中考数学三轮冲刺考前过关练习专题15 锐角三角函数（教师版）

专题15 锐角三角函数

一．选择题

1．（2020•沙坪坝区校级一模）小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆行千里，致广大”竖直标语牌．他在点测得标语牌顶端处的仰角为，由点沿斜坡下到隧道底端处，，在同一条直线上），，坡度为，隧道高（即，则标语牌的长为　　（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，

A．4.3 B．4.5 C．6.3 D．7.8

【解析】如图，

根据题意可知：

斜坡的坡度为，

即，

，

，，

，

在中，，

．

故选：．

2．（2020•中山市模拟）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．6

【解析】在中，

，，

．

是斜边的中线，

．

故选：．

3．（2020•邢台一模）如图，已知点从点出发，沿射线方向运动，运动到点后停止，则在这个过程中，从观测点的俯角将　　

A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大

【解析】点从点出发，沿射线方向运动，运动到点后停止，则在这个过程中，从观测点的俯角将增大，

故选：．

4．（2020•九龙坡区校级二模）小华同学在数学实践活动课中测量自己学校门口前路灯的高度．如图，校门处，有一些斜坡，斜坡的坡度：从点沿斜坡行走了4.16米到达坡顶的处，在处看路灯顶端的仰角为，再往前走3米在处，看路灯顶端的仰角为，则路灯顶端到地面的距离约为　　

（已知，，，，，

A．5.5米 B．4.8米 C．4.0米 D．3.2米

【解析】如图，过点作于点，交延长线于点，

可得矩形和矩形，

斜坡的坡度，，

即，

根据勾股定理可得：

，，

根据题意可知：

，，

在中，，

即，

在中，，

即，

，

解得

，

（米．

所以路灯顶端到地面的距离约为4.8米．

故选：．

5．（2020•沙坪坝区校级一模）碧津公园坐落在江北机场旁，它是一个风景秀丽、优美如画的公园．园中的碧津塔是一座八角塔，每个角挂有一个风铃，被评为重庆市公园最美景点．重庆一中某数学兴趣小组，想测量碧津塔的高度，他们在点处测得碧津塔顶部处的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了5.2米到达点，此时测得碧津塔顶部的仰角为，碧津塔所在平台高度为0.8米．、、、、、在同一平面内，则碧津塔的高约为　　米（参考数据：，，

A．20.8 B．21.6 C．23.2 D．24

【解析】根据题意可知：

，，

，

，，

，，

设，垂足为，

在中，，

，

又，

，

，

解得，

所在平台高度为0.8米，

（米．

答：碧津塔的高约为21.6米．

故选：．

6．（2020•涪城区模拟）如图，从处观测铁塔顶部的仰角是，向前走30米到达处，观测铁塔的顶部的仰角是，则铁塔高度是　　米

A． B． C． D．

【解析】设铁塔的高度为米，

在中，

，

，

在中，

，

，

，

米，

，

解得：米，

即铁塔的高度为米，

故选：．

7．（2020•河北模拟）已知，均为锐角，若，，则　　

A． B． C． D．

【解析】如图，过点作，

设：，，，

则，同理，

则，，

过点作于点，

，

即，解得：，

，

则，

故选：．

8．（2020•江津区校级模拟）我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点处测得山顶部的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路、、与水平线平行，每一段上坡路、、与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点、、同一水平线上），斜坡的坡度为，且长为，其中小伟走平路的速度为65.7米分，走上坡路的速度为42.3米分．则小伟从出发到坡顶的时间为　　（图中所有点在同一平面内，

A．60分钟 B．70分钟 C．80分钟 D．90分钟

【解析】如图，作于，延长交于，延长交于．

由题意：，，，，

，，

，，

，

，，

，

，

，

小伟从出发到坡顶的时间（分钟），

故选：．

二．填空题

9．（2020•无锡一模）如图，在如图网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是　　．

【解析】如图：过作于，过作于．

由勾股定理得：，，

，

，

的正弦值是，

故答案为：．

10．（2020•海东市一模）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为　　．

【解析】根据题意可知：

，

，

，

，

，

，

．

所以竹竿与的长度之比为．

故答案为：．

11．（2020•东莞市校级一模）如图所示，在山脚处测得山项仰角为，沿着水平地面向前300米到达点，在点测得山顶的仰角为，则山高为　　米（结果保留根号）．

【解析】，，米，

，

，

米．

在中，，，

（米，

故答案为：．

12．（2020•滨城区一模）如图，为测量旗杆的高度，在水平地面的处用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，在三楼窗台处测得旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为　　．

【解析】过作于

，

设为，

在中，，

可得：，

在中，，

可得：，

，

可得：，

解得：，

，

故答案为：．

13．（2020•宝安区二模）如图，从甲楼顶部处测得乙楼顶部处的俯角为，又从处测得乙楼底部处的俯角为．已知两楼之间的距离为18米，则乙楼的高度为　米　．（结果保留根号）

【解析】过作交的延长线于，

则米，

在中，，

，

，

在中，，

，

，

（米，

答：乙楼的高度为米，

故答案为：米．

14．（2020•朝阳区校级一模）如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆，从办公大楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是10米，梯坎坡长是10米，梯坎坡度，则大楼的高为　27　米．

【解析】如图，过点作于点，作于点，

，

四边形是矩形，

，，

根据题意可知：

，

，

坡度，

；；4，

设，，则，

，

解得，

，，

，

，

，，

（米．

答：大楼的高为27米．

故答案为：27．

15．（2020•哈尔滨模拟）如图，在四边形中，，为对角线，，过点作于点，连接，若，，则的面积为　　．

【解析】如图，延长交于点，延长、相交于点，

，

，

，

设，则，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，即，

，

解得，

，

设，，

，，

，

，

即，

解得舍去），

，

．

故答案为：．

16．（2020•鹿城区校级二模）图1是我校闻澜阁前楼梯原设计稿的侧面图，，，楼梯的坡比为，为了增加楼梯的舒适度，将其改造成如图2，测量得，为的中点，过点分别作交的角平分线于点，交于点，其中和为楼梯，为平地，则平地的长度为　　．

【解析】过作于，

楼梯的坡比为，

，

设，，

，

，

，，

，

，

，

四边形是矩形，

，，

，

，

延长交于，

，为的中点，

，，，

如图3，过作交的延长线于，

，

是的角平分线，

，

，

，

，

，

，

解得：，

故答案为：．

三．解答题

17．（2020•衢州模拟）如图1，有个酒精喷壶放置在水平地面上，与地面平行，点是喷嘴，点是压柄的端点，且；在其示意图2中，，，，求喷嘴与压柄端点的距离（结果精确到．（参考数据：，

【解析】设，

，

，，

，

在中，

，

，

．

18．（2020•玄武区一模）如图，某工地有一辆底座为的吊车，吊车从水平地面处吊起货物，此时测得吊臂与水平线的夹角为，将货物吊至处时，测得吊臂与水平线的夹角为，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时处离水平地面的高度，求吊臂的长．

（参考数据：，，，，，．

【解析】过点做，垂足为，

设，

在中，

，

，

，

在中，

，

，

，

在矩形中，

，

，

，

，

所以吊臂长为．

19．（2020•枣阳市模拟）小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点距离地面的高度米．当吊臂顶端由点抬升至点（吊臂长度不变）时，地面处的重物（大小忽略不计）被吊至处，紧绷着的吊绳．垂直地面于点，垂直地面于点，吊臂长度米，且，．求此重物在水平方向移动的距离．

【解析】如图，过点作于点，交于点，

根据题意可知，，

．

在中，，，

，

，

在△中，，，

，

．

20．（2020•夹江县二模）如图，小明想在自己家的窗口处测量对面建筑物的高度，他首先测量出窗口到地面的距离，又测得从处看建筑物底部的俯角为，看建筑物顶部的仰角为，且，都与地面垂直，点，，，在同一平面内．

（1）求与之间的距离（结果保留根号）；

（2）求建筑物的高度（结果精确到．（参考数据：，

【解析】（1）作于，

则四边形为矩形，

，，

在中，

，

，

答：与之间的距离；

（2）在中，

，

为等腰直角三角形，

，

又，

，

答：建筑物的高度约为．

21．（2020•天门模拟）在抗击“新冠病毒”期间，某路口利用探测仪对过往的物体进行检查，探测仪测得某物体的仰角，俯角，探测仪到货物表面的距离米，求货物高的长．，结果精确到

【解析】，，

，

，

（米，

答：这件货物高约4.7米．

22．（2020•武侯区校级模拟）如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶点处看甲楼楼底点处的俯角为，走到乙楼点处看甲楼楼顶点处的俯角为，已知，．求乙楼的高度的长．（参考数据：，，，，，，精确到

【解析】如图，过点作于点，

根据题意，可得四边形是矩形，

，，

在中，，

在中，，

，

解得，

．

答：乙楼的高度的长为36.7米．

23．（2019春•市南区期中）如图，要测量一垂直于水平面的建筑物的高度，小明从建筑物底端出发，沿水平方向向右走30米到达点，又经过一段坡角为，长为20米的斜坡，然后再沿水平方向向右走了50米到达点，，，，均在同一平面内）．在处测得建筑物顶端的仰角为，求建筑物的高度．（结果保留根号，参考数据：，，

【解析】作交的延长线于，于．

在中，，米，

米，米，

四边形是矩形，

米，米，米，

在中，，

，

．

答：建筑物的高度是米．

24．（2020•东坡区模拟）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面处测得楼房顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后在地面上沿向楼房方向继续行走10米到达处，测得楼房顶部的仰角为．已知坡面米，山坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．

（1）求点离地面高度（即点到直线的距离）；

（2）求楼房高度．（结果保留根式）

【解析】（1）过作，垂足为，

，

，，

，

即点离地面的高度为5米．

（2）由（1）得，，

过点作，垂足为，

设，则，

在中，，

在中，，

由得，

，

解得，，

答：的高度为米．