数学九年级上册22.1.1 二次函数学案设计

22.1.2 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解）

【要点梳理】

要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质

1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象

用            画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于            的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有

最                   值，它的最小值就是最低点的            .

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法

用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.

特别说明：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．

画草图时应抓住以下几点：1）           ，2）            ，3）            ，4）             ，5）               .

3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：

特别说明：
    顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.

                                                                               .

【典型例题】

类型一、

例题  1．画函数的图象．

举一反三：

【变式1】画出二次函数y＝x2的图象．       【变式2】 画出二次函数y=﹣x2的图象．   

类型二、

例题  2．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y＝ax2；② y＝bx2；③ y＝cx2；④ y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．

举一反三：

【变式1】如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．求a的值及点B的坐标.  

考点：二次函数的性质.

【变式2】已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）

类型三、

例题  3、函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．

求：（1）a和b的值；

（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（3）作y=ax2的草图．

举一反三：

【变式】已知函数是关于x的二次函数．

（1）求m的值．

（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？

（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？

类型四、

例题  4、已知是关于x的二次函数.

(1)求满足条件的k的值；

(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？

(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？

举一反三：

【变式1】已知 是二次函数，且函数图象有最高点．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．

【变式2】已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：

（1）满足条件的k的值；

（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？

（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？

类型五、

例题   5、如图，梯形ABCD的顶点都在抛物线上，且轴.A点坐标为（a,-4），C点坐标为（3,b）.

（1）求a，b的值；

（2）求B，D两点的坐标；

（3）求梯形的面积.

举一反三：

【变式1】在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.

【变式2】抛物线y＝ax2(a＞0 )上有A 、B两点，A、B两点的横坐标分别为－1，2．求a为何值时，△AOB为直角三角形．