2021年九年级中考数学 专题练习：二次函数及其性质（含答案）

这是一份2021年九年级中考数学 专题练习：二次函数及其性质（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，M，等内容，欢迎下载使用。

2021中考数学 专题练习：二次函数及其性质
一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是 (　　)
A.y的最小值为1
B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2
C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

2. 要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是(　　)
A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位

3. 下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是(　　)
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的

4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
下列说法正确的是(　　)
A. 抛物线的开口向下
B. 当x>－3时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是－2
D. 抛物线的对称轴是x＝－

5. （2020·新疆）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （　　）


6. (2019•雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是
A．的最小值为1
B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线
C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小
D．它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

7. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc>0；②9a＋3b＋c<0；③c>－1；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为－.其中正确的结论个数有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
　　　　　　

8. 如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6 cm，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝10 cm，点C和点M重合，点B，C(M)，N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1 cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止．设移动x s后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y cm2，则y关于x的大致图象是(　　)



二、填空题
9. 已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是　　　　. 

10. 若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．

11. 已知二次函数y＝(x－m)2－1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________．

12. (2019•武汉)抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是__________．

13. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．


14. 2018·湖州 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．


15. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．


16. 如图，平行于x轴的直线AC与函数y1＝x2(x≥0)，y2＝x2(x≥0)的图象分别交于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC交y2的图象于点E，则＝________．


三、解答题
17. 已知二次函数y＝x2－2x－1.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)通过列表、描点、连线，在图中画出该函数的图象；
(3)求该二次函数图象与坐标轴的交点坐标．






18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．






19. 如图①，经过原点O的抛物线y＝ax＋bx (a≠0)与x轴交于另一个点A(，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B (2，t )．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
(3)如图②，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在(2)的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．






20. 正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．
(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线L的解析式；
(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．






2021中考数学 专题训练：二次函数及其性质-答案
一、选择题
1. 【答案】C　[解析]根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点坐标是(2，1)，对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图象开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以选项C是错误的，
故选C.

2. 【答案】D　【解析】y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，该抛物线的顶点坐标是(－1，2)，抛物线y＝x2的顶点坐标是(0，0)，则平移的方法可以是：将抛物线y＝x2＋2x＋3向右移1个单位，再向下平移2个单位得抛物线y＝x2.

3. 【答案】C　[解析] (1)∵二次函数y＝x2－x的二次项系数为1＞0，∴图象开口向上，可见A选项错误；(2)∵对称轴为直线x＝－＝，可见B选项错误；(3)∵原点(0，0)满足二次函数解析式y＝x2－x，∴抛物线经过原点，可见C选项正确；(4)∵抛物线的开口向上，∴图象在对称轴右侧部分是上升的，可见D选项错误．综上所述，选C.

4. 【答案】D　【解析】从表中选取三组值(－4，0)，(－1，0)，(0，4)，由此设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x＋1)．将(0，4)代入y＝a(x＋4)(x＋1)，求得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2＋5x＋4，即y＝(x＋)2－.由此可见，只有选项D中的说法是正确的．

5. 【答案】D
【解析】本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数的图象，由抛物线开口向下知a＞0，因为抛物线的对称轴在y轴右侧，所以＞0，因为a＞0，所以b＜0．因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0．因为a＞0，b＜0，所以一次函数经过第一、三、四象限．因为c＞0，所以反比例函数经过第一、三象限，因此本题选D．
6. 【答案】C
【解析】二次函数，，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到，
故选项D的说法正确，
故选C．

7. 【答案】C　【解析】由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x＝2，所以－＝2＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x＝3时，y＞0，∴9a＋3b＋c＞0，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即－c＜1，∴c＞－1，故③正确；假设方程的一个根为x＝－，把x＝－代入方程可得－＋c＝0，整理可得ac－b＋1＝0，两边同时乘c可得ac2－bc＋c＝0，即方程有一个根为x＝－c，由②可知－c＝OA，而x＝OA是方程的根，∴x＝－c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个．

8. 【答案】A　[解析] (1)当点D位于PM上时，x＝2.当0≤x＜2时，重叠部分是等腰直角三角形，y＝x2，图象是顶点为(0，0)且开口向上的抛物线的一部分．(2)当点D位于PN上时，x＝4.当2≤x≤4时，重叠部分是直角梯形，y＝×(x－2＋x)×2＝2x－2，图象是直线的一部分；(3)当4＜x≤6时，重叠部分是一个五边形，y＝×(2＋6)×2－(6－x)2＝8－(6－x)2，图象是顶点为(6，8)且开口向下的抛物线的一部分．故选A.

二、填空题
9. 【答案】k<4　[解析]∵二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个公共点.
∴b2-4ac>0，即(-4)2-4×1×k>0.解得
k<4.

10. 【答案】－1　[解析] 依题意可知Δ＝0，即b2－4ac＝22－4×1×(－m)＝0，解得m＝－1.

11. 【答案】m≥1　[解析] 抛物线的对称轴为直线x＝m.
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x＜m时，y的值随x值的增大而减小，
而x＜1时，y的值随x值的增大而减小，
∴m≥1.

12. 【答案】，
【解析】依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx为：，
即：，
化为：，
解得：，，
故答案为：，．

13. 【答案】x1＝－2，x2＝1　[解析] 方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.

14. 【答案】－2　[解析] ∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为(－，－)．
∵抛物线y＝ax2过点B，
∴－＝a(－)2，解得b1＝0(舍去)，b2＝－2.

15. 【答案】(1＋，2)或(1－，2) 　【解析】抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，则点C坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y＝2时，∴－x2＋2x＋3＝2，则x2－2x－1＝0，解得方程的两根是x＝＝1±，∴点P的坐标是(1＋，2)或(1－，2)．


16. 【答案】3－　[解析] 设点A的坐标为(0，b)，则B(，b)，C(，b)，D(，3b)，E(3 ，3b)．所以AB＝，DE＝3 －＝(3－).所以＝＝3－.

三、解答题
17. 【答案】
解：(1)y＝x2－2x－1＝x2－2x＋2－3＝(x2－4x＋4)－3＝(x－2)2－3，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2，－3)，对称轴为直线x＝2.
(2)列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
5

－1
－
－3
－
－1
…
描点、连线，如图：

(3)令y＝0，则x2－2x－1＝0，
解得x1＝2＋，x2＝2－，
∴函数图象与x轴的交点坐标为(2＋，0)，(2－，0)．
令x＝0，则y＝×02－2×0－1＝－1，
∴函数图象与y轴的交点坐标为(0，－1)．
综上，该二次函数图象与坐标轴的交点坐标为(2＋，0)，(2－，0)，(0，－1)．

18. 【答案】
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
所以AH＝1，OH＝．所以A．

图2
因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，
设y＝ax(x－2)，代入点A，可得．
所以抛物线的表达式为．
（2）由，
得抛物线的顶点M的坐标为．所以．
所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
（3）由A、B(2,0)、M，
得，，．
所以∠ABO＝30°，．
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．
△ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①如图3，当时，．此时C(4,0)．
②如图4，当时，．此时C(8,0)．

图3 图4

19. 【答案】
(1)把B(2，t)代入y＝x得t＝2，
∴B(2，2)，
把A(，0)，B(2，2)代入y＝得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝－3x；
(2)设点C坐标为(x，2x－3x)，
如解图①，过点C作CQ⊥y轴于点Q，过点B作BF⊥y轴于点F，

解图①
则S＝S－S－S，
即－×2×2－x(－2x＋3x)＝2，
解得x＝1.
把x＝1代入y＝2x－3x，得y＝2－3＝－1，
∴C(1，－1)；
(3)如解图②，连接OM，AB，设MB交y轴于点N，

解图②
∵B(2，2)，
∴∠AOB＝∠NOB＝45°，
在△AOB和△NOB中，
，
∴△AOB≌△NOB(ASA)，
∴ON＝OA＝，
∴N(0，)，
设直线BN表达式为y＝kx＋，
把B点坐标代入可得2＝2k＋，
解得k＝，
∴直线BN的表达式为y＝x＋，
联立直线BN和抛物线表达式可得
，
解得或，
∴M(－，)，
∵C(1，－1)，
∴∠COA＝∠AOB＝45°，且B(2，2)，
∴OB＝2，OC＝，
∵△POC∽△MOB，
∴＝2，∠POC＝∠BOM，
当点P在第一象限时，如解图③，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，

解图③
∵∠COA＝∠BOG＝45°，∠POC＝∠BOM，
∴∠MOG＝∠POH，且∠PHO＝∠MGO=90，
∴△MOG∽△POH，
∴＝2，
∵M(－，)，
∴MG＝，OG＝，
∴PH＝MG＝，OH＝OG＝，
∴P(，)；
当点P在第三象限时，如解图④，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，

解图④
同理可求得PH＝MG ＝，
OH＝OG＝，
∴P(－，－)；
综上，存在满足条件的点P，其坐标为(，)或(－，－)．

20. 【答案】
(1)【思路分析】①建立坐标系时应使正方形内抛物线上点的坐标是正数，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，即可表示出O、P、A三点的坐标；②用待定系数法即可求得抛物线的解析式．
解：如解图，以OA所在的直线为横轴，水平向右为正方向，以OC所在直线为纵轴，垂直向上为正方向，建立平面直角坐标系．

①O(0，0)，P(2，2)，A(4，0)；(3分)
②设抛物线L的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
将点O，P，A的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得
，
解得，
∴抛物线L的解析式为y＝－x2＋2x.(6分)
(2)【思路分析】用点E的横坐标表示△OAE与△OCE的面积之和，根据二次函数的性质即可确定最大值．
解：设点E的横坐标为m.
∵点E在正方形内的抛物线上，
∴点E的纵坐标为－m2＋2m,
∴S△OAE＋S△OCE＝×4×(－m2＋2m)＋×4×m＝－m2＋6m＝－(m－3)2＋9.(10分)
∴当m＝3时，△OAE与△OCE的面积之和的值最大，最大值是9.(12分)