2021年九年级中考数学 专题练习：相似三角形及其应用（含答案）

2021中考数学 专题练习：相似三角形及其应用

一、选择题

1. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是              (　　)

2. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是(　　)

3. （2020·内江）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　）

A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20

4. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30

5. （2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且=，则的值为（　　）

A．          B．          C．         D．

6. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．5

7. (2019•贺州)如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于

A．5 B．6
C．7 D．8

8. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（    ） 

A.4个    B.5个    C.6个    D.7个

二、填空题

9. (2019•百色)如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，

，，，则的面积为__________．

10. （2020·盐城） 如图，且，则的值为

                       ．

11. (2019•郴州)若，则__________．

12. （2020·临沂）如图，在中，，为边的三等分点，，为与的交点.若，则_________.

13. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是　　　　步. 

14. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．

15.  （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.

16.  如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4， CD⊥AB，垂足为D， E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．

三、解答题

17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°.

(1)求证:△PAB∽△PBC;

(2)求证:PA=2PC;

(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证:=h2·h3.

18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，求DE的长.

19. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.

(1)求证:△ABP∽△DQR;

(2)求的值.

20. 已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时，点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点.

(1)如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且D，E的运动速度相等，求的值.

(2)如图②，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值；

(3)如图③，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值.

图①          图②       图③

2021中考数学 专题训练：相似三角形及其应用-答案

一、选择题

1. 【答案】B　[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A1B1C1各边长分别为1，，选项A中阴影三角形三边长分别为:，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B中阴影三角形三边长分别为:，2，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1，，2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D中阴影三角形三边长分别为:2，，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B.

2. 【答案】C　【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质.  解题思路：设AC、BD交于点O，由于点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，所以0＜x＜2.当0＜x＜1时，△AMN∽△ABD⇒＝⇒＝⇒MN＝x⇒y＝x2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x＝0，此时y随x的增大而增大. 所以B和D均不符合条件．当1＜x＜2时，△CMN∽△CBD⇒＝⇒＝⇒MN＝2－x⇒y＝x(2－x)＝－x2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x＝1，此时y随x的增大而减小. 所以A不符合条件．综上所述，只有C是符合条件的．

3. 【答案】 D

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．

根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20，因此本题选D．

4. 【答案】 B

【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，

∵四边EFGH是正方形，

∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∵AD是△ABC的高，

∴∠HDN＝90°，

∴四边形EHDN是矩形，

∴DN＝EH＝x，

∵△AEF∽△ABC，

∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），

∵BC＝120，AD＝60，

∴AN＝60﹣x，

∴，

解得：x＝40，

∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．

5. 【答案】A

【解析】利用平行截割定理求的值．∵DE∥AB，∴==，∵CE+AE=AC，∴=．

6. 【答案】 A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．

7. 【答案】B

【解析】∵，∴，

∴，即，解得：，故选B．

8. 【答案】A

【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：

因此本题选A．

二、填空题

9. 【答案】18

【解析】∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，

若点，，∴位似比为，

∵，，

∴，

∴的面积为：，

故答案为：18．

10. 【答案】2

【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴ ，设DE＝x,则AB＝10－x∵AD＝BC＝4，∴，∴x1＝8 ,x2＝2(舍去)， ，此本题答案为2 ．

11. 【答案】

【解析】∵，∴，

故2y=x，则，故答案为：．

12. 【答案】1【解析】 ∵D、E为边AB的三等分点， ∴BE=ED=AD=AB.

∵，∴∴.

13. 【答案】　[解析]如图①，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED=CF.

设ED=x，则CD=x，AD=12-x.

∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，

∴△ADE∽△ACB，

∴=，∴=，∴x=.

如图②，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，∵S△ABC=AC·BC=AB·CP，则12×5=13CP，∴CP=.

设ED=y，同理得:△CDG∽△CAB，∴=，

∴=，y=<，

∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步，故答案为:.

14. 【答案】78　【解析】如解图，过A作AH⊥BC，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴CE＝×20＝12.

法一：BC·AH＝AB·AC，AH＝＝＝12，S△ABE＝×12×13＝78.

法二：DE＝＝9，由△CDE∽△CAH可得，＝，∴AH＝＝12，S△ABE＝×12×13＝78.

15. 【答案】或2.8

【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.

16. 【答案】

【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面积，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形对应边成比例，得AD＝＝，BD＝＝．过点E作EG∥AB交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案为．

三、解答题

17. 【答案】

证明:(1)在△ABP中，∠APB=135°，

∴∠ABP+∠BAP=45°，

又△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，即∠ABP+∠CBP=45°，

∴∠BAP=∠CBP，

又∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC.

(2)由(1)知△PAB∽△PBC，

∴===，

∴=·=2，即PA=2PC.

(3)方法一:如图①，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，则PQ=h1，

PR=h2，PS=h3，

在Rt△CPR中，=tan∠PCR==，

∴=，即h3=2h2.

又由△PAB∽△PBC，且=，得:=，即h1=h2，

∴=h2·h3.

方法二:如图②，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，连接SQ，SR，RQ，易知四边形ASPQ，四边形BRPQ都有外接圆，

∴∠PSQ=∠PAQ，∠PQR=∠PBR，        

由(1)可知∠PAB=∠PBC，

∴∠PSQ=∠PQR.

又∵∠SPQ=∠QPR=180°-45°=135°，

∴△PSQ∽△PQR，

∴=，即PQ2=SP·PR，∴=h2·h3.

18. 【答案】

解:∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.

∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠CBD=∠D，∴CD=BC=6.

在Rt△ABC中，AC===8.

∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，

∴====，

∴CE=AE，DE=BE，即CE=AC=×8=3.

在Rt△BCE中，BE===3，

∴DE=BE=×3=.

19. 【答案】

解:(1)证明:∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，

∴AB∥CD，AC∥DE，

∴∠BAC=∠ACD，∠ACD=∠CDE，

∴∠BAC=∠QDR.

∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DQR，

∴△ABP∽△DQR.

(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD=BC，AD=CE，∴BC=CE.

∵CP∥RE，∴BP=PR，∴CP=RE.

∵点R为DE的中点，∴DR=RE，∴=.∵CP∥DR，∴△CPQ∽△DRQ，

∴==，

∴=，

由(1)得:△ABP∽△DQR，

∴===.

20. 【答案】

(1)过点D作DG∥BC交AC于点G，

解图①

∵△ABC是等边三角形，
∴△AGD是等边三角形，
∴AD=GD，
由题意知CE=AD，
∴CE=GD
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF与△CEF中，

，

∴△GDF ≌△CEF（AAS），∴CF=GF，
∵DH⊥AG，
∴AH=GH，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF）=2HF，

∴=2；

(2)如解图②，过点D作DG∥BC交AC于点G，

解图②

由题意知，点D，E的运动速度之比是:1，

∴

∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，

∴

∴

∴GD=CE，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，

在△GDF 和△CEF中，

∴△GDF ≌△CEF（AAS），
∴CF=GF，
∵∠ADH=∠BAC=30°，
∴AH=HD，
∵∠AGD=∠HDG=60°，

∴GH=HD，

∴AH=HG，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF）=2HF，

∴=2；

(3)如解图③，过点D作DG∥BC交AC于点G，

解图③

∵DG∥BC，

∴△AGD∽△ACB，

∴

∵∠ADH=∠BAC=36°，AC=AB，

∴∠GHD=∠HGD=72°，

∴GD=HD=AH，

∴

∵AD=CE，

∴

∵DG∥BC，

∴△GDF∽△ECF，

∴

∴GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF），

即HF=m（AC-HF），

∴