九年级数学寒假专题练 第06讲 四边形（全国通用）

第6讲 四边形

中考分析解读

四边形包含平行四边形、特殊平行四边形的边角的计算或证明，解题过程中涉及到了四边形的性质和判定，四边形的考查通常综合性强，常与三角形及全等、相似结合，考查形式多样，中考中分值约为14~18分.

模块一 平行四边形

一、知识导图

二、知识清单

1、平行四边形

（1）概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）性质

①边：两组对边分别平行且相等；

②角：两组对角分别相等 ；

③对角线：对角线互相平分；

④对称性：中心对称图形，对角线交点是对称中心；

（3）判定

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

基础演练

一、选择题

1．（2020•河南模拟）如图，在四边形中，对角线，相交于点，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是　　

A．， B．， 

C．， D．

2．（2020•河南模拟）如图所示，已知为平行四边形，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，若，，则平行四边形的周长为　　

A．20 B．32 C．28 D．24

3．（2020•潍坊）如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为　　

A．21 B．28 C．34 D．42

二、填空题

4．（2020•鞍山）如图，在平行四边形中，点是的中点，，的延长线交于点．若的面积为1，则四边形的面积为　   　．

三、解答题

5．（2020•黄冈）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．

6．（2020•重庆）如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点，．

（1）若，求的度数；

（2）求证：．

7．（2020•陕西）如图，在四边形中，，．是边上一点，且．求证：．

8．（2020•广西）如图，点，，，在一条直线上，，，．

（1）求证：；

（2）连接，求证：四边形是平行四边形．

9．（2020•新疆模拟）如图，、是对角线上两点，．

（1）求证：；

（2）连结，，求证：四边形是平行四边形．

能力提升

一、选择题

1．（2020•陕西）如图，在中，，．是边的中点，是内一点，且．连接并延长，交于点．若，则的长为　　

A． B． C．3 D．2

2．（2020•泰安）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为　　

A． B． C． D．

3．（2020•临沂）如图，是面积为的内任意一点，的面积为，的面积为，则　　

A． B． 

C． D．的大小与点位置有关

4．（2020•云南）如图，平行四边形的对角线，相交于点，是的中点．则与的面积的比等于　　

A． B． C． D．

5．（2020•遂宁）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为　　

A． B． C． D．

二、填空题

6．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是的对角线，点在上，，，则的大小是　　  ．

7．（2020•德阳）如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则　  　．

三、解答题

8．（2020•重庆）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分．

（1）若，求的度数；

（2）求证：．

9．（2020•乐山）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．

（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是　　   ；

（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．

模块二 特殊的平行四边形

一、知识导图

二、知识清单

1、矩形

（1）概念

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2） 性质

①矩形的四个角都是直角；

②矩形的对角线相等且互相平分；

③矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；

④矩形具有平行四边形的所有性质.

（3）判定

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有三个角是直角的四边形是矩形.

2、菱形

（1）概念

有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

（2）性质

①菱形的四条边都相等；

②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；

③菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；

④菱形具有平行四边形的所有性质；

⑤面积：面积等于对角线的乘积的一半.

（3）判定

①一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等的四边形是菱形.

（4）面积

①菱形面积可以表示为：底×高；

②面积还可以表示为：对角线乘积的一半.

3、正方形

（1）概念

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

（2）性质

①边：两组对边分别平行，四条边相等，相邻两边互相垂直 ；

②角：四个角都是直角；

③对角线：对角线互相垂直，对角线相等且互相平分；

④正方形是轴对称图形，也是中心对称图形.

（3）判定

①一组邻边相等的矩形是正方形；

②有一个角是直角的菱形是正方形；

③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

④四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形.

基础演练

一、选择题

1．（2020•十堰）已知平行四边形中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明平行四边形是矩形的是　　

A．① B．② C．③ D．④

2．（2020•陕西模拟）在矩形中，对角线，交于点，交于，若，，则矩形的周长　　

A．10 B．15 C．20 D．22

3．（2020•枣庄）如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是　　

A． B．4 C．5 D．6

4．（2020•河北区模拟）如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是　　

A．1 B． C．2 D．

5．（2020•新疆模拟）已知菱形的边长为6，一个内角为，则菱形较长的对角线长是　　

A． B． C．3 D．6

6．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为　　

A． B． C． D．

7．（2020•乐山）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作于点，连结．则四边形的周长为　　

A． B． C． D．8

8．（2020•邯山区校级二模）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为　　

A． B． C． D．

9．（2020•新华区校级二模）如图，在菱形中，是的中点，点是的中点，连接．如果，那么菱形的周长为　　

A．9 B．12 C．24 D．32

二、填空题

10．（2020•大连）如图，菱形中，，则　   　．

11．（2020•广东）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为　　．

12．（2020•哈尔滨）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为　  　．

13．（2020•浦口区模拟）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接，若，，则的长为　　    ．

三、解答题

14．（2020•聊城）如图，在中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形．

15．（2020•遂宁）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．

（1）求证：；

（2）求证：四边形为矩形．

16．（2020•福建）如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：．

17．（2019•聊城）在菱形中，点是边上一点，连接，点，是上的两点，连接，，使得，．

求证：（1）；

（2）．

18．（2020•新疆）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接，．

（1）求证：；

（2）若，求证：四边形为菱形．

能力提升

一、选择题

1．（2020•广州）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为　　

A． B． C． D．

2．（2020•烟台）如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为　　

A． B． C． D．

3．（2020•滨州）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕，与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为　　

A． B． C． D．

4．（2020•遵义）如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为　　

A． B． C．4 D．

5．（2020•南充）如图，面积为的菱形中，点为对角线的交点，点是线段的中点，过点作于，于，则四边形的面积为　　

A． B． C． D．

6．（2020•宁夏）如图，菱形的边长为13，对角线，点、分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则　　

A．13 B．10 C．12 D．5

7．（2020•遂宁）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：

①，

②，

③，

④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，

⑤．

其中正确的结论有　　

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二、填空题

8．（2020•遵义）如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．是上一点，将沿折叠，使点的对应点落在上．若，则的长是　　   ．

9．（2020•江西）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段．当图中存在角时，的长为　　    厘米．

10．（2020•陕西）如图，在菱形中，，，点在边上，且．若直线经过点，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点，则线段的长为　　   ．

11．（2020•盘锦）如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为　　    ．

12．（2020•枣庄）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是　　    ．

13．（2020•云南）已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且．若，，则的长是　       ．

14．（2020•滨州）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、4，则正方形的面积为　　      ．

15．（2020•广州一模）如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点、分别在和上，

下列结论：

①；②；③；④，

其中正确的序号是　   　．

16．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为　　．

三、解答题

17．（2020•北京）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，求和的长．

18．（2020•崇川区校级一模）如图，边长为1的正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且有．

（1）求的值；

（2）探究的度数是否为定值，并说明理由．