华师大版九年级下册1. 二次函数y=ax2的图象与性质优质学案设计

26.2  二次函数的图象与性质

1. 二次函数y=ax2的图象与性质

学习目标：

1.会用描点法画出二次函数y=ax2 的图象.（重点）

2.根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质.（难点）

3.进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题.

自主学习

一、知识链接

1. 一次函数的图象是___________________,反比例函数的图象是_______________.
2. 用描点法画函数图象的步骤：_______________、___________、__________.
3. 下面是一次函数y=x-2的图象，根据图象，你能看出函数的哪些性质？

合作探究

一、要点探究

探究点1：二次函数y=ax2的图象

画一画   在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）列表如下：

（2）在如图所示的坐标系中，描点，连线：

（3）观察函数y=2x2与y=-2x2的图象，

写出它们的共同点(至少填写三条）：

①：____________________________________________;

②：____________________________________________;

③：____________________________________________.

写出它们的不同点(至少填写三条）：

①：____________________________________________;

②：____________________________________________;

③：____________________________________________.

【要点归纳】函数y=ax2的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴是y轴（或直线x=0）,抛物线与坐标轴的交点，叫做抛物线的顶点.其顶点坐标为（0,0）.

【典例精析】

例1  在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．

【针对训练】 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．

【要点归纳】对于抛物线 y = ax2，当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；且|a|越大，抛物线的开口越小.

练一练

1.函数的图象的开口     ，对称轴是     ，顶点是        ；

2.函数的图象的开口     ，对称轴是     ，顶点是        ，顶点是抛物线的最     点；

探究点2：二次函数y=ax2的性质

观察与思考

图①                    图②

问题1  如图①，观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？

问题2  如图②，观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？

【自主归纳】 抛物线y＝ax2的性质

【典例精析】

例2  已知正方形周长为x cm，面积为S cm2．

（1）求S和x之间的函数关系式，并画出图象；

（2）判断点（4,2），（8,4），（-4,1）是否在该函数的图象上.

例3已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数表达式.

【针对训练】已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=     .

例4 已知二次函数y＝ax2.

(1)  若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____ y2(填“> ”“＝”或“< ”)；

(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2(填“> ”“＝”或“< ”)；

(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.

方法总结：二次函数y＝ax2中比较函数值的大小的方法：

① 直接代入法:将x的值分别代入函数表达式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例4(1);

②性质判断法:结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例4(2)；

③草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例4(3).

二、课堂小结

当堂检测

1.抛物线y=5x2的顶点坐标是       ,对称轴是      ,在对称轴的           侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的         侧,y 随着x的增大而减小,当x =         时,函数y的值最小,最小值是      .

2.抛物线位置在x轴的      方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的增大而          ；在对称轴的右侧,y随着x的增大而         ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是        ,当x      0时,y<0.

3.如图，观察函数y=(k－1)x2的图象，则k的取值范围是      .

4.已知抛物线y=ax2的图象经过点A（2，-8），求：
（1）该抛物线的表达式；
（2）判断点B（3，-18）是否在该抛物线上；
（3）求出此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标．

5.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

（1）在给定的坐标系中，画出该二次函数的图象；

（2）求这个二次函数的表达式；
（3）若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1     y2.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.   直线    双曲线
2.   列表  描点   连线
3.   解：①一次函数y=x-2的图象经过第一、三、四象限；②函数值y随x的增大而增大

合作探究

一、要点探究

探究点1：二次函数y=ax2的图象

画一画

（1）列表如下：

（2）描点、连线如图①所示.

               图①                            图②                       图③

（3）相同点：①对称轴均为y轴  ②顶点坐标均为（0,0）  ③开口大小相同

不同点：①开口方向不同； ②y=2x2的图象有最低点，y=-2x2的图象有最高点；③当x＜0时，y=2x2的图象呈下降趋势，y=-2x2的图象呈上升趋势

【典例精析】

例1  解：（1）列表如下：

描点、连线，如图②所示.

【针对训练】

解：（1）列表如下：

描点、连线，如图③所示：

练一练 1.向上  y轴   （0,0）   2.向下  y轴   （0,0）  高

3.向上  y轴   （0,0）  低  4.向下  y轴   （0,0）

探究点2：二次函数y=ax2的性质

问题1 从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．

问题2 从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．

【自主归纳】

【典例精析】例2  解：（1）由题意得S=（x＞0）.画函数图象略.

（2）点（4,2），（-4,1）不在该函数图象上，点（8,4）在该函数图象上.

例3解: 依题意有由①得m>－1，解②得m1=－2，m2=1，∴ m=1，此时，二次函数的表达式为 y=2x2.

【针对训练】    2

例4  ＜  ＜  y1＞y2＞y3

当堂检测

1.   （0,0）  y轴  右   左   0    0   2.下方    增大   减小   0    ≠   3.k＞1

4.解：（1）把点A（2，-8）代入y=ax2，得-8=a×22，解得a=-2，则抛物线的表达式为y=-2x2；
（2）∵-2×32=-18，∴点B（3，-18）在该抛物线上；
（3）由题意得，-2x2=-50，解得x=±5，∴此抛物线上纵坐标是-50的点的坐标为（5，-50）、（-5，-50）．

5.解：（1）画图象略；

（2）由图象可设该二次函数为y=ax2,将点（2，1）代入得4a=1,解得a=.则该二次函数的表达式为y=x2. 

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