九年级数学寒假专题练 第05讲 三角形（全国通用）

第5讲 三角形

中考分析解读

三角形及全等三角形，三角形主要考查特殊三角形，涉及等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等这些基本图形的性质与判定；全等三角形主要考查全等的性质、判定、常见全等模型；这部分内容在中考中都有直接考查，主要为容易题和中档题，同时更加重视相关定理的描述.中考中分值约为11~15分.

模块一 三角形及全等三角形

一、知识导图

二、知识清单

1、三角形相关概念与性质

（1）三角形的定义

由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接所得到的图形叫三角形.

（2）三角形的分类

按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

按边分类：不等边三角形、等腰三角形；等腰三角形分为两边相等的等腰三角形和等边三角形.

（3）三角形三边关系

三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边.

（4）三角形内角和、外角与内角的关系

三角形内角和等于180；一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

（5）三角形中位线

定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.

性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.

（2）全等三角形周长相等，面积相等，对应边上的中线、高线、角分线相等．

3、全等三角形的判定

（1）三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“SSS”.

（2）两条边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“SAS”.

（3）两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“ASA”.

（4）两个角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“AAS”.

（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”.

基础演练

一、选择题

1．（2019•金华）若长度分别为，3，5的三条线段能组成一个三角形，则的值可以

是　　

A．1 B．2 C．3 D．8

2．（2020•乌兰浩特市一模）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、；②作直线交于点，连接，若，，则下列结论中错误的是　　

A． B． 

C．点为的外心 D．

3．（2020•河南模拟）如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点，连接，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点．若，，则的长是　　

A． B．2 C． D．

4．（2020•河北模拟）已知，在中，，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是　　

A． B． C． D．

5．（2020•广州）中，点，分别是的边，的中点，连接．若，则　　

A． B． C． D．

6．（2020•广东）已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为　　

A．8 B． C．16 D．4

7．（2020•天津）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

8．（2020•大连）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是　　

A． B． C． D．

9．（2020•淄博）如图，若，则下列结论中一定成立的是　　

A． B． C． D．

二、填空题

10．（2020•济宁）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是　　（写出一个即可）．

11．（2020•晋安区一模）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度后，得到，且点的对应点恰好落在边上，若，则的度数是　  　度．

12．（2020•大庆）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则　　．

三、解答题

13．（2020•天河区校级模拟）如图，中，，．

（1）利用尺规作图：作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）

（2），设与交于点．连结，求的周长．

14．（2020•福清市模拟）如图，中，点，分别在边及其延长线上，且，，且，连接，求证：．

15．（2020•广州）如图，，，．求的度数．

能力提升

一、选择题

1．（2020•石家庄模拟）如图，，平分，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

2．（2020•哈尔滨）如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为　　

A． B． C． D．

3．（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是　　

A． B． C． D．

4．（2020•烟台）如图，点为的重心，连接，并延长分别交，于点，，连接，若，，，则的长度为　　

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4

5．（2020•新疆）如图，在中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且的面积为1，则的长为　　

A． B．5 C． D．10

6．（2020•重庆）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为2，则点到的距离为　　

A． B． C． D．

7．（2020•重庆）如图，在中，，，，将沿直线翻折至所在的平面内，得．过点作，使，与的延长线交于点，连接，则线段的长为　　

A． B．3 C． D．4

二、填空题

8．（2020•崇川区校级一模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，若，，则点到的距离为　　．

9．（2020•江西）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为　　．

10．（2020•淄博）如图，将沿方向平移至处．若，则的长为　   　．

三、解答题

11．（2020•石家庄模拟）已知：如图，，垂足为，，点在上，，

（1）请写出图中相等的线段：　　     ．（不包括已知条件中的相等线段）

（2）猜想与的位置关系，并说明理由．

12．（2020•丰台区一模）已知，点为射线上一动点（不与点重合），点为内部一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在射线上，不与点重合．

（1）依据题意补全图1；

（2）用等式表示与的数量关系，并证明；

（3）连接，写出一个的值，使得对于任意点，总有，并证明．

模块二 特殊三角形

一、知识导图

二、知识清单

1、等腰三角形

（1）概念

有两条边相等的三角形是等腰三角形.

（2）性质

①等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴.

②性质1：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）.

③性质2：等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线相互重合（简称“三线合一”）.

（3）判定

①两边相等的三角形是等腰三角形.

②等角对等边.

2、等边三角形

（1）概念

有三条边相等的三角形是等边三角形.

（2）性质

①等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 .

②等边三角形三边相等，三角相等，且每个角都等于60°.

（3）判定

①三条边都相等的三角形是等边三角形.

②三个角都相等的三角形是等边三角形.

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3、直角三角形

（1）概念

有一个角是90°的三角形叫做直角三角形.

（2）性质

①直角三角形的两个锐角互余 .

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

③在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

④勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即.

（3）判定

①有一个角是90°的三角形是直角三角形.

②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

③勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

基础演练

一、选择题

1．（2020•福建）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于　　

A．10 B．5 C．4 D．3

2．（2020•河北模拟）如图，在中，，，，则的中线的长为　　

A．5 B．6 C．8 D．10

3．（2020•宁波）如图，在中，，为中线，延长至点，使，连结，为中点，连结．若，，则的长为　　

A．2 B．2.5 C．3 D．4

4．（2020•济宁）如图，在中，点为的内心，，，．则的面积是　　

A． B． C．2 D．4

5．（2020•衡水模拟）在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：，求证：”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有　　

①作的平分线交于点

②取边的中点，连接

③过点作，垂足为点

④作边的垂直平分线，交于点

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（2020•新华区校级二模）如图，已知及其边上一点．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点和．再以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点．错误的结论是　　

A． B． C． D．

二、填空题

7．（2020•北京）如图，在中，，点在上（不与点，重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是　　      （写出一个即可）．

8．（2020•黄冈）已知：如图，在中，点在边上，，，则　    　度．

9．（2020•阜新）如图，在中，，．将绕点逆时针旋转，得到△，则边的中点与其对应点的距离是　　    ．

三、解答题

10．（2020•广东）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点．求证：是等腰三角形．

11．（2020•大连）如图，中，，点，在边上，．求证：．

12．（2020•海淀区一模）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．

（1）求证：是等边三角形；

（2）若，，求的长度．

13．（2020•哈尔滨）已知：在中，，点、点在边上，，连接、．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于．

14．（2020•唐山二模）已知，在中，，，点为的中点．

（1）如图①，若点、分别为、上的点，且，试探和的数量关系；并说明四边的面积是定值吗？若是，请求出；若不是，请说明理由．

（2）若、分别、延长线上的点，，那吗？请利用图②说明理由．

能力提升

一、选择题

1．（2020•鼓楼区一模）如图，在中，，平分交于，交延长线于点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

2．（2020•福清市模拟）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，，则下列结论不一定正确的是　　

A． B． C． D．

3．（2020•德阳）如图，中，，．将绕点逆时针方向旋转得到△．此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为　　

A． B． C． D．

4．（2020•九龙坡区校级模拟）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，且恰好落在上，是的中点，是的中点，连接，则到的距离是　　

A． B． C． D．

5．（2020•雁塔区校级二模）如图，在中，，，为边上的中线，平分，交边于点，过点作，垂足为，则的度数为　　

A． B． C． D．

6．（2020•河北模拟）如图，中，，，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接交于点，则以下结论：

①； ②；

③； ④与的面积比是：

其中正确结论是　　

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

二、填空题

7．（2020•新疆）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为　  　．

8．（2020•安顺）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为　　．

9．（2019•河南模拟）如图在等边中，，点在边上，且，点是边上一动点将沿折叠，当点的对应点落在的边上时，的长为　　     ．

10．（2020•葫芦岛三模）如图，在中，，，点为中点，点在边上，连接，过点作交于点．连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的

是　　     （填写所有正确结论的序号）．

11．（2020•铁东区一模）如图，在等腰直角三角形中，，，把绕点顺时针旋转得到△，边、分别交于、，则的长为　　  ．

12．（2020•大庆）如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为　　   ．

三、解答题

13．（2020•北京）在中，，，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接．

（1）如图1，当是线段的中点时，设，，求的长（用含，的式子表示）；

（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

14．（2020•烟台）如图，在等边三角形中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．

【问题解决】

如图1，若点在边上，求证：；

【类比探究】

如图2，若点在边的延长线上，请探究线段，与之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

15．（2020•潍坊）如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．

（1）当时，求证：；

（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；

（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．