初三数学寒假讲义 第4讲.中考第一轮复习方程与不等式 教师版教案

这是一份初三数学寒假讲义 第4讲.中考第一轮复习方程与不等式 教师版教案，共20页。教案主要包含了定义，根的情况，特殊根，整数根等内容，欢迎下载使用。

中考第一轮复习
方程与不等式
4
,
中考大纲剖析


考试内容
考试要求层次
A
B
C
方程
知道方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型
能够根据具体问题中的数量关系，列出方程
能运用方程解决有关问题
方程的解
了解方程的解的概念
会用观察、画图等方法估计方程的解

一元一次方程
了解一元一次方程的有关概念
会根据具体问题列出一元一次方程

一元一次方程的解法
理解一元一次方程解法中的各个步骤
熟练掌握一元一次方程解法；会解含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程(无需讨论)
会运用一元一次方程解决简单的实际问题
二元一次方程（组）
了解二元一次方程（组）的有关概念
能根据具体问题列出二元一次方程（组）

二元一次方程组的解法
知道代入消元法、加减消元法的意义
掌握代入消元法和加减消元法；能选择适当的方法解二元一次方程组
会运用二元一次方程组解决简单的实际问题
分式方程及其解法
了解分式方程的概念
会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；会对分式方程的解进行检验
会运用分式方程解决简单的实际问题
一元二次方程
了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；了解一元二次方程根的意义
能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值

一元二次方程的解法
理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据
能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况
能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题
不等式（组）
能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义
能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组）

不等式的性质
理解不等式的基本性质
会利用不等式的性质比较两个实数的大小

解一元一次不等式（组）
了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集
会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会根据条件求整数解
能根据具体问题中的数量关系，用列出一元一次不等式解决简单问题
本讲结构




知识导航


一、定义
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．
一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程．
一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程．
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．

二、根的情况
对于形如的形式应判断，，的情况而定：
⑴当且方程有唯一解．
⑵当且，时，方程有无数解．
⑶当且且时，方程无解．
⑷当时，方程为一元二次方程．
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．

三、特殊根
对于关于的方程
⑴当方程有一根为时，则．
⑵当方程有一根为时，则．
⑶当方程有一根为时，则．
⑷当方程两根互为相反数时，则．
⑸当方程有一根大于零一根小于零时，则．
⑹当方程两根都大于零时，则且．
⑺当方程两根都小于零时，则且．
⑻当方程有一根大于，一根小于，则．

四、整数根
思路一：有整数根必须具备的前提条件：
①有实数根：；②有有理数根：是完全平方数；②有整数根：是的整数倍．
思路二：能分解因式的用分离系数法．

【编写思路】 本讲没有分模块，共分三个板块，对方程与不等式问题分了三个层次.
第一个板块（夯实基础）：数与式基础板块；例1主要复习方程、不等式考试中
常考的基础题型，通过做这些小题点评每种小题的易错点；

第二个板块（能力提升）：代数式变形板块；例2复习代数式变形中常用的几种方法；代数式变形是代数中的重点难点，也是中考要求中C要求部分.常见方法如下：
①、加减消元；


代数恒等变形方法
1、消元 Ⅰ、部分代入；
②、代入消元
Ⅱ、整体代入；
①、直接开方；

②、配方：A2 + B2 = 0；
2、降次
③、因式分解：A·B = 0或A·B = c（c为常整数，且A、B均等于整数）；
Ⅰ、条件为一元二次方程：转化为
，然后进行降次；
④、利用题设条件
Ⅱ、条件为，转化为，然后两边平方得，然后进行降次；

3、换元 整体（当需要对某个代数式进行整体处理时，可以考虑对这个代数式进行换元处理）。

第三个板块（综合探索）：一元二次方程板块；此版块主要复习一元二次方程，并借助一元二次方程复习代数式的相关变形. 例题中重点四类题型：一是一元二次方程和代数式变形的结合（例3、例7）：主要方法同上；二是一元二次方程的区间根问题（例4）；三是公共根问题：设、代、解三步走（例5）；四是方程的整数根问题，主要处理方法如下(其中分解质因数的方法超出中考范畴，某些区模拟可能会简单涉及，老师可自行选择) （例6）：
整数解问题解题步骤

①、为整数；
1、用十字相乘法解含参一元二次方程
②、为整数，先用分离常数法
转化为；
①、判别式为一次多项式时，可根据参
数的取值范围直接求出参数的整数
解，然后检验；
2、不能因式分解时，使判别式为完全平方数
②、判别式为二次多项式时，如：Ⅰ、设m2 + 4m – 3 = n2；Ⅱ、转化为；Ⅲ、分解成A·B = 7，从而求出m。
夯实基础


【例1】 解方程和不等式.
⑴解方程组．
（西城二模）
⑵解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．
（西城一模）
⑶解分式方程．
⑷解一元二次方程：．
（北京中考）
⑸已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
【解析】 ⑴ ．
点评：学生需要掌握代入消元法、加减消元法解方程组.
⑵
由得．
由得x＜3．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
·




所以原不等式组的解集为－2≤x＜3．
所以原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．
点评：不等式两边同时乘上一负数时，不等号需要改变方向，此题学生还会忘了把解集在数轴上表示出来或忘了求出它的整数解.
⑶ 方程两边同乘得
整理得：，
经检验：是原方程的增根，故原方程无解．
点评：解分式方程需要检验.
⑷ ．
点评：解一元二次方程可用直接开方法、配方法、公式法和因式分解法.
⑸ 且．
点评：一元二次方程的二次项系数不为零，可通过根的判别式确定一元二次方程根的个数.

能力提升


【例2】 代数式变形.
⑴分解因式： ．

⑵已知，则的值为 ．
（广东佛山中考）
⑶已知是方程的根，则代数式的值为 ．
⑷当整数为 时，代数式的值为整数.
⑸已知，，，用、表示为 .
【解析】 ⑴ .
点评：因式分解是常考的代数式变形，主要考查提公因式法、平方差公式和完全平方公式.
⑵


∵，，
∴，，
∴，，
∴.
⑶ 把代入得，
.
⑷ ，当，代数式的值为整数.
⑸ .

综合探索


【例3】 已知：关于的一元二次方程有实数根．
⑴ 求的取值范围；
⑵ 若，是此方程的两个根，且满足，求的值．
（2012海淀期中）
【解析】(1) 4+4m≥0，m≥-1；
(2) 将a，b代入一元二次方程可得



【点评】应具备将方程的解代入原方程中的处理方法，再利用降次和整体代入求代数式的值.
【例4】 已知关于m的一元二次方程=0.
⑴ 判定方程根的情况；
⑵ 设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．
(2013平谷一模)
【解析】⑴
∵
∴
所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.
⑵ 设．
∵ 的两根都在和之间，
∴ 当时，，即： ．
当时，，即：．
∴ ．
∵ 为整数， ∴ ．
① 当时，方程， 此时方程的根为无理数，不合题意．
②当时，方程，，不符合题意．
③当时，方程，符合题意．
综合①②③可知，．

【例5】 已知关于x的两个一元二次方程：
方程①: ; 方程②: .
⑴ 若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
⑵ 若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化
简；
⑶ 若方程①和②有一个公共根a, 求代数式的值．
（2011海淀期中）
【解析】⑴ ∵方程①有两个相等实数根,
③

④
∴
由③得k + 2 ¹0,
由④得 (k + 2) (k+4) =0.
∵ k + 2¹0,
∴ k=-4.
当k=-4时, 方程②为: .
解得
⑵ 由方程②得 D2= .
法一: D2－D1＝-(k + 2) (k+4) =3k2＋6k+5 =3(k+1)2＋2>0.
∴ D2>D1.
∵ 方程①、②只有一个有实数根，
∴ D 2>0> D 1.
∴ 此时方程①没有实数根.
由
得 (k + 2) (k+4)<0.
.
∵ (k + 2) (k+4)<0,
∴ .
法二: ∵ D 2=>0.
因此无论k为何值时, 方程②总有实数根.
∵ 方程①、②只有一个方程有实数根，
∴ 此时方程①没有实数根.
下同解法一.
⑶ 法一: ∵ a 是方程①和②的公共根,
∴ ; .
∴ , .

=2+3=5.

法二: ∵ a 是方程①和②的公共根,
∴ ; ③ . ④
∴（③－④）2得 ⑤
由④得 ⑥
将⑤、⑥代入原式，得
原式=
=
=5.

【例6】 已知关于的方程
⑴ 求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.
⑵ 若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐
标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.
(2013顺义一模)
【解析】⑴ 证明：①当时，方程为，所以 ，方程有实数根.
②当时,
===
所以,方程有实数根
综①②所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根
⑵ 令，则
解关于的一元二次方程，得 ，
二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，
所以只能取1，2
所以抛物线的解析式为或
【例题精讲】

【探究对象】含参的一元二次方程的整数根问题
【探究目的】对一元二次方程的整数根求解策略进行了方法总结和梳理
【探究方法】
思路1：探究方程是否能直接求根？
思路2：如果不能直接求根就思考判别式，那么判别式的形式都有几种，对于每一种情况应该用什么样的方法处理？
思路3：如何应用根与系数的关系解决整数根问题？
整系数一元二次方程有整数根，则：
   (1)两个根都是整数；
   (2)判别式是整数；
   (3)判别式是整数的完全平方；
   (4)两根和是整数，两根积是整数.
一、直接求根法：
【探究1】已知关于的方程的根是整数，那么符合条件的整数的值为
分析：当时，符合条件
当时，易知是方程一个整数根
由根与系数关系知另一根为
因为为整数，所以，
即
所以．
【探究21体ti 班选讲内容，目标班教师行了方法总结和梳理：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX】已知方程有两个不相等的正整数根，求整数的值.
分析：

因为方程有两个正整数根，即
所以
二、判别式法
【探究3】设为整数，且，又方程有两个整数根.求的值及方程的根.
分析：考察判别式△＝4(2m＋1)，因是关于m的一次式，
   由已知4＜m＜40，可知
      9＜2m＋1＜81.
      为使判别式为完全平方数，只有2m＋1＝25或2m＋1＝49.
      当2m＋1＝25时，m＝12，方程两根分别为16，26；
      当2m＋1＝49时，m＝24，方程两根分别为38，52.
注：当判别式是一次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围.
【探究4】已知为自然数，关于的方程有两个整数根，求出这个方程的正整数根和.
分析：要得整数根，判别式必须为完全平方数或式．
原方程可化为
则
设
则
所以
因为，为整数
而
考虑到，奇偶性相同
且
故有
．
分别代入方程可得正整数根为或
所以当时正整数根为，当时正整数根为1．

【探究5】设为整数，有整数根，则的值为 .
分析：当时，原方程可化为不合题意；
当时，
令


即
；

且，为整数
故．

三、根与系数关系
【探究6】若关于的二次方程的两根都是整数，求整数的值.
分析：因为所给的方程是二次方程，所以
由根与系数关系，得
因为为整数，所以必为整数．
因为为整数，所以
当时，方程为，，两根均为整数
当时，方程为，，两根均为整数
当时，方程为方程无实根
当时，方程为方程无实根
所以当时，方程为两根均为整数．
【探究7】试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根.
分析：若，则方程为，不合题意
若，设方程的两个整数根为，
则，
于是


因为，为整数，且，
所以，
；．
所以
解得

注意：探究5和探究7为提高尖子班选讲内容，教师也可根据具体班级情况进行讲解.
以上建议仅供教师参考.

【总结】
1：对含参的一元二次方程，要立刻对其因式分解，这是解决整数根问题的策略习惯.
2：判别式的形式有很多形式，最容易的就是完全平方式，但这种不怎么常考；对于判别式有以下几种常考形式，对这几种形式进行总结：
（1）判别式是一次式且参数已知，利用判别式为完全平方数求参数值；（探究3）
（2）判别式是二次式且不为平方式，可采用配方法变形；（探究4）
（3）判别式是一次式但参数未知，可设其为平方数,并来表示值；（探究5选讲）
3：两个整数的和与积都是整数，充分利用整数运算的结构特征，把韦达定理和求解一元二次方程的整数解有机的结合起来，在思考过程中需要认真分析题干条件，整数解、正整数解都对代数式的讨论起着重要的作用。（选讲）

【例7】 已知关于的一元二次方程.
⑴ 求证：此方程总有两个实数根；
⑵ 若此方程的两个实数根都是整数，求的整数值；
⑶ 若此方程的两上实数根分别为、，
求代数式的值.
(2013海淀期中)
【解析】⑴ 由题意可知，；
所以此方程总有两个实数根；
⑵ 方程的两个实数根为，∴，；
∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，∴；
⑶ ∵原方程的两个实数根分别为、，
∴，，
∴

。


思维拓展训练（选讲）

训练1. 若是一元二次方程的根，比较和的大小．
（杭州中考）
【解析】 由题意得．



∴

训练2. 当取何整数时，一元二次方程的根为整数.
【解析】 原方程可化为
，
所以，

训练3. 已知关于的一元二次方程①．
⑴ 若方程①有一个正实根，且．求的取值范围；
⑵ 当时，方程①与关于的方程②有一个相同的非零实根，
求的值．
（西城初三期末统考）
【解析】 ⑴ ∵为方程的一个正实根，
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴．
解得．
又（由，）．
∴．
解得 ．
∴．
⑵ 当时，此时方程①为．
设方程①与方程②的相同实根为m，
∴③
∴④
④③得
整理，得
∵
∴
解得
把代入方程③得
∴，即．
当时，．

训练4. 已知：关于的一元二次方程
⑴求证：方程有两个实数根；
⑵设，且方程的两个实数根分别为（其中），若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；
⑶在⑵的条件下，利用函数图象求关于的方程的解．
（延庆一模）
【解析】 ⑴ ∵

∵无论m取何值时，都有
∴方程有两个实数根.
⑵ 方程的两个实数根分别为
∴
∵，
∴
∴
⑶ 图象略，关于的方程的解是.




实战演练

【演练1】 ⑴求不等式组 的整数解．
（东城一模）
⑵解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
（石景山一模）

【解析】 ⑴ 由得：.
由得：，.

∴原不等式组的解集为.
∴原不等式组的整数解为.
⑵ 解不等式得
解不等式得
原不等式组的解集为
在数轴上表示为：


【演练2】 已知关于的方程①有两个不相等的实数根．
⑴求的取值范围；
⑵若为整数，且，是方程①的一个根，求代数式的值．
（海淀期中）
【解析】 ⑴ ∵方程有两个不相等的实数根
∴方程为一元二次方程
∴
由得
∴的取值范围为
⑵ 由⑴且
又∵，为整数
∴
∴原方程为
∵是该方程的一个根
∴
∴，
原式

【演练3】 已知：关于的一元二次方程
⑴若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
⑵求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；
⑶若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值.
（顺义一模）
【解析】 ⑴
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ 且
∴ 且
∴的取值范围是且
⑵ 证明：由求根公式

∴

∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1.
⑶ ∵为整数，且方程的两个根均为正整数
∴必为整数
∴ 或
当时 ， ；当时，；
当时， ；当时，.
∴ 或.

【演练4】 已知关于x的一元二次方程有两个整数根，且， 求m的整数值.
（顺义二模）
【解析】 ∵一元二次方程有两个整数根
∴
∴
∵
∴可取的整数有0，1，2，3，4.
由求根公式
∵一元二次方程有两个整数根
∴必须是完全平方数
∴，.


【演练5】 已知：关于的一元二次方程
⑴ 若，求证：方程有两个不相等的实数根；
⑵ 若的整数，且方程有两个整数根，求的值．
（东城一模）
【解析】 ⑴ 证明：
∵ ∴
∴方程有两个不相等的实数根．
⑵
∵方程有两个整数根，必须使且为整数．
又∵，
∴
∴．
为奇数，

∴



伯虎学画

唐伯虎从小就喜欢文学和画画。九岁的时候，他拜当时著名的画家周臣为师，学习绘画。两年后，唐伯虎画山水、人物、竹子和山石都已经栩栩如生了。
但是唐伯虎不满足自己的画画水平，又第二次拜师学习，跟沈周老师学习绘画。
唐伯虎的绘画功底很深厚，加上刻苦勤奋地练习，在一年的时间内很快地提高了绘画技艺，就连沈周老师也经常称赞他。
渐渐地，一向谦虚的唐伯虎有了自满的心理，他觉得自己已经学成作画，不必在这里花费更多的时间学习了。这也让细心的沈周老师察觉到了。一天，他把唐伯虎叫来一起喝酒。在谈话中，唐伯虎多次提到母亲身体弱、身边没人照顾，希望老师能同意他回家。
沈周老师笑着说：“今天高兴，酒喝多了，身上有些热，你去把窗子打开，通通风，好吗？”
唐伯虎于是去开窗，可是他怎么也推不动那两扇窗。忽然他发现那窗子竟是画的，看起来就跟真的窗一样。唐伯虎脸红了，他走到了老师跟前，“扑通”一声跪倒在地，对老师说“请您原谅弟子无知，我要留下继续学习。”
从此以后，唐伯虎再也不提回家的事了，他更加认真、努力地学画，始终专心致志，一丝不苟，坚持到底，最后终于成了著名的大画家。




今天我学到了


第十八种品格：坚持