人教版九年级上册22.1.1 二次函数学案设计

第二十二章  二次函数

22.1.2  二次函数y=ax2的图象和性质

学习目标：1.正确理解抛物线的有关概念.

2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点.  

3.掌握二次函数y=ax2的图象和性质，并会应用.

重点：正确理解抛物线的有关概念.

难点：1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点.

2.掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用其解决问题.

一、知识链接

1.什么叫二次函数？

2.二次函数的一般形式是什么？怎么判断一个函数是不是二次函数？

二、要点探究

探究点1：二次函数y=ax2 (a＞0)的图象和性质

典例精析

例1  画出二次函数y=x2的图象.

要点归纳：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.

议一议  根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.

问题  观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？

例2  (教材P30例1)在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．

思考

(1) 函数，的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？

(2) 当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？

要点归纳：对于抛物线 y = ax2 (a＞0)，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.

探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质

合作探究

在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象．

思考

(1) 观察函数，，的图象，思考这些抛物线有什么共同点和不同点？

(2) 当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？

要点归纳：对于抛物线 y = ax2 (a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.

问题  观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？

交流讨论：抛物线y=ax2与y=－ax2(a＞0)的关系是什么？

练一练

1.函数的图象的开口     ，对称轴是     ，顶点是        ；

2.函数的图象的开口     ，对称轴是     ，顶点是      ，顶点是抛物线的

最       点；

3.函数的图象的开口     ，对称轴是     ， 顶点是        ，顶点是抛物线的最     点；

4.函数的图象的开口     ，对称轴是     ，顶点是          .

例3  已知二次函数y=x2．

(1) 判断点A(2，4)在二次函数图象上吗？

(2) 请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；

(3) 点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？

例4  已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.

练一练：已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=     .

例5 已知二次函数y＝ax2.

(1)  若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)

(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)

(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.

方法总结：二次函数y＝ax2中比较函数值的大小的方法：

① 直接代入法:将x的值分别代入函数解析式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例5(1);

②性质判断法:结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例5(2)；

③草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例5(3).

三、课堂小结

1.函数y=5x2的图象的开口     ，对称轴为     ，顶点是     ；在对称轴的左侧，y随x的增大而     ，在对称轴的右侧，y随x的增大而     .

2.函数y=－3x2的图象的开口     ，对称轴为     ，顶点是     ；在对称轴的左侧， y随x的增大而     ，在对称轴的右侧， y随x的增大而     .

3.如右图，观察函数y=(k－1)x2的图象，则k的取值范围是      .

4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.

（1）     （2）      （3）      （4）

5.若抛物线y=ax2(a≠0)，过点(－1，2).

(1) 则a的值是       ；

(2) 对称轴是       ，开口        .

(3) 顶点坐标是        ，顶点是抛物线上的最       点.抛物线在x轴的       方(除顶点外).

(4) 若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1       y2.

6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．

7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．

能力提升

如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．

参考答案

自主学习

知识链接

1.形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数.

2.一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.

判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数的解析式是整式，化简后自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：二次函数y=ax2 (a＞0)的图象和性质

典例精析

例1  解：列表如下：

描点，连线，如图所示.

议一议 答案不唯一，如二次函数y=x2的图象开口向上，图象有最低点（0,0），图象关于y轴对称.

问题：从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．

例2  解：列表如下：

描点、连线，如图所示：

思考

（1）函数，的图象与函数y=x2的图象相比，开口方向、对称轴、顶点坐标，增减性都相同，不同的是开口的大小.

（2）对于抛物线 y = ax 2 （a＞0），抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.

探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质

合作探究

描点、连线，如图所示：

思考

（1）函数，的图象与函数y=-x2的图象相比，开口方向、对称轴、顶点坐标都相同，不同的是开口的大小.

（2）对于抛物线 y = ax2 (a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.

问题：从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．

交流讨论：二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.

练一练  1.向上  y轴   （0,0）   2.向下  y轴   （0,0）  高

3.向上  y轴   （0,0）  低  4.向下  y轴   （0,0）

例3 解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；

（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4）， 点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；

（3）当x=－2时，y=x2=4，所以点C在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=－x2=－4，所以点B在二次函数y=－x2的图象上；当x=－2时，y=－x2=－4，所以点D在二次函数y=－x2的图象上．

例4  解: 依题意有由①得:m>－1，解②得:m1=－2，m2=1 .∴ m=1，此时，二次函数的解析式为 y=2x2.

练一练    2

例5  （1）<    （2）＜    （3）y1＞y2＞y3

当堂检测

1.向上  y轴  （0,0） 减小  增大    2.向下  y轴  （0,0） 增大  减小 

3.k＞1

4.（1）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.

（2）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.

（3）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.

（4）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.

5.（1）2   （2）y轴  向上  （3）（0,0）  低   上    （4）＞

6.解：∵二次函数y=x2，∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．

7.解：由题意得 解得或所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．

∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.

能力提升

解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8. 即BC=8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.