2021年九年级中考数学 专题练习：锐角三角函数（含答案）

2021中考数学 专题练习：锐角三角函数

一、选择题

1. sin60°的值等于(　　)

A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D.  

2. (2019•天津)的值等于

A．1  B． 

C．  D．2

3. （2020·杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB

4. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为 (　　)

A.AB=，BC=4，AC=5

B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5

C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

D.cosA-+tanB-2=0

5. (2019•江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是

A． B． C．  D．

6. （2020·咸宁）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于

A．asinx+bsinx  B．acosx+bcosx 

C．asinx+bcosx  D．acosx+bsinx

8. （2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（　　）

A．acosx+bsinx   B．acosx+bcosx  C．asinx+bcosx   D．asinx+bsinx

二、填空题

9. 如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　　　　米(结果精确到0.1 m，参考数据:sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19). 

10. 已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝________．

11. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为________cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm，可用科学计算器)．

12. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)

13. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)

14. (2019·浙江舟山)如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2AB2，则tanC=__________．

三、解答题

15. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图.小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上).然后，小明沿坡度i=1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行.

(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号);

(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73).

16. 如图，在△ABC中，AB=AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B.

(1)求证:直线AB与☉O相切;

(2)若AB=5，☉O的半径为12，则tan∠BDO=　　　　. 

17. 已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.

在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝csin∠B；

在Rt△ACD中，sin∠C＝________，则AD＝________．

所以csin∠B＝bsin∠C，即＝，

进一步即得正弦定理：

＝＝.(此定理适合任意锐角三角形)．

参照利用正弦定理解答下题：

在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．

18. (2019•山东威海)如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长(FC)为2米，高(EF)和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα=，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．

2021中考数学 专题训练：锐角三角函数-答案

一、选择题

1. 【答案】C　【解析】sin60°＝.

2. 【答案】B

【解析】锐角三角函数计算，=2×=，故选A．

3. 【答案】B

【解析】本题考查了锐角三角函数，因为sinB＝，所以b＝csinB，因此本题选B．

4. 【答案】C　[解析]A.∵52+42=25+16=41=()2，∴△ABC是直角三角形;

B.设AB=3x，则BC=4x，AC=5x.∵(3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2，∴△ABC是直角三角形;

C.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∴∠C=×180°=75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形;

D.∵cosA-+tanB-2=0，∴cosA=，tanB=，∴∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形.

故选C.

5. 【答案】C

【解析】过作交于，，在中，，

，，故选C．

6. 【答案】C

【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性质，由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵点E是BC中点，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，因此本题选C．

7. 【答案】D

【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，

∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，

故选D．

8. 【答案】A

【解析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAO，cos∠CDE，∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝D×cos∠CDE＝acosx，∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；因此本题选 A．

二、填空题

9. 【答案】1.5　[解析]由三角函数的定义得:sinα=sin50°==≈0.77，所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5(米).

10. 【答案】75°　【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sinα－|＝0，＝0，则sinα ＝，tanβ ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°.

11. 【答案】14.1　【解析】如解图 ，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cos∠CBE≈15×0.940＝14.1(cm)．

12. 【答案】208　【解析】在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝90×tan30°＝30，在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD＝90×tan60°＝90，BC＝BD＋CD＝30＋90＝120≈208(米)．

13. 【答案】2.9　【解析】在Rt△AMD中，DM＝tan∠DAM×AM＝tan45°×4＝4米，在Rt△BMC中，CM＝tan∠MBC×BM＝tan30°×12＝4 米，故CD＝CM－DM＝4－4≈2.9米．

14. 【答案】

【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，

∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．

∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，

∴AC2–BC2=(AD+DC)2–(DC2+BD2)

=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2

=2AD•DC

=2BD•DC，

∵AC2–BC2AB2，∴2BD•DC2BD2，

∴DCBD，∴．

故答案为:．

三、解答题

15. 【答案】

解:(1)过点F作FG⊥EC于G，

依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE=90°，

∴四边形DEGF是矩形，∴FG=DE.

在Rt△CDE中，

DE=CE·tan∠DCE=6×tan30°=2(米).

∴点F到直线CE的距离为2米.

(2)∵斜坡CF的坡度i=1∶1.5，

∴Rt△CFG中，CG=1.5FG=2×1.5=3，

∴FD=EG=3+6.

∵∠AFD=45°，∴AD=DF=3+6.

在Rt△BCE中，

BE=CE·tan∠BCE=6×tan60°=6.

∴AB=AD+DE-BE=3+6+2-6=6-≈4.3(米).

答:宣传牌的高度AB约为4.3米.

16. 【答案】

解:(1)证明:连接OB，如图所示.

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB.

∵∠ACB=∠OCD，

∴∠ABC=∠OCD.

∵OD⊥AO，

∴∠COD=90°，

∴∠D+∠OCD=90°.

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠D，

∴∠OBD+∠ABC=90°，

即∠ABO=90°，

∴AB⊥OB，

∵点B在☉O上，

∴直线AB与☉O相切.

(2)∵∠ABO=90°，

∴OA===13，

∵AC=AB=5，

∴OC=OA-AC=8，

∴tan∠BDO===.

故答案为:.

17. 【答案】

解：∵sinC＝＝，

∴AD＝bsinC，(2分)

由正弦定理得：＝，

∵∠B＝75°， ∠C＝45°，

∴∠A＝60°，(5分)

∴＝，(7分)

∴AB＝2×÷＝.(9分)

18. 【答案】

∵BH=0.6米，sinα=，∴AB==1米，∴AH=0.8米，

∵AF=FC=2米，∴BF=1米，

作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，

∵EF=FB=AB=1米，∠EKF=∠FJB=∠AHB=90°，∠EFK=∠FBJ=∠ABH，

∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK=FJ=AH，BJ=BH，

∴BJ+EK=0.6+0.8=1.4<2，

∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．