九年级数学寒假专题练 第07讲 圆（全国通用）

这是一份九年级数学寒假专题练 第07讲 圆（全国通用），共21页。试卷主要包含了圆中基本概念及计算，点与圆、直线与圆的位置关系，圆中的计算等内容，欢迎下载使用。

第7讲 圆
中考分析解读
圆的主要内容包括基本定理：垂径定理、弦弧圆心角定理、圆周角定理，切线定理：切线判定定理、切线性质定理、切线长定理，其中圆的角度计算、边长计算等基础题难度较小，圆经常与三角形、四边形综合考查，难度偏大，考查形式以解答题为主. 圆在中考中分值约为10~15分.
模块一 圆中基本概念及计算
一、知识导图

二、知识清单
1、圆的有关概念
（1）圆上各点到圆心的距离相等；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
（3）圆是轴对称图形，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心．
2、垂径定理
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
如图，是的直径，为弦，若，
垂足为，则：，，．



（2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
如图，是的直径，为弦，若，
则：，，．



3、垂径定理的应用
半径、弦的一半、弦的弦心距，这三条线段可以围成直角三角形，满足勾股定理．
通常，半径、弦长、弦心距，弓高，这四个条件“知二推二”.
4、圆周角定理及推论
（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
（2）圆周角定理的推论
① 同弧或等弧所对的圆周角相等．
② 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
③ 圆内接四边形的对角互补．
基础演练
一、选择题
1．（2020•朝阳区一模）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，以点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点（不与点重合），连接，，，，其中交于点．若，则下列结论错误的是　　

A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质得出，进而利用圆的概念判断即可．
【解答】解：直线，
，
以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，
，
，故正确；
以点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点（不与点重合），
，
，
，故正确；
，，
，故正确；
故选：．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出解答．
2．（2020•泰安）如图，是的内接三角形，，，是直径，，则的长为　　

A．4 B． C． D．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接，
，，
，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
故选：．

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
3．（2020•鞍山）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】连接和，证明为等边三角形，得到的度数，再利用圆周角定理得出．
【解答】解：连接和，
圆半径为2，，
，
为等边三角形，
，
，


故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
4．（2020•广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
故选：．

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
5．（2020•聊城）如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是　　．

【分析】根据菱形的性质得出，根据圆内接四边形的性质得出，即可得出，根据圆周角定理得出，即可求得．
【解答】解：四边形内接于，
，
四边形为菱形，
，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．（2010•镇江）如图，为的直径，弦于点．如果，，那么的长为　 　．

【分析】连接，由垂径定理可求出的长度，在中，根据和的半径，即可由勾股定理求出的长．
【解答】解：连接；

中，，；
由勾股定理，得：；
即线段的长为3．
【点睛】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用．
7．（2020•顺义区二模）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，画出了一个过格点，的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是　 　．（结果保留一位小数）

【分析】根据垂径定理确定圆的圆心，根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：由垂径定理可知，圆的圆心在点处，连接，
由勾股定理得，，
圆的周长，
故答案为：8.9．

【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键．
8．（2020•北京二模）如图，边长为1的小正方形网格中，点，，，，均在格点上，半径为2的与交于点，则　　．

【分析】根据圆周角定理得出，进而得出，求出答案即可．
【解答】解：由题意可得：，
则．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确得出是解题关键．
9．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，为的直径，弦于点，寸，尺，那么直径的长为多少寸？（注尺寸）根据题意，该圆的直径为　 　寸．

【分析】连接，由直径与弦垂直，根据垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，设寸，则寸，寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径的长．
【解答】解：连接，
弦，为圆的直径，
为的中点，
又寸，
寸，
设寸，则寸，寸，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
寸，
即直径的长为26寸，
故答案为：26．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
10．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸）．问这根圆形木材的直径是　 　寸．
【分析】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径寸，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
【解答】解：由题意可知，
为半径，
尺寸，
设半径寸，
，
，
则中，根据勾股定理可得：，
解得：，
木材直径为26寸；
故答案为：26．
【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．


能力提升
一、选择题
1．（2020•丰台区一模）在中按如下步骤作图：
（1）作的直径；
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于，两点；
（3）连接，，，，．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是　　

A． B． C． D．
【分析】根据作图过程可知：是的直径，，根据垂径定理即可判断、、正确，再根据，可得，进而可判断选项．
【解答】解：根据作图过程可知：
是的直径，
，
选项正确；
，
，
，
选项正确；
根据垂径定理，得
，
选项正确；
，
，
选项错误．
故选：．
【点睛】本题考查了作图复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
2．（2020•牡丹区三模）已知．如图，
（1）作的直径；
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于，两点；
（3）连接交于点，连接，．
根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：
①； ②； ③．
所有正确推断的序号是　 　．

【分析】①连接，根据作图过程可得，再根据垂径定理即可判断；
②根据作图过程可得，即是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；
③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．
【解答】解：如图，连接，

①是的直径，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于，两点，
，
根据垂径定理，得
，，
所以①正确；
②，
是等边三角形，
，
，
，
②正确；
③方法一：
，，，
．
所以③正确．
方法二：
由，
，
，
所以③正确．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图．
3．（2020•西山区模拟）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，则的长为　　

A．2.5 B．4 C．5 D．10
【分析】首先根据垂径定理和的长求得和的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定，根据正切的定义求得和的长即可求得答案．
【解答】解：，，
，
，，
，
，，
，
故选：．
【点睛】考查了圆周角定理及垂径定理的知识，解题的关键是根据垂径定理求得和的长，难度不大．
4．（2020•十堰）如图，点，，，在上，，垂足为．若，，则　　

A．2 B．4 C． D．
【分析】连接，根据圆周角定理求得，在中可得得到，从而得到，然后根据垂径定理得到的长．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
故选：．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
5．（2020•武汉）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，交于，根据垂径定理得出，，进而证得，根据三角形中位线定理求得，从而求得，利用勾股定理即可求得．
【解答】解：连接，交于，
是的中点，
，，
，
，，
，
是直径，
，
在和中

，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：．

【点睛】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．（2020•泰州二模）如图，点，，，在上，弦的延长线与弦的延长线相交于点．用①是的直径，②，③中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可．
【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题，
理由：是的直径，
，
，
在和中，
，
，
；
当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题，
理由：是的直径，
，
，
在和中，
，
，
；
当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题，
理由：在和中，
，
，
，
又，
，
是的直径；
故选：．

【点睛】本题考查命题和结论、全等三角形的判定与性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2020•河北）有一题目：“已知：点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，．如图，由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是　　

A．淇淇说的对，且的另一个值是
B．淇淇说的不对，就得
C．嘉嘉求的结果不对，应得
D．两人都不对，应有3个不同值
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图所示：还应有另一个不同的值与互补．
故．
故选：．

【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
8．（2020•福建）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于　　

A． B． C． D．
【分析】连接、、，，求出，求出，根据圆周角定理求出，再求出，最后根据圆周角定理求出即可．
【解答】解：连接、、，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出是解此题的关键．
9．（2020•陕西）如图，内接于，．是边的中点，连接并延长，交于点，连接，则的大小为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接，
，
，
是边的中点，
，
，
，
故选：．

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
二、填空题
10．（2020•遵义）如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是　　 ．

【分析】连结，，，过点作于，作于，根据圆周角定理可得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，，可求，再根据相交弦定理可求．
【解答】解：连结，，，过点作于，作于，
是的外接圆，，
，
，，
，
，
，，
，
，，
解法一：在中，，
，
．
解法二：在中，，
，
，
．
故答案为：．

【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的难点是求出的长．
11．（2020•房山区一模）如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是　　．

【分析】作直径，如图，先判断为的中位线得到，再根据圆周角定理得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，由于时，的值最大，从而得到的最大值．
【解答】解：作直径，如图，
点、分别是、的中点，
为的中位线，
，
为直径，
，

，
，
当时，的值最大，
最大值为，的最大值为．
故答案为．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．
三、解答题
12．（2020•大连）四边形内接于，是的直径，．
（1）如图1，求证；
（2）过点作的切线，交延长线于点（如图．若，，求的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，由圆内接四边形的性质得出，则可得出答案；
（2）由切线的性质得出，由垂径定理得出，由圆周角定理，可得出四边形为矩形，则，求出的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：，
，
，
又四边形内接于，
，
；
（2）解：连接交于点，

是的切线，
，
，
又，
，，
，
是的直径，
，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理的应用，圆内接四边形的性质，垂径定理，解直角三角形等知识，熟练切线的性质是解题的关键．

模块二 点与圆、直线与圆的位置关系
一、知识导图

二、知识清单
1、点与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为，则：
2、直线与圆的位置关系
（1）切线的性质与判定
①切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
几何语言：
是切线，为切点

②切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
几何语言：
，经过半径外端
是切线


3、切线长定理
过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角．


基础演练
一、选择题
1．（2020•重庆）如图，是的切线，为切点，连接，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：是的切线，为切点，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
2．（2020•重庆）如图，是的切线，为切点，连接，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：是的切线，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
3．（2020•海淀区一模）如图，与相切于点，的延长线交于点，连结，若，则等于　　

A． B． C． D．
【分析】连接，构造直角，结合已知条件推知直角的直角边等于斜边的一半，则．
【解答】解：如图，连接．
与相切于点，
．
，，
，，
，
，则，
．
故选：．

【点睛】本题考查了切线的性质、含30度角的直角三角形．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

二、解答题
4．（2020•天津）在中，弦与直径相交于点，．
（Ⅰ）如图①，若，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．
【分析】（1）由三角形的外角性质得出，由圆周角定理得，，，即可得出答案；
（2）连接，求出，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，即可得出答案．
【解答】解：（1）是的一个外角，
，
由圆周角定理得：，，
是的直径，
，
；
（2）连接，如图②所示：
，
，
，
是的切线，
，
，
，
．


【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
5．（2020•顺义区一模）如图，在中，，点恰好在以为直径的上．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，求的长．

【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可．
（2）连接，交于点．求出，再根据可得结论．
【解答】（1）证明：连接．
，，
．
，
四边形是平行四边形，
．
，
，
是的切线．

（2）解：连接，交于点．
是直径，，
．
，
四边形是平行四边形，
，
，
．

【点睛】本题考查切线的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．（2020•遵义）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，连接．若，，求的长度．

【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出，从而，由得，由两直线平行，同旁内角互补得出，由切线的判定定理得出答案；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出，再由，得出的值，进而得出和的值，然后证明，由相似三角形的性质得比例式，从而求得的值，求算术平方根即可得出的值．
【解答】解：（1）连接，如图：

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）是的直径，
，
，，
，
，．
，
，
，
又，
，
，
．
．
解法二：利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键．
7．（2020•聊城）如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．
（1）试证明是的切线；
（2）若的半径为5，，求此时的长．

【分析】（1）连接、，求出，可得，根据三角形的中位线得出，推出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据题意求得，根据勾股定理求得，然后证得，根据相似三角形的性质即可求得．
【解答】（1）证明：连接、，
是直径，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）由（1）知是的中线，
，
的半径为5，
，
，
，
，
，
，
，即，
．

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识点的综合运用．

能力提升
一、选择题
1．（2020•泰安）如图，是的切线，点为切点，交于点，，点在上，．则等于　　

A． B． C． D．
【分析】连接，根据切线的性质得到，求出，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．

【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2．（2020•哈尔滨）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：为圆的切线，
，即，
，
，
．
故选：．
【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
二、填空题
3．（2019•常州）如图，半径为的与边长为8的等边三角形的两边、都相切，连接，则　　．

【分析】根据切线长定理得出，解直角三角形求得，即可求得，然后解直角三角形即可求得的值．
【解答】解：连接，作于，
与等边三角形的两边、都相切，
，
，
，
，
．
故答案为．

【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
4．（2020•滨州）如图，是正方形的内切圆，切点分别为、、、，与相交于点，则的值为　　．

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
【解答】解：是正方形的内切圆，
，；
根据圆周角的性质可得：．
，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
三、解答题
5．（2020•北京）如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的性质得到，等量代换即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理得到，设，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接，
，
，
是的切线，为切点，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2020•新疆）如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）根据已知条件得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
（2）连接交于，根据圆周角定理得到，推出四边形是矩形，得到，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接交于，
为的直径，
，
是的中点，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．

【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．


7．（2020•广东）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，．求的值．

【分析】（1）证明：作于，证，得出，即可得出结论；
（2）作于，连接，则四边形是矩形，得，，则，证、是的切线，由切线长定理得，，则，由勾股定理得，则，证，由圆周角定理得，则，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：作于，如图1所示：
则，
，，
，
，
平分，
，
在和中，，
，
，
又，
直线与相切；
（2）解：作于，连接，如图2所示：
则四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
、是的切线，
由（1）得：是的切线，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．


【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键．


模块三 圆中的计算

一、知识导图


二、知识清单
圆中的有关计算
1、扇形的弧长与面积
扇形弧长公式：
扇形面积公式：
常见的求图形周长、面积的几种常用方法：
①公式法；②割补法；③等积变换法.
2、圆锥
①侧面展开图弧长与底面圆周长相等；
②侧面展开图面积：（为圆锥的母线）
③母线、高、底面半径的关系：


基础演练
一、选择题
1．（2020•山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是　　

A． B． C． D．
【分析】首先证明是等边三角形，求出，再根据，求解即可．
【解答】解：如图，连接．

，，
是等边三角形，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出的值，再分别计算出扇形的面积和等腰三角形的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接，如图，
是圆的切线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
图中阴影部分的面积

．
故选：．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．
3．（2020•日照）如图，是的直径，为的弦，于点，若，，则阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
【分析】根据垂径定理得出，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出，进而结合扇形面积求出答案．
【解答】 解：是的直径，为的弦，于点，
．
设的半径为，
在直角中，，即，
解得，，
，
，
，
，，
，
故选：．

【点睛】此题主要考查了垂径定理，勾股定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出是解题关键．
4．（2020•聊城）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接，，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．

【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
能力提升
一、选择题
1．（2020•丰台区二模）如图，点，是上的定点，点为优弧上的动点（不与点，重合），在点运动的过程中，以下结论正确的是　　

A．的大小改变
B．点到弦所在直线的距离存在最大值
C．线段与的长度之和不变
D．图中阴影部分的面积不变
【分析】根据圆周角的性质，点到直线的距离，三角形的面积进行解答便可．
【解答】解：．无论运动到什么位置，所对的弧为始终不变，则的大小不改变，故错误；
．当运动到优弧的中点时，点到的距离最大，则选项正确；
．点位置改变值会发生变化，则错误；
．点在运动过程中，到的距离会改变，则的面积会改变，而弓形面积不改变，于是阴影部分的面积会改变，则错误；
故选：．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，点到直线距离，三角形的面积计算，扇形的面积计算，关键是掌握这些知识．
2．（2020•遂宁）如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点，若，则图中阴影部分面积为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，于，如图，根据切线的性质得到，则四边形为矩形，所以，则，接着计算出，，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积进行计算．
【解答】解：连接，过作于，如图，
，，
，
与相切于点，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
，
在中，，
，，
图中阴影部分面积

．
故选：．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算．
3．（2020•聊城）如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为　　

A． B． C． D．
【分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．
【解答】解：设底面半径为，则，
解得：，
所以其高为：，
故选：．
【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大．
4．（2020•云南）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是　　

A． B．1 C． D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意可知：
，，
底面圆的周长等于弧长：
，
解得．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
5．（2020•乐山）在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到△．则图中阴影部分面积为　　

A． B． C． D．
【分析】解直角三角形得到，，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：，，，
，，
图中阴影部分面积，
故选：．

【点睛】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
6．（2020•淄博）如图，放置在直线上的扇形．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径，，则点所经过的运动路径的长是　　

A． B． C． D．
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，

点的运动路径的长的长的长

，
故选：．
【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题
7．（2020•广东）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为　 ．

【分析】求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
【解答】解：如图，连接，，，

，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
由题意得，阴影扇形的半径为，圆心角的度数为，
则扇形的弧长为：，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．
8．（2020•新疆）如图，的半径是2，扇形的圆心角为．若将扇形剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为　　．

【分析】连接，作于点，利用三角函数以及垂径定理即可求得的长，然后利用扇形的弧长公式即可求得弧长，然后利用圆的周长公式即可求得半径．
【解答】解：连接，作于点．
在直角中，，，
则．
则，
则扇形的弧长是：，
设底面圆的半径是，则，
解得：．
故答案为：．

【点睛】本题考查了弧长的计算，圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
9．（2020•重庆）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　　 ．（结果保留

【分析】由菱形的性质可得，，，，，可证，是等边三角形，由等边三角形的性质可求，由扇形的面积公式和面积和差关系可求解．
【解答】解：如图，设以点为圆心，长为半径画弧，分别与，相交于，，连接，，

四边形是菱形，，
，，，，，
是等边三角形，
，，
，
以点为圆心，长为半径画弧，
，
，是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算，菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
10．（2020•泰安）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是　　 ．

【分析】连接，易求得圆的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据即可得到结论．
【解答】解：连接，
，，
是等边三角形，
，
的半径为8，
，
，
，
，
，
，
于点，
，，
，



故答案为．

【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
11．（2020•十堰）如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则　　．

【分析】本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解．
【解答】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为，；两块空白分别为，，连接，如下图所示：
由已知得：三角形为等腰直角三角形，，
为直径，
，即，
故，
点为中点，由对称性可知与弦围成的面积与相等．
设，
则，
其中，
，
故：，
所以：，（舍去）
故答案：2．

【点睛】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解．
三、解答题
12．（2020•江西）已知的两边分别与相切于点，，的半径为．
（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；
（3）若交于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．

【分析】（1）连接，，由切线的性质可求，由四边形内角和可求解；
（2）当时，四边形是菱形，连接，，由切线长定理可得，，由“”可证，可得，，可证，可得四边形是菱形；
（3）分别求出，的长，由弧长公式可求，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，连接，，

，为的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，当时，四边形是菱形，
连接，，

由（1）可知，，
，
，
，
点运动到距离最大，
经过圆心，
，为的切线，
，，
又，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形；
（3）的半径为，
，，
，，
，
的长度，
阴影部分的周长．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．