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九年级数学寒假专题练 第2讲 方程与不等式（全国通用）
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这是一份九年级数学寒假专题练 第2讲 方程与不等式（全国通用），共21页。试卷主要包含了一次方程与不等式，分式方程，一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
方程，包含一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程、含参方程（组）；不等式，包含一元一次不等式（组）、含参不等式（组）. 方程与不等式的解法在考试中难度不大，是必得分题目；对方程（组）、不等式（组）解应用题也有一定考查，考查形式以解答题较为常见.方程与不等式在中考中分值约为14~16分.
模块一 一次方程与不等式
一、知识导图
二、知识清单
1、一元一次方程
（1）一元一次方程定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫做一元一次方程．
（2）方程的解
能够使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．
（3）解一元一次方程的一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
注意：①去分母时，不含分母的项不要漏乘；分数线有括号的作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号．
②去括号时，运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项；如果括号前是负号，去括号时，括号内各项要变号．
③移项时，移项必须变号，一般把含未知数的项移到等式左边，其它项移到等式右边．
④系数化为1时，分子、分母不要颠倒，未知数的系数作为分母．
2、二元一次方程组
（1）二元一次方程（组）定义
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．
二元一次方程组：含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，且一共有两个方程．
（2）解二元一次方程组
解二元一次方程组的思想是消元．方法是代入消元法和加减消元法，最终将二元一次方程组化归为一元一次方程来求解．
代入消元：
①从方程组中选一个方程进行变形，变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程，消去一个未知数，从而使该方程变成一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）；
④将求出的（或）的值代入到方程组任何一个方程中，求出另一个未知数；
⑤把求得的未知数的值写成的形式．
加减消元：
①将方程组中的方程化为同一个未知数的系数相反或相等的形式；
②将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数；
④把求得的未知数的值代入到方程组任何一个方程中，求出另一个未知数；
⑤把求得的未知数的值写成的形式．
3、一元一次不等式（组）
（1）一元一次不等式
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式．
（2）一元一次不等式组
关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．
4、解一元一次不等式一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
注意：特别注意系数化为时，系数是负数时，不等号要改变方向．
5、一元一次不等式组解集的基本类型
基础演练
一、选择题
1．（2020•重庆）解一元一次方程时，去分母正确的是
A．B．C．D．
2．（2020•盘锦）不等式的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
3．（2020•日照）不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
4．（2020•广东）不等式组的解集为
A．无解B．C．D．
5．（2020•桂林）不等式组的整数解共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2020•重庆）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为
A．5B．4C．3D．2
二、填空题
7．（2020•北京）方程组的解为 ．
8．（2020•大连）不等式的解集是 ．
9．（2020•哈尔滨）不等式组的解集是 ．
10．（2020•绵阳）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是 万元．（利润销售额种植成本）
三、解答题
11．（2020•桂林）解二元一次方程组：．
12．（2020•西藏）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
13．（2020•天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
14．（2020•福建）解不等式组：
15．（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用，两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：
（1）求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
能力提升
一、选择题
1．（2020•天津）方程组的解是
A．B．C．D．
2．（2020•山西）不等式组的解集是
A．B．C．D．
3．（2020•绵阳）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为
A．160钱B．155钱C．150钱D．145钱
4．（2020•临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为
A．B．
C．D．
5．（2020•长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
6．（2020•新疆）不等式组的解集是
A．B．C．D．
7．（2020•重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是
A．7B．C．28D．
8．（2020•云南）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为
A．或B．或
C．或D．或或
二、填空题
9．（2020•绍兴）若关于，的二元一次方程组的解为则多项式可以
是 （写出一个即可）．
10．（2020•绵阳）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
11．（2020•遂宁）若关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围是 ．
12．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
三、解答题
13．（2020•北京）解不等式组：
14．（2020•广州）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
15．（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对，两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年，两个品种各种植了10亩．收获后，两个品种的售价均为2.4元，且的平均亩产量比的平均亩产量高，，两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出，两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在，种植亩数不变的情况下，预计，两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨，而品种的售价不变．，两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加．求的值．
16．（2020•济宁）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
模块二 分式方程
一、知识导图
二、知识清单
1、分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2、解分式方程一般步骤
①去分母，将分式方程转化为整式方程；
②解整式方程，求得整式方程的解；
③检验，将解代入最简公分母，若最简公分母不为0，即是分式方程的解；若最简公分母为0，则分式方程无解．
基础演练
一、选择题
1．（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是
A．B．C．D．
2．（2020•长沙）随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2020•南京）方程的解是 ．
4．（2020•西藏）分式方程的解为 ．
5．（2020•广州）方程的解是 ．
三、解答题
6．（2020•陕西）解分式方程：．
7．（2020•日照）解方程：．
8．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．
（1）求每副围棋和象棋各是多少元？
（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？
能力提升
一、选择题
1．（2020•成都）已知是分式方程的解，那么实数的值为
A．3B．4C．5D．6
2．（2020•上海）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2020•杭州）若分式的值等于1，则 ．
4．（2020•济南）代数式与代数式的值相等，则 ．
5．（2020•上海）已知，那么（3）的值是 ．
三、解答题
6．（2020•苏州）解方程：．
7．（2020•新疆）某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用480元购买款保温杯的数量与用360元购买款保温杯的数量相同．
（1）、两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍．若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
8．（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1），两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进，两种茶叶共100盒（进价不变），种茶叶的售价是每盒300元，种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进，两种茶叶各多少盒？
模块三 一元二次方程
一、知识导图
二、知识清单
1、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
2、解一元二次方程
一元二次方程一般形式：
①直接开平方法：降次的依据是平方根的意义；
②配方法：理论依据是完全平方公式；
③公式法：直接套用公式求得方程的解．
3、一元二次方程判别式
一元二次方程 ，判别式：
时，方程有两个不相等的实数根，表示为；
时，方程有两个相等的实数根，表示为；
时，方程没有实数根．
（4）一元二次方程根与系数关系
一元二次方程，当时，方程两根为，，则：
，．
基础演练
一、选择题
1．（2020•新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是
A．B．C．D．
2．（2020•河南）定义运算：☆．例如：4☆．则方程1☆的根的情况为
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
3．（2020•安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是
A．B．C．D．
4．（2020•湖州）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数的取值有关
5．（2020•河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2020•衢州）定义※，例如2※．则※的结果为 ．
7．（2020•北京）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
8．（2020•上海）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ．
9．（2020•南通）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为步，则可列方程为 ．
三、解答题
10．（2020•南京）解方程：．
11．（2020•西藏）列方程（组解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
12．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
能力提升
一、选择题
1．（2020•南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
2．（2020•遵义）已知，是方程的两根，则的值为
A．5B．10C．11D．13
3．（2020•遵义）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（2020•江西）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
5．（2020•成都）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ．
6．（2020•南通）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
7．（2020•黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．
三、解答题
8．（2020•广东）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
9．（2020•南充）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
不等式组
图示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解
大大小小找不到
第一批
第二批
型货车的辆数（单位：辆）
1
2
型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运输物资的吨数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
方程，包含一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程、含参方程（组）；不等式，包含一元一次不等式（组）、含参不等式（组）. 方程与不等式的解法在考试中难度不大，是必得分题目；对方程（组）、不等式（组）解应用题也有一定考查，考查形式以解答题较为常见.方程与不等式在中考中分值约为14~16分.
模块一 一次方程与不等式
一、知识导图
二、知识清单
1、一元一次方程
（1）一元一次方程定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫做一元一次方程．
（2）方程的解
能够使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．
（3）解一元一次方程的一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
注意：①去分母时，不含分母的项不要漏乘；分数线有括号的作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号．
②去括号时，运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项；如果括号前是负号，去括号时，括号内各项要变号．
③移项时，移项必须变号，一般把含未知数的项移到等式左边，其它项移到等式右边．
④系数化为1时，分子、分母不要颠倒，未知数的系数作为分母．
2、二元一次方程组
（1）二元一次方程（组）定义
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．
二元一次方程组：含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，且一共有两个方程．
（2）解二元一次方程组
解二元一次方程组的思想是消元．方法是代入消元法和加减消元法，最终将二元一次方程组化归为一元一次方程来求解．
代入消元：
①从方程组中选一个方程进行变形，变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程，消去一个未知数，从而使该方程变成一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）；
④将求出的（或）的值代入到方程组任何一个方程中，求出另一个未知数；
⑤把求得的未知数的值写成的形式．
加减消元：
①将方程组中的方程化为同一个未知数的系数相反或相等的形式；
②将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数；
④把求得的未知数的值代入到方程组任何一个方程中，求出另一个未知数；
⑤把求得的未知数的值写成的形式．
3、一元一次不等式（组）
（1）一元一次不等式
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式．
（2）一元一次不等式组
关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．
4、解一元一次不等式一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
注意：特别注意系数化为时，系数是负数时，不等号要改变方向．
5、一元一次不等式组解集的基本类型
基础演练
一、选择题
1．（2020•重庆）解一元一次方程时，去分母正确的是
A．B．C．D．
2．（2020•盘锦）不等式的解集在数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
3．（2020•日照）不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
4．（2020•广东）不等式组的解集为
A．无解B．C．D．
5．（2020•桂林）不等式组的整数解共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2020•重庆）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为
A．5B．4C．3D．2
二、填空题
7．（2020•北京）方程组的解为 ．
8．（2020•大连）不等式的解集是 ．
9．（2020•哈尔滨）不等式组的解集是 ．
10．（2020•绵阳）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是 万元．（利润销售额种植成本）
三、解答题
11．（2020•桂林）解二元一次方程组：．
12．（2020•西藏）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
13．（2020•天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
14．（2020•福建）解不等式组：
15．（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用，两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：
（1）求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
能力提升
一、选择题
1．（2020•天津）方程组的解是
A．B．C．D．
2．（2020•山西）不等式组的解集是
A．B．C．D．
3．（2020•绵阳）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为
A．160钱B．155钱C．150钱D．145钱
4．（2020•临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为
A．B．
C．D．
5．（2020•长沙）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
6．（2020•新疆）不等式组的解集是
A．B．C．D．
7．（2020•重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是
A．7B．C．28D．
8．（2020•云南）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为
A．或B．或
C．或D．或或
二、填空题
9．（2020•绍兴）若关于，的二元一次方程组的解为则多项式可以
是 （写出一个即可）．
10．（2020•绵阳）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ．
11．（2020•遂宁）若关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围是 ．
12．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
三、解答题
13．（2020•北京）解不等式组：
14．（2020•广州）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
15．（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对，两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年，两个品种各种植了10亩．收获后，两个品种的售价均为2.4元，且的平均亩产量比的平均亩产量高，，两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出，两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在，种植亩数不变的情况下，预计，两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨，而品种的售价不变．，两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加．求的值．
16．（2020•济宁）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
模块二 分式方程
一、知识导图
二、知识清单
1、分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2、解分式方程一般步骤
①去分母，将分式方程转化为整式方程；
②解整式方程，求得整式方程的解；
③检验，将解代入最简公分母，若最简公分母不为0，即是分式方程的解；若最简公分母为0，则分式方程无解．
基础演练
一、选择题
1．（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是
A．B．C．D．
2．（2020•长沙）随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2020•南京）方程的解是 ．
4．（2020•西藏）分式方程的解为 ．
5．（2020•广州）方程的解是 ．
三、解答题
6．（2020•陕西）解分式方程：．
7．（2020•日照）解方程：．
8．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．
（1）求每副围棋和象棋各是多少元？
（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？
能力提升
一、选择题
1．（2020•成都）已知是分式方程的解，那么实数的值为
A．3B．4C．5D．6
2．（2020•上海）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是
A．B．C．D．
二、填空题
3．（2020•杭州）若分式的值等于1，则 ．
4．（2020•济南）代数式与代数式的值相等，则 ．
5．（2020•上海）已知，那么（3）的值是 ．
三、解答题
6．（2020•苏州）解方程：．
7．（2020•新疆）某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用480元购买款保温杯的数量与用360元购买款保温杯的数量相同．
（1）、两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍．若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
8．（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1），两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进，两种茶叶共100盒（进价不变），种茶叶的售价是每盒300元，种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进，两种茶叶各多少盒？
模块三 一元二次方程
一、知识导图
二、知识清单
1、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
2、解一元二次方程
一元二次方程一般形式：
①直接开平方法：降次的依据是平方根的意义；
②配方法：理论依据是完全平方公式；
③公式法：直接套用公式求得方程的解．
3、一元二次方程判别式
一元二次方程 ，判别式：
时，方程有两个不相等的实数根，表示为；
时，方程有两个相等的实数根，表示为；
时，方程没有实数根．
（4）一元二次方程根与系数关系
一元二次方程，当时，方程两根为，，则：
，．
基础演练
一、选择题
1．（2020•新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是
A．B．C．D．
2．（2020•河南）定义运算：☆．例如：4☆．则方程1☆的根的情况为
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
3．（2020•安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是
A．B．C．D．
4．（2020•湖州）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数的取值有关
5．（2020•河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2020•衢州）定义※，例如2※．则※的结果为 ．
7．（2020•北京）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
8．（2020•上海）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ．
9．（2020•南通）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为步，则可列方程为 ．
三、解答题
10．（2020•南京）解方程：．
11．（2020•西藏）列方程（组解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
12．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
能力提升
一、选择题
1．（2020•南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
2．（2020•遵义）已知，是方程的两根，则的值为
A．5B．10C．11D．13
3．（2020•遵义）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（2020•江西）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
5．（2020•成都）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ．
6．（2020•南通）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
7．（2020•黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．
三、解答题
8．（2020•广东）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
9．（2020•南充）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
不等式组
图示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解
大大小小找不到
第一批
第二批
型货车的辆数（单位：辆）
1
2
型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运输物资的吨数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
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