；
(2)如果直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
解：(1)因为，，所以，
因为原点到直线的距离，解得，，
故所求椭圆的方程为.
(2)由题意消去，整理得，可知，
设，，的中点是，则，，
所以，所以，即，又因为，
所以，所以.
16. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】
已知定点，定直线： ，动圆过点，且与直线相切.
（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于， 两点，分别过点， 作曲线的切线， ，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.
【解析】
（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意.
设，则有 .
化简得.
所以点的轨迹的方程为.
（Ⅱ）设： ，
代入中，得.
设， ，
则， .
所以 .
因为： ，即，所以.
所以直线的斜率为，直线的斜率为.
因为，
所以，即为直角三角形.
所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.
因为，
所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.