初中数学华师大版九年级下册1. 二次函数y=ax2的图象与性质教案

26.2  二次函数的图象与性质

1.二次函数y=ax²的图象与性质

1．会用描点法画出y＝ax2的图象，理解抛物线的概念．（重点）

2．掌握形如y＝ax2的二次函数图象和性质，并会应用．（难点）

一、情境导入

自由落体公式h＝gt2(g为常量)，h与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2的图象

【类型一】画二次函数y＝ax2的图象

在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝－x2.根据图象回答下列问题：

(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？

解析：要画出已知2个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表．

解：列表：

　　描点、连线，函数图象如图所示．

(1)这两个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴；

(2)函数y＝x2的图象有最低点，函数y＝－x2的图象有最高点，最低点和最高点的坐标都是(0，0)．

方法总结：(1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．

(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．

(3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2.

(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．

【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断

已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(　　)

解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，当x=0或1时，ax＝ax2，即当x=0或1时，函数y＝ax与y＝ax2的纵坐标相同，故选C.

方法总结：分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．

探究点二：二次函数y＝ax2的性质

【类型一】利用图象判断二次函数的增减性

作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：

(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小；

(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小；

(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？

解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．

解：(1)图象如图所示，由图象可知y1＞y2；(2)由图象可知y3＜y4；(3)在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小．

方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．

【类型二】二次函数的图象与性质的综合题

 已知函数y＝(m＋3)是关于x的二次函数．

(1)求m的值；

(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？

(3)当m为何值时，该函数有最小值？

解析：(1)由二次函数的定义可得故可求m的值．

(2)图象的开口向下，则m＋3＜0；

(3)函数有最小值，则m＋3＞0；

解：(1)根据题意，得解得∴当m＝－4或m＝1时，原函数为二次函数．

(2)∵图象开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜－3，∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．

(3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0，m＞－3，∴m＝1，∴当m＝1时，原函数有最小值．

方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a＞0时，开口向上，顶点最低，此时顶点的纵坐标为最小值；当a＜0时，开口向下，顶点最高，此时顶点的纵坐标为最大值．

探究点三：确定二次函数y＝ax2的关系式

【类型一】利用图象确定y＝ax2的关系式

一个二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点A(2，－2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式．

解析：坐标轴包含x轴和y轴，故点A(2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A(2，－2)关于x轴的对称点B1(2，2)，点A(2，－2)关于y轴的对称点B2(－2，－2)．

解：∵点B与点A(2，－2)关于坐标轴对称，∴B1(2，2)，B2(－2，－2)．当y＝ax2的图象经过点B1(2，2)时，2＝a×22，∴a＝，∴y＝x2；当y＝ax2的图象经过点B2(－2，－2)时，－2＝a×(－2)2，∴a＝－，∴y＝－x2.∴二次函数的关系式为y＝x2或y＝－x2.

方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．

【类型二】二次函数y＝ax2的实际应用

如图，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB＝6m.

(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；

(2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？

解析：可令O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．

解：(1)以O点为坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点的坐标为(3，－3)，∴－3＝a×32，解得a＝－，∴抛物线的函数关系式为y＝－x2.

(2)当x＝1时，y＝－×12＝－.∵OM＝3，∴木板最高可堆放3－＝(米)．

方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.